指数関数と対数関数
目次
指数関数と対数関数：１．指数関数
指数の拡張
実数の指数
$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ で、$n$ が正の整数、$r \ , \ s$ が実数とする。
定義
\begin{align*}
a^{\tiny{0}} &= 1 \\[ 10pt ]
a^{-n} &= \frac{1}{a^{n}}
\end{align*}
法則
\begin{align*}
a^{r} a^{s} &= a^{r+s} \\[ 10pt ]
{\left( a^{r} \right)}^{s} &= a^{rs} \\[ 10pt ]
{\left( ab \right)}^{r} &= a^{r} b^{r}
\end{align*}
累乗根
$m \ , \ n \ , \ p$ は正の整数とする。$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のときの累乗根の性質
\begin{align*}
&{\left( \sqrt[ n ]{ a } \right)}^{n} = a \\[ 10pt ]
&\sqrt[ n ]{ a } \sqrt[ n ]{ b } = \sqrt[ n ]{ ab } \\[ 10pt ]
&\frac{\sqrt[ n ]{ a }}{\sqrt[ n ]{ b }} = \sqrt[ n ]{ \frac{a}{b}}
\end{align*}
\begin{align*}
&{\left( \sqrt[ n ]{ a } \right)}^{m} = \sqrt[ n ]{ a^{m} } \\[ 10pt ]
&\sqrt[ m ]{ \sqrt[ n ]{a} } = \sqrt[ mn ]{ a } \\[ 10pt ]
&\sqrt[ n ]{ a^{m} } = \sqrt[ np ]{ a^{mp} }
\end{align*}
指数関数のグラフ
指数関数 $y=a^{x}$ とそのグラフ
$a \gt 0 \ , \ a \neq 1$ とする。
- 定義域は実数全体、値域は $y \gt 0$
- $a \gt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加
- $0 \lt a \lt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少
- グラフは、点 $( 0 \ , \ 1 )$ を通り、$x$ 軸が漸近線
指数関数と対数関数：２．対数関数
対数とその性質
指数と対数の基本関係
$a \gt 0 \ , \ a \neq 1 \ , \ M \gt 0$ とする。
定義
\begin{align*}
&a^{p} = M \iff p = \log_{ a } M \\[ 10pt ]
&\quad \lbrack \ \log_{ a } a^{p} = p \ \rbrack
\end{align*}
特に
\begin{align*}
&log_{a} a = 1 \\[ 10pt ]
&log_{a} 1 = 0 \\[ 10pt ]
&log_{a} \frac{1}{a} = -1
\end{align*}
対数の性質
$a \ , \ b \ , \ c$ は $1$ ではない正の数、$M \gt 0 \ , \ N \gt 0 \ , \ k$ は実数とする。
\begin{align*}
\log_{ a } MN &= \log_{ a } M + \log_{ a } N \\[ 10pt ]
\log_{ a } \frac{M}{N} &= \log_{ a } M – \log_{ a } N
\end{align*}
\end{align*}
\begin{equation*}
\log_{ a } M^{k} = k \log_{ a } M
\end{equation*}
\begin{align*}
\log_{ a } b &= \frac{\log_{ c } b}{\log_{ c } a} \\[ 15pt ]
\log_{ a } b &= \frac{1}{\log_{ b } a}
\end{align*}
対数関数のグラフ
対数関数 $y = \log_{ a } x$ とそのグラフ
- $y = \log_{ a } x$ は $x=a^{y}$ と同値 ( $a \gt 0 \ , \ a \neq 1$ )
- 定義域は $x \gt 0$、値域は実数全体
- $a \gt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加
- $0 \lt a \lt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少
- グラフは、点 $( 1 \ , \ 0 )$ を通り、$y$ 軸が漸近線
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