整数の性質

08/14/2018

数学の公式・定理集

整数の性質

約数と倍数

倍数の判定方法

  • 2の倍数:一の位が 0, 2, 4, 6, 8 のいずれか
  • 5の倍数:一の位が 0, 5 のいずれか
  • 4の倍数:下2桁が4の倍数
  • 3の倍数:各位の数の和が3の倍数
  • 9の倍数:各位の数の和が9の倍数

約数の個数

自然数 N の素因数分解が
\begin{equation*} \quad N=p^{a} q^{b} r^{c} \cdots \end{equation*}
となるとき、N の正の約数の個数は
\begin{equation*} \quad (a+1)(b+1)(c+1) \cdots \end{equation*}

最大公約数・最小公倍数の性質

2つの自然数 a, b の最大公約数を g、最小公倍数をℓとする。
また、a=ga’, b=gb’ とする。
  1. a’, b’ は互いに素である。
  2. ℓ= ga’b’ = ab’ = a’b
  3. ab = gℓ 特に g=1 のとき ab=ℓ

整数の割り算と商・余り

整数の割り算

整数 a と正の整数 b に対して
\begin{equation*} \quad a=bq+r \ , \ 0 \leqq r \lt b \end{equation*}
を満たす整数 q と r がただ1通りに定まる。

連続する整数の積の性質

  1. 連続する2つの整数の積は、2の倍数である。
  2. 連続する3つの整数の積は、6の倍数である。

余りによる整数の分類

$k$ は整数とする。
  1. 2k, 2k+1 (偶数,奇数)
  2. 3k, 3k+1, 3k+2 (3で割った余りが 0, 1, 2 )
  3. 一般に m が2以上の自然数のとき、mk, mk+1, mk+2, … , mk+(m-1)

(参考)合同式

m は正の整数とする。
2つの整数 a, b について、a-b が m の倍数であるとき、a と b は m を法として合同であると言い、
\begin{equation*} \quad a \equiv b \pmod m \end{equation*}
という式で表す。

ユークリッドの互除法・1次不定方程式

割り算と最大公約数

2つの自然数 a, b について、a を b で割ったときの余りを r とすると、a と b の最大公約数は、b と r の最大公約数に等しい。

ユークリッドの互除法

2つの自然数 a, b の最大公約数を求めるには、以下の手順を繰り返せばよい。
  1. a を b で割ったときの余りを r とする。
  2. r = 0 のとき、b が a, b の最大公約数。
  3. r > 0 のとき、a を b、b を r で置き換えて、1の手順へ。

1次不定方程式と整数解

0 でない2つの整数 a, b が互いに素であるならば、任意の整数 c について、ax+b=c を満たす整数 x, y が存在する。

分数と小数、n進法

有限小数、循環小数の判定

規約分数 $\frac{m}{n}$ について、次のことが成り立つ。
  • 分母 n の素因数は 2, 5 だけからなる
    • $\iff \frac{m}{n}$ は有限小数で表される
  • 分母 n の素因数に 2, 5 以外のものがある
    • $\iff \frac{m}{n}$ は循環小数で表される

n進法

位取りの基礎を n として数を表す方法を n 進法と言う。
また、n 進法で表された数を n 進数と言う。

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Posted by kiri