場合の数と確率

08/09/2018

数学の公式・定理集

場合の数と確率

集合の要素の個数

個数定理:U を全体集合、A, B, C をその部分集合とする。

\begin{align*} &\quad n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) – n \left( A \cap B \right) \\[10pt ] &\text{$A \cap B= \phi$ のとき} \\[ 7pt ] &\quad n \left( A \cup B \right) = n \left( A \right) + n \left( B \right) \end{align*}
\begin{equation*} n \left( \bar{A} \right) = n \left( U \right) – n \left( A \right) \end{equation*}
\begin{align*} & n \left( A \cup B \cup C \right) \\[ 7pt ] = \ & \left( A \right) + n \left( B \right) + n \left( C \right) \\[ 7pt ] & -n \left( A \cap B \right) – n \left( B \cap C \right) – n \left( C \cap A \right) \\[ 7pt ] & + n \left( A \cap B \cap C \right) \end{align*}

集合の要素の個数の性質:U を全体集合、A, B, C をその部分集合とする。

\begin{equation*} n \left( A \cup B \right) \leqq n \left( U \right) \end{equation*}
\begin{align*} & n \left( A \cap B \right) \leqq n \left( A \right) \\[ 5pt ] & n \left( A \cap B \right) \leqq n \left( B \right) \end{align*}
\begin{equation*} n \left( A \cup B \right) \leqq n \left( A \right) + n \left( B \right) \end{equation*}

場合の数

場合の数の数え方

主に2通りの方法を用いて、漏れなく重複することなく数え上げる。
数え方1:辞書式配列法
数え方2:樹形図

和の法則・積の法則

和の法則
事柄 A, B の起こり方が、それぞれ a, b 通りで、A と B が同時に起こらないとする。
このとき、A または B のどちらかが起こる場合の数は (a+b) 通り。
積の法則
事柄 A の起こり方が a 通りあり、その各々に対して事柄 B の起こり方が b 通りずつあるとする。
このとき、A と B がともに起こる場合の数は ab 通り。

順列・円順列・重複順列

順列

異なる n 個の中から異なる r 個を取り出して1列に並べる
\begin{align*} {}_n \mathrm{ P }_r = \ & n \left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \cdots \left( n-r+1 \right) \\[ 10pt ] = \ &\frac{n!}{\left( n-r \right)!} \quad (0 \leqq r \leqq n) \end{align*}
\begin{align*} &0! = 1 \\[ 7pt ] &\text{特に} \\[ 7pt ] &{}_n \mathrm{ P }_n = n! \end{align*}

円順列

異なる n 個のものを円形に並べる
\begin{equation*} \quad \left( n-1 \right)! \quad \left( = \frac{{}_n \mathrm{ P }_n}{n} \right) \end{equation*}

じゅず順列

異なる n 個のものを円形に並べる。
ただし、回転または裏返して一致するものは同じものとして扱う。
\begin{equation*} \quad \frac{\left( n-1 \right)!}{2} \quad \left( = \frac{\tiny{\text{円順列}}}{2} \right) \end{equation*}

重複順列

異なる n 個のものから重複を許して r 個を取り出して並べる。
\begin{equation*} \quad n^{r} \ \text{(通り)} \end{equation*}
ただし、n < r であってもよい
重複順列の例
n 個の異なるものを
● A, B の2組に分ける
\begin{equation*} \quad 2^{n}-2 \ \text{(通り)} \end{equation*}
● 2組に分ける
\begin{equation*} \quad (2^{n}-2) \div 2 \ \text{(通り)} \end{equation*}
● A, B, C の3組に分ける
\begin{equation*} \quad 3^{n}-3(2^{n}-2)-3 \ \text{(通り)} \end{equation*}
● 3組に分ける
\begin{equation*} \quad \{ 3^{n}-3(2^{n}-2)-3 \} \div 3! \ \text{(通り)} \end{equation*}

組合せ、同じものを含む順列

組合せの数

異なる n 個のものの中から異なる r 個を取る。
\begin{align*} \quad {}_n \mathrm{ C }_r = &\frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} \\[ 10pt ] = &\frac{n!}{r! \left( n-r \right)!} \end{align*}
ただし、0 ≦ r ≦ n
特に
\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_n = 1 \end{equation*}

nCr の性質

\begin{align*} \bullet \ &{}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_{n-r} \quad (0 \leqq r \leqq n) \\[ 10pt ] \bullet \ &{}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r \\[ 7pt ] &\quad (1 \leqq r \leqq {n-1} \ , \ 2 \leqq n) \end{align*}

組分け

n 人を A 組 p 人、B 組 q 人、C 組 r 人に分ける
\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \end{equation*}
同じ人数の組に分けるときには注意。
● 3組同数のとき
\begin{equation*} \quad \left( {}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_p \right) \div 3! \end{equation*}
● 2組同数のとき
\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_p \div 2! \end{equation*}

同じものを含む順列

n 個のもののうち、p 個は同じもの、q 個は同じもの、r 個は同じもの、…であるとき、それら n 個のもの全部を使って作られる順列。
\begin{align*} &{}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q \times {}_{n-p-q} \mathrm{ C }_r \cdots \\[ 10pt ] = \ &\frac{n!}{p! q! r! \cdots} \end{align*}
ただし、p + q + r + … = n

重複組合せの数

異なる n 個のものから、重複を許して r 個取る組合せ。
\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ H }_r = {}_{n+r-1} \mathrm{ C }_r \end{equation*}
ただし、n < r であってもよい

確率とその基本性質

確率の定義

全事象 U のどの根元事象も同様に確からしいとき、事象 A の起こる確率 P(A)
\begin{align*} P(A) = &\frac{n(A)}{n(U)} \\[ 10pt ] = &\frac{\scriptsize{\text{事象Aの起こる場合の数}}}{\scriptsize{\text{起こりうるすべての場合の数}}} \end{align*}

基本性質

\begin{align*} &\bullet \ 0 \leqq P(A) \leqq 1 \\[ 10pt ] &\bullet \ P(\varnothing) = 0 \\[ 10pt ] &\bullet \ P(U) = 1 \end{align*}

加法定理

事象 A, B が互いに排反のとき
\begin{equation*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \end{equation*}

余事象の確率

\begin{equation*} P(\bar{A}) = 1 – P(A) \end{equation*}

独立な試行・反復試行の確率

独立な試行の確率

2つの独立な試行 S, T において、S では事象 A が起こり、T では事象 B が起こるという事象を C とする。
\begin{equation*} \quad P(C) = P(A) P(B) \end{equation*}

反復試行の確率

1回の試行で事象 A が起こる確率が p であるとする。
この試行を n 回繰り返すとき、事象 A がちょうど r 回起こる確率
\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_r \ p^{r} \ {\left( 1-p \right)}^{n-r} \end{equation*}

条件付き確率

条件付き確率

事象 A が起こったときに事象 B が起こる条件付き確率 PA(B)
\begin{align*} \quad P_{A}(B) = &\frac{n(A \cap B)}{n(A)} \\[ 10pt ] = &\frac{P(A \cap B)}{P(A)} \end{align*}

確率の乗法定理

\begin{equation*} P(A \cap B) = P(A) \ P_{A}(B) \end{equation*}

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Posted by kiri