数学の公式・定理集｜整数の性質
整数の性質
約数と倍数
倍数の判定方法
- ２の倍数：一の位が 0, 2, 4, 6, 8 のいずれか
- ５の倍数：一の位が 0, 5 のいずれか
- ４の倍数：下２桁が４の倍数
- ３の倍数：各位の数の和が３の倍数
- ９の倍数：各位の数の和が９の倍数
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約数の個数
自然数 N の素因数分解が
\begin{equation*}
\quad N=p^{a} q^{b} r^{c} \cdots
\end{equation*}
となるとき、N の正の約数の個数は
\begin{equation*}
\quad (a+1)(b+1)(c+1) \cdots
\end{equation*}
最大公約数・最小公倍数の性質
２つの自然数 a, b の最大公約数を g、最小公倍数をℓとする。
また、a=ga’, b=gb’ とする。
- a’, b’ は互いに素である。
- ℓ= ga’b’ = ab’ = a’b
- ab = gℓ 特に g=1 のとき ab=ℓ
整数の割り算と商・余り
整数の割り算
整数 a と正の整数 b に対して
\begin{equation*}
\quad a=bq+r \ , \ 0 \leqq r \lt b
\end{equation*}
を満たす整数 q と r がただ１通りに定まる。
連続する整数の積の性質
- 連続する２つの整数の積は、２の倍数である。
- 連続する３つの整数の積は、６の倍数である。
余りによる整数の分類
k は整数とする。
- $2k \ , \ 2k+1$（偶数，奇数）
- $3k \ , \ 3k+1 \ , \ 3k+2$（３で割った余りが 0, 1, 2 ）
- 一般に m が２以上の自然数のとき、$mk \ , \ mk+1 \ , \ mk+2 \ , \ \cdots \ , \ mk+(m-1)$
（参考）合同式
m は正の整数とする。
２つの整数 a, b について、a-b が m の倍数であるとき、a と b は m を法として合同であると言い、
\begin{equation*}
\quad a \equiv b \pmod m
\end{equation*}
という式で表す。
ユークリッドの互除法・１次不定方程式
割り算と最大公約数
２つの自然数 a, b について、a を b で割ったときの余りを r とすると、a と b の最大公約数は、b と r の最大公約数に等しい。
ユークリッドの互除法
２つの自然数 a, b の最大公約数を求めるには、以下の手順を繰り返せばよい。
- a を b で割ったときの余りを r とする。
- r = 0 のとき、b が a, b の最大公約数。
- r > 0 のとき、a を b、b を r で置き換えて、１の手順へ。
１次不定方程式と整数解
0 でない２つの整数 a, b が互いに素であるならば、任意の整数 c について、ax+b=c を満たす整数 x, y が存在する。
分数と小数、ｎ進法
有限小数、循環小数の判定
規約分数 $\frac{m}{n}$ について、次のことが成り立つ。
- 分母 n の素因数は 2, 5 だけからなる
- $\iff \frac{m}{n}$ は有限小数で表される
- 分母 n の素因数に 2, 5 以外のものがある
- $\iff \frac{m}{n}$ は循環小数で表される
ｎ進法
位取りの基礎を n として数を表す方法を n 進法と言う。
また、n 進法で表された数を n 進数と言う。
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