数学の公式・定理集｜三角関数
目次
三角関数：１．三角関数
弧度法と三角関数
弧度法
\begin{align*}
\bullet \ &1^\circ = \frac{\pi}{180} \ \text{ラジアン} \\[ 10pt ]
\bullet \ &1 \ \text{ラジアン} \ = {\left( \frac{180}{\pi} \right)}^\circ
\end{align*}
半径 r、中心角 θ ラジアンの扇形について
弧の長さℓ
\begin{equation*}
\quad l = r \theta
\end{equation*}
面積 S
\begin{equation*}
\quad S = \frac{1}{2} lr = \frac{1}{2} r^{\scriptsize{2}} \theta
\end{equation*}
三角関数の性質
n は整数、符号は複合同順とする。
\begin{align*}
&\sin ( \theta + 2n\pi ) = \sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos ( \theta + 2n\pi ) = \cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan ( \theta + 2n\pi ) = \tan ( \theta + n\pi ) = \tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin ( -\theta ) = -\sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos ( -\theta ) = \cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan ( -\theta ) = -\tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin ( \pi \pm \theta ) = \mp \sin \theta \\[ 10pt ]
&\cos ( \pi \pm \theta ) = -\cos \theta \\[ 10pt ]
&\tan ( \pi \pm \theta ) = \pm \tan \theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \cos \theta \\[ 10pt ]
&\cos \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \mp \sin \theta \\[ 10pt ]
&\tan \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \mp \frac{1}{\tan \theta}
\end{align*}
周期
三角関数の周期
k は正の定数とする。
\begin{align*}
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{関数} & y= \sin k\theta & y = \cos k\theta & y = \tan k\theta \\
\hline
\text{周期} & \frac{2\pi}{k} & \frac{2\pi}{k} & \frac{\pi}{k} \\
\end{array}
\end{align*}
三角関数：２．加法定理
加法定理
符号は複合同順とする。
\begin{align*}
&\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\[ 10pt ]
&\cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\[ 10pt ]
&\tan ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}
\end{align*}
２倍角、半角、３倍角の公式
２倍角の公式
\begin{align*}
\bullet \ \sin 2\alpha = \ &2\sin \alpha \cos \alpha \\[ 10pt ]
\bullet \ \cos 2\alpha = \ &\cos^{\scriptsize{2}} \alpha – \sin^{\scriptsize{2}} \alpha \\[ 7pt ]
= \ &1 – 2\sin^{\scriptsize{2}} \alpha \\[ 7pt ]
= \ &2\cos^{\scriptsize{2}} \alpha – 1 \\[ 10pt ]
\bullet \ \tan 2\alpha = \ &\frac{2\tan \alpha}{1 – \tan^{\scriptsize{2}} \alpha}
\end{align*}
半角の公式
\begin{align*}
\bullet \ \sin^{\scriptsize{2}} {\frac{\alpha}{2}} = \ &\frac{1 – \cos \alpha}{2} \\[ 10pt ]
\bullet \ \cos^{\scriptsize{2}} {\frac{\alpha}{2}} = \ &\frac{1 + \cos \alpha}{2} \\[ 10pt ]
\bullet \ \tan^{\scriptsize{2}} {\frac{\alpha}{2}} = \ &\frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}
\end{align*}
３倍角の公式
\begin{align*}
\bullet \ \sin 3\alpha = \ &3\sin \alpha – 4\sin^{\scriptsize{3}} \alpha \\[ 10pt ]
\bullet \ \cos 3\alpha = \ &-3\cos \alpha + 4\cos^{\scriptsize{3}} \alpha
\end{align*}
積 ⇄ 和の公式、合成
積 ⇄ 和の公式
積 → 和
\begin{align*}
&\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} \\[ 10pt ]
&\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) \ – \ \sin (\alpha – \beta) \right\} \\[ 10pt ]
&\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} \\[ 10pt ]
&\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) \ – \ \cos (\alpha – \beta) \right\}
\end{align*}
和 → 積
\begin{align*}
&\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \ \cos \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ]
&\sin A \ – \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2} \ \sin \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ]
&\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2} \ \cos \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ]
&\cos A \ – \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2} \ \sin \frac{A-B}{2}
\end{align*}
三角関数の合成
$a \neq 0$ または $b \neq 0$ とする。
\begin{align*}
&\quad a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}} \sin (\theta + \alpha) \\[ 10pt ]
&\text{ただし、$\alpha$ は以下を満たす。} \\[ 10pt ]
&\quad \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}}} \\[ 10pt ]
&\quad \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}}}
\end{align*}
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