図形と計量

07/26/2018

数学の公式・定理集

図形と計量

三角比の定義とその相互関係

三角比の定義

∠θに対する正弦
\begin{equation*} \quad \sin \theta = \frac{y}{r} \end{equation*}
∠θに対する余弦
\begin{equation*} \quad \cos \theta = \frac{x}{r} \end{equation*}
∠θに対する正接
\begin{equation*} \quad \tan \theta = \frac{y}{x} \end{equation*}
三角比の定義

三角比の相互関係

\begin{align*} & \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1 \\[ 7pt ] & \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\[ 7pt ] & 1 + \tan^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align*}

$180^{\circ}-\theta \ , \ 90^{\circ} \pm \theta $ の三角比

\begin{align*} & \sin \left( 180^{\circ}-\theta \right) = \sin \theta \\[ 7pt ] & \cos \left( 180^{\circ}-\theta \right) = -\cos \theta \\[ 7pt ] & \tan \left( 180^{\circ}-\theta \right) = -\tan \theta \end{align*}
\begin{align*} & \sin \left( 90^{\circ} \pm \theta \right) = \cos \theta \\[ 7pt ] & \cos \left( 90^{\circ} \pm \theta \right) = \mp \sin \theta \\[ 7pt ] & \tan \left( 90^{\circ} \pm \theta \right) = \mp \frac{1}{\tan \theta} \end{align*}

正弦定理

△ABCの外接円の半径をRとすると
\begin{equation*} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \end{equation*}
正弦定理

余弦定理

\begin{align*} a^{2} = b^{2} + c^{2} -2bc \cos A \\[ 7pt ] b^{2} = c^{2} + a^{2} -2ca \cos B \\[ 7pt ] c^{2} = a^{2} + b^{2} -2ab \cos C \end{align*}
参考
\begin{align*} a = c \cos B + b \cos C \\[ 7pt ] b = a \cos C + c \cos A \\[ 7pt ] c = b \cos A + a \cos B \end{align*}
正弦定理

三角形の辺と角の関係

三角形の成立条件
\begin{equation*} |b-c| \lt a \lt b+c \end{equation*}
辺と角の大小関係 その1
\begin{align*} a \lt b \ & \Longleftrightarrow \ A \lt B \\[ 7pt ] a = b \ & \Longleftrightarrow \ A = B \\[ 7pt ] a \gt b \ & \Longleftrightarrow \ A \gt B \end{align*}
辺と角の大小関係 その2
\begin{align*} a \lt 90^{\circ} \ & \Longleftrightarrow \ a^{2} \lt b^{2} + c^{2} \\[ 7pt ] a = 90^{\circ} \ & \Longleftrightarrow \ a^{2} = b^{2} + c^{2} \\[ 7pt ] a \gt 90^{\circ} \ & \Longleftrightarrow \ a^{2} \gt b^{2} + c^{2} \end{align*}

三角形の面積

2辺とその間の角

△ABCの面積をSとすると
\begin{align*} S & = \frac{1}{2} bc \sin A \\[ 7pt ] & = \frac{1}{2} ca \sin B \\[ 7pt ] & = \frac{1}{2} ab \sin C \end{align*}

3辺(ヘロンの公式)

△ABCの面積をSとし、2S=a+b+cとおくと
\begin{equation*} S = \sqrt{s \left( s-a \right) \left( s-b \right) \left( s-c \right)} \end{equation*}

三角形の内接円と面積

△ABCの面積をS,内接円の半径をrとおくと
\begin{equation*} S = \frac{1}{2} r \left( a+b+c \right) \end{equation*}

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Posted by kiri