整数の性質｜ｎ進法の小数について
今回はｎ進法の小数について学習しましょう。小数も２進法や３進法で表すことができます。
整数のときと同じように決まった手順があるので、演習をこなしてマスターしましょう。
１０進法で表される小数や分数について
この単元では、分数が有限小数や循環小数で表される条件や、分数が記数法の底によって有限小数で表されたり、循環小数で表されたりすることを学習します。
まずは、日頃から用いている１０進法での小数や分数について確認しておきましょう。
この単元では、１０進法で表される小数として、有理数に分類されるものを扱います。有理数については「数と式」の単元ですでに学習しています。
有理数とは整数、有限小数、循環小数などの分数で表すことのできる数でした。
有理数の分類
- 整数
- 有限小数 … 小数第何位かで終わる小数。分母ｎの素因数は２，５のみ。
- 循環小数 … 無限小数のうち、いくつかの数字の配列が繰り返されるもの。分母ｎの素因数は２，５以外のものがある。
整数や有限小数はもちろんですが、循環小数は分数で表すことのできる数です。特に、循環小数を扱った問題は頻出なので、循環小数のことを忘れている人は復習しておきましょう。
分数と小数の関係
１０進法で表される分数を小数で表すとき、有限小数と循環小数のどちらになるのかを分母の素因数によって判断することができます。
一般に以下のようなことが成り立ちます。
分数が有限小数や循環小数で表される条件
\begin{align*} &\text{$\frac{m}{n}$ を整数でない既約分数とすると} \\[ 7pt ] &\text{① 分母 $n$ の素因数は $2 \ , \ 5$ だけからなる} \\[ 7pt ] &\text{$\quad$ ⇔ $\frac{m}{n}$ は有限小数} \\[ 10pt ] &\text{② 分母 $n$ の素因数は $2 \ , \ 5$ 以外のものがある} \\[ 7pt ] &\text{$\quad$ ⇔ $\frac{m}{n}$ は循環小数} \end{align*}既約分数とは、これ以上約分のできない（すでに約分が終わった）分数のことです。
たとえば、以下のような問題が出題されます。
例題
$n$ を自然数とする。分数 $\frac{19}{n}$ の分子を分母で割ると、整数部分が $1$ 以上の有限小数となるような $n$ は何個あるか。
分母の素因数によって、分数が有限小数や循環小数になることが分かるので、それで判断します。
分数が有限小数になるには、分母の素因数が２，５だけからなることが条件です。ただし、整数部分が１以上になることにも注意します。
例題の解答例
$\frac{19}{n}$ の整数部分は $1$ 以上であるので
\begin{align*} \quad \frac{19}{n} \gt 1 \end{align*}これと $n$ が自然数であることから
\begin{align*} \quad 1 \lt n \lt 19 \quad \text{…①} \end{align*}また、有限小数になるには、分母 $n$ の素因数が $2 \ , \ 5$ だけからなればよい。
よって、①の範囲を満たす $n$ は
\begin{align*} \quad n = 2 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 8 \ , \ 10 \ , \ 16 \end{align*}の $6$ 個である。
分母の条件を覚えていなければ、ｎに値を代入して吟味すれば求めることはできます。ただし、このやり方だと時間が掛るので、入試では時間に余裕があるときにしましょう。
１０進法で表される小数や分数について復習できたところで、次は記数法の変換について確認しましょう。
ｎ進法の小数
記数法を変換するためには、記数法で書き表された数の意味や位について、いくつか覚えておかなければなりません。
たとえば、１０進法で０.１２３と書き表された小数は、以下のような意味をもっています。
１０進法で書き表された小数の意味と位
$10$ 進法で $0.123$ と書き表された数は
\begin{align*} \quad \frac{1}{10^{1}} + \frac{2}{10^{2}} + \frac{3}{10^{3}} \end{align*}を意味する。
また、小数点以下の位は
\begin{align*} \quad \text{$\frac{1}{10^{1}}$ の位、$\frac{1}{10^{2}}$ の位、$\frac{1}{10^{3}}$ の位} \end{align*}となる。
このことは、ｎ進法で書き表された小数でも成り立ちます。
ｎ進法で書き表された小数の意味と位
$n$ 進法で
\begin{align*} \quad 0.abc_{(n)} \end{align*}と書き表された数は
\begin{align*} \quad \frac{a}{n^{1}} + \frac{b}{n^{2}} + \frac{c}{n^{3}} \end{align*}を意味する。
また、小数点以下の位は
\begin{align*} \quad \text{$\frac{1}{n^{1}}$ の位、$\frac{1}{n^{2}}$ の位、$\frac{1}{n^{3}}$ の位} \end{align*}となる。
注意したいのは、整数では位が大きくなれば、それに伴ってｎの累乗の指数は大きくなりますが、小数では逆になることです。
小数では位が大きくなれば、それに伴ってｎの累乗の指数は小さくなります。
記数法の変換
ｎ進法から１０進法への変換
記数法の変換を扱った問題は、小数でも基本的な問題の１つです。記数法を変換するには、底とした数を用いて位取りしたことを利用します。
たとえば、５進数０.１０２１(5)を１０進法の数に変換してみましょう。
底が５であるので、０.１０２１(5)は５の累乗を用いて位取りされた数字の配列です。位取りするときの式に戻します。
５進法から１０進法への変換 1⃣
$0.1021_{(5)}$ は
\begin{align*} \quad \frac{1}{5^{1}} + \frac{0}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{1}{5^{4}} \end{align*}を意味する。
