数と式|数の定義について

数学1

高校数学で扱う数の分類

高校数学で扱う数とその定義について学習しましょう。

高校数学で扱う数の範囲は、中学までと比べて広くなります。整数が出てきたらラッキーくらいに考えておいた方が良いかもしれません。

初めのうちは「~の範囲で答えなさい」と言った親切な問題もありますが、そのうち親切な但し書きもなくなります。高校数学で扱う数にできるだけ早く慣れましょう。

高校数学で扱う数の分類

高校で扱う数を分類すると、以下のようになります。

数の分類
数の分類

高校で扱う数は、実数の範囲にある数を対象としています。中学までで扱っていた数は、実数、あるいは有理数の一部になります。これまで扱ってきた数に加えて、他の数についての知識が増えます。

有理数と無理数が対の関係になっていたり、有理数には整数、有限小数、無限小数などがあったりなどと、それぞれの数で属する範囲があります。

自分の扱う数がどんな数かを分かって使えるようになりましょう。

実数の定義

実数とは、実体があり、実際に測ることのできる数のことです。普段から四則計算で扱っている数のことなので、特に難しく考える必要はありません。

また、実数は有理数と無理数の総称でもあります。

ちなみに実数と対になり、実体のない数は虚数。虚数は「複素数」の単元で学習する。

有理数と無理数の定義とその違い

有理数無理数は、ともに実数の範囲にある数で、その違いは分数で表せるかどうかです。

有理数は分数で表すことができますが、無理数は分数で表すことができません。

有理数

分数で表せる有理数は、整数循環小数有限小数の3種類に分類できます。

整数は基本的に分数で表しませんが、計算などでは分数で表すこともあります。ですから、整数は有理数の定義に当てはまる数です。

また、有限小数は、名前の通り有限な小数で、小数点以下に必ず終わりがある小数です。

有限小数に対して、循環小数は、小数点以下が無限に続き、小数点以下に同じ数字の繰り返しが現れる小数です。

数字が循環しても、無限に続くのであれば、分数で表せないような気がします。しかし、きちんと分数で表すことができます。

有理数は分数で表せる数。特に循環小数を分数で表す問題は頻出なので、演習をこなしておこう。

無理数

無理数は、有理数と同じ実数に分類され、有理数と対になる数です。無理数は有理数と異なり、分数で表すことができない数です。

中学で学習した平方根は無理数です。この平方根は、小数点以下が無限に続き、しかも循環しない小数です。

無限小数を記述するのは大変です。それを解消するために、平方根であれば根号(ルート)という記号を使って表します。

このような無限小数は、循環小数と異なり、分数で表すことができません。

有理数と無理数の定義をセットで覚えよう。分数で表せるかどうかが分類のポイント。

循環小数の扱い

数を扱った問題で多いのが、循環小数の表し方や分数への変換です。循環小数は無限小数ですが、有理数なので分数で表すことができます。

循環小数の表し方

循環小数は小数点以下が無限に続く数なので、ある規則に従って小数点以下を工夫して表します。毎回、小数点以下を長々と記述するのは面倒だからです。

規則と言うほどのものではありません。循環する数字が分かるように、数字の上に黒丸を付けるという規則です。

循環する数字の桁数によって、黒丸の付け方が少し変わります。

循環小数の表し方

  • 小数点以下で、循環する数字が1桁のとき、その数字の上に黒丸を付ける。
  • 小数点以下で、循環する数字が2桁のとき、2つの数字の上に黒丸を付ける。
  • 小数点以下で、循環する数字が3桁のとき、1桁目と3桁目の数字の上に黒丸を付ける。

黒丸の数は、循環する数字の桁数によって異なります。

循環小数の表し方のルール
循環小数の表し方

循環する数字の桁数が3桁以上になると、黒丸を付けるのは最初と最後の数字の2箇所だけで構いません。おそらく、黒丸を付けすぎると、逆に分かりにくくなるからかもしれません。

循環小数を分数で表す

分数を小数で表したり、有限小数を分数で表したりすのは、難しくありません。

しかし、循環小数は無限に続く小数です。そうなると、有限小数と同じように10や100などを分母にした分数で表せそうにありません。

循環小数を分数で表せ」という問題を解くためには、分数で表すための方法を知っていることが絶対です。知らなければまず解けないだろうと思います。

循環小数を分数で表してみよう

次の循環小数を分数で表してみましょう。

例題

$2.\dot{1}\dot{5}$ を分数で表せ。

例題の解答・解説

循環小数の最大の特徴は、小数点以下に同じ数字の並びが繰り返し現れることです。この性質を利用します。

まず、循環小数を用いて等式を作ります。

例題の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad x=2.\dot{1}\dot{5} \quad \cdots \text{①} \end{align*}

とおく。

この等式だけでは循環小数を分数で表すことができません。

ところで、与えられた循環小数は、小数点以下の1,5の2桁が繰り返し現れる数です。

循環小数の循環部分に注目する

\begin{align*} \quad x=2. \underline{15151515 \cdots \cdots } \end{align*}

分数で表せないのは、循環小数だからです。循環小数が有限小数になれば、分数で表すことができます。

一番手っ取り早いのは、原因となっている循環部分がなくなることです。等式①を作ったのは、小数点以下の循環する部分をなくす処理を行うためです。

ただし、等式①だけでは難しいので、新しい等式を導きます。新たに導く等式は、たとえば両辺を100倍するなどした式です。

例題の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad x &=2.\dot{1}\dot{5} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \end{align*}

①の両辺に $100$ を掛けて

\begin{align*} \quad 100x=215.\dot{1}\dot{5} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

等式①の両辺を100倍すると、等式②を導くことができます。

等式②の右辺を見ると、循環小数の小数点がもとの位置から右に2つずれます。このとき、小数点以下の数字の並びは、もとの数と同じように1,5が循環します。

この2つの等式を減算すると、循環部分が消えて無くなります。

例題の解答例 3⃣

\begin{align*} \quad x &=2.\dot{1}\dot{5} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \\[ 7pt ] 100x &=215.\dot{1}\dot{5} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

②-①

\begin{align*} \quad 99x=213 \end{align*}

減算した後、xについて解きます。xは等式①からもとの循環小数のことです。

例題の解答例 3⃣

\begin{align*} \quad x &=2.\dot{1}\dot{5} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \\[ 7pt ] 99x &=213 \end{align*}

これを $x$ について解くと

\begin{align*} \quad x=\frac{213}{99}=\frac{71}{33} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2.\dot{1}\dot{5}=\frac{71}{33} \end{align*}

循環部分を消去することで、無限小数を有限小数にすることができます。ここがポイントです。そのためには、始めに等式を作ることが必要です。

10倍か100倍かは循環部分の桁数で決める

等式の両辺を何倍するかは、循環する数字の桁数で決まります。循環部分がきれいに消えるように、10や100などを両辺に掛けましょう。

循環する数字の桁数に応じて、両辺に10や100を掛けよう。

例題のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

循環小数を分数で表す演習問題
例題のポイントと解答例

有限小数や循環小数の性質を利用した上手い方法です。また、約分をすることが多いので、分数を作って終わりにしないように気をつけましょう。

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さいごに、もう一度まとめ

  • 実数は、今まで扱ってきた数の総称。
  • 有理数と無理数は実数に属し、分数で表せるかどうかで決まる数。
  • 整数、有限小数、循環小数は有理数に属し、分数で表せる数。
  • 循環小数は、黒丸を使うと簡略化して表せる。
  • 循環小数を分数で表すとき、循環部分を消去して有限小数にする。