指数関数と対数関数

08/22/2018

数学の公式・定理集

指数関数と対数関数:1.指数関数

指数の拡張

実数の指数

$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ で、$n$ が正の整数、$r \ , \ s$ が実数とする。

定義
\begin{align*} a^{\tiny{0}} &= 1 \\[ 10pt ] a^{-n} &= \frac{1}{a^{n}} \end{align*}
法則
\begin{align*} a^{r} a^{s} &= a^{r+s} \\[ 10pt ] {\left( a^{r} \right)}^{s} &= a^{rs} \\[ 10pt ] {\left( ab \right)}^{r} &= a^{r} b^{r} \end{align*}

累乗根

$m \ , \ n \ , \ p$ は正の整数とする。$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のときの累乗根の性質

\begin{align*} &{\left( \sqrt[ n ]{ a } \right)}^{n} = a \\[ 10pt ] &\sqrt[ n ]{ a } \sqrt[ n ]{ b } = \sqrt[ n ]{ ab } \\[ 10pt ] &\frac{\sqrt[ n ]{ a }}{\sqrt[ n ]{ b }} = \sqrt[ n ]{ \frac{a}{b}} \end{align*}
\begin{align*} &{\left( \sqrt[ n ]{ a } \right)}^{m} = \sqrt[ n ]{ a^{m} } \\[ 10pt ] &\sqrt[ m ]{ \sqrt[ n ]{a} } = \sqrt[ mn ]{ a } \\[ 10pt ] &\sqrt[ n ]{ a^{m} } = \sqrt[ np ]{ a^{mp} } \end{align*}

指数関数のグラフ

指数関数 $y=a^{x}$ とそのグラフ

$a \gt 0 \ , \ a \neq 1$ とする。
  • 定義域は実数全体、値域は $y \gt 0$
  • $a \gt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加
    • $0 \lt a \lt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少
  • グラフは、点 $( 0 \ , \ 1 )$ を通り、$x$ 軸が漸近線

指数関数と対数関数:2.対数関数

対数とその性質

指数と対数の基本関係

$a \gt 0 \ , \ a \neq 1 \ , \ M \gt 0$ とする。

定義
\begin{align*} &a^{p} = M \iff p = \log_{ a } M \\[ 10pt ] &\quad \lbrack \ \log_{ a } a^{p} = p \ \rbrack \end{align*}
特に
\begin{align*} &log_{a} a = 1 \\[ 10pt ] &log_{a} 1 = 0 \\[ 10pt ] &log_{a} \frac{1}{a} = -1 \end{align*}

対数の性質

$a \ , \ b \ , \ c$ は $1$ ではない正の数、$M \gt 0 \ , \ N \gt 0 \ , \ k$ は実数とする。

\begin{align*} \log_{ a } MN &= \log_{ a } M + \log_{ a } N \\[ 10pt ] \log_{ a } \frac{M}{N} &= \log_{ a } M – \log_{ a } N
\end{align*}
\begin{equation*} \log_{ a } M^{k} = k \log_{ a } M \end{equation*}
\begin{align*} \log_{ a } b &= \frac{\log_{ c } b}{\log_{ c } a} \\[ 15pt ] \log_{ a } b &= \frac{1}{\log_{ b } a} \end{align*}

対数関数のグラフ

対数関数 $y = \log_{ a } x$ とそのグラフ

  • $y = \log_{ a } x$ は $x=a^{y}$ と同値 ( $a \gt 0 \ , \ a \neq 1$ )
  • 定義域は $x \gt 0$、値域は実数全体
  • $a \gt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ も増加
    • $0 \lt a \lt 1$ のとき、$x$ が増加すると $y$ は減少
  • グラフは、点 $( 1 \ , \ 0 )$ を通り、$y$ 軸が漸近線

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Posted by kiri