位取りするときの式に戻せたら、分数を整理します。
５進法から１０進法への変換 2⃣
\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{1}{5^{1}} + \frac{0}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{1}{5^{4}} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \end{align*}これを整理すると
\begin{align*} \quad \frac{1 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5 + 1 }{5^{4}} = \frac{136}{625} \end{align*}分数を１つにまとめたら、分子を分母で割る割り算をして、小数で表します。この小数が１０進法で表された数です。
５進法から１０進法への変換 3⃣
\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \frac{1 \cdot 5^{3} + 2 \cdot 5 + 1 }{5^{4}} = \frac{136}{625} \end{align*}よって、求める小数は
\begin{align*} \quad 0.1021_{(5)} = 0.2176 \end{align*}０.１０２１(5)を１０進法で表された数に変換すると、有限小数０.２１７６となることが分かりました。
ｎ進法から１０進法への変換手順をまとめると以下のようになります。
ｎ進法から１０進法への変換手順
- ｎ進法で書き表された数を、ｎで位取りしたときの式で表す。
- 分数を通分して１つにまとめる。
- 分子を分母で割る割り算をして、小数で表す。
整数のときと異なるのは、分数の計算になったくらいです。記数法で書き表された数の意味と位をしっかり覚えておけば、機械的に変換できます。
１０進法からｎ進法への変換
次は、１０進法からｎ進法への変換です。たとえば、１０進数０.３７５を２進法で表してみましょう。
底は２であるので、２の累乗を用いて位取りすれば、２進法に変換することができます。
１０進数０.３７５を２進法で表す 1⃣
\begin{align*} 0.375 &= \frac{375}{1000} \\[ 7pt ] &= \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} \\[ 7pt ] &= \frac{3}{8} \\[ 7pt ] &= \frac{2 + 1}{2^{3}} \\[ 7pt ] &= \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} \\[ 7pt ] &= \frac{0}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} \end{align*}分数の分子から各位の数字が分かるので、数字を順に抜き出して小数点以下に並べます。
１０進数０.３７５を２進法で表す 2⃣
\begin{align*} \quad 0.375 = \frac{0}{2^{1}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} \end{align*}より、$10$ 進数 $0.375$ を $2$ 進法で表すと
\begin{align*} \quad 0.375 = 0.011_{(2)} \end{align*}このように位取りするときの式を立式できれば、記数法の変換が可能です。しかし、式変形が面倒です。
１０進法で表される小数や分数を、ｎ進法で表される数に変換するとき、底ｎを掛ける掛け算を繰り返す方法で機械的に変換します。
１０進数からｎ進数への変換を機械的にする方法
- 整数であれば、底ｎで割る割り算を繰り返す
- 小数や分数であれば、底ｎを掛ける掛け算を繰り返す
１０進数０.３７５に２を掛けます。この後は、積の小数部分に２を掛ける掛け算を繰り返します。２を掛ける掛け算は、小数部分が０になったら終了です。
１０進数０.３７５を２進法で表す（別解） 1⃣
\begin{align*} \quad 0.375 \times 2 &= 0.750 \\[ 7pt ] \quad 0.750 \times 2 &= 1.50 \\[ 7pt ] \quad \underline{0.50} \times 2 &= 1.0 \end{align*}２回目の掛け算の積は１.５０となったので、１.５０ではなく、小数部分０.５０に２を掛ける掛け算をします。
３回目の掛け算で小数部分が０となったので終了です。整数部分を上から順に小数点以下に並べると変換後の小数になります。
１０進数０.３７５を２進法で表す（別解） 2⃣
積の整数部分は上から順に
\begin{align*} \quad 0 \ , \ 1 \ , \ 1 \end{align*}となるので
\begin{align*} \quad 0.375 = 0.011_{(2)} \end{align*}実際には以下のように下に掛け算する筆算で求めます。
この例では、小数部分は０になりましたが、必ず０になるとは限らないので注意しましょう。
例では、小数部分が０になったので、変換後の数は有限小数になることが分かります。
10進法からｎ進法への変換手順は以下のようになります。
１０進法からｎ進法への変換手順
- １０進法で書き表された数に、ｎを掛ける。
- 積の小数部分にｎを掛ける掛け算を繰り返す。
- 小数部分が０になったら、積の整数部分を上から順に抜き出して小数点以下に並べる。
この手順通りに掛け算していけば、１０進法からｎ進法へ変換することができます。なお、手順を忘れたときのために、以下のことを覚えておきましょう。
記数法の変換では、
（１０進法で表される数）⇔（底で位取りするための式）⇔（ｎ進法で表される式）
の関係がある。底で位取りするための式が介在するので、底を掛ける掛け算を忘れても、立式できれば何とかなる。
次はｎ進法の小数を扱った問題を実際に解いてみましょう。