数と式｜整式をたすき掛けで因数分解してみよう
今回は、「たすき掛け」による因数分解を学習しましょう。
計算問題なので、演習をこなしながら学習すると効率が良いでしょう。もし、因数分解の基本的な方針や流れがまだ中途半端であれば、前の単元も確認しておきましょう。
「たすき掛け」による因数分解は、単なる計算問題だけでなく、色々な問題の中で利用されます。たとえば、「２次関数」では、点の座標を求めるときに利用することがあります。
「数と式」は、数や式についての基本的な扱い方を学習する単元です。徹底的に演習しておき、安心して数式を扱えるようにしておきましょう。それが今後の数学ライフをより良く送れるかどうかにつながります。
たすき掛けによる因数分解のおさらい
「たすき掛け」はどんな形の式で利用できたか覚えているでしょうか。以下のような条件を満たす整式に対して利用できます。
たすき掛けを利用できる整式の条件
- 特定の文字（たとえばｘ）についての２次式であること。
- ２次の項、１次の項、定数項の３つの項があること。
数式を扱うときには、式を見て方針が立つようになることを目標にしましょう。
典型的で頻出の問題を解いて、たすき掛けをマスターしよう
ここで紹介する問題は、たすき掛けを利用するものの中でも典型的で頻出の問題です。たすき掛けの使い所を押さえて、因数分解の流れを把握しましょう。
また、展開と因数分解の関係だけでなく、特定の文字に着目するなど、整式についての知識も問われています。これまで学習した内容を凝縮したような問題なので良問です。
扱う文字の種類や項数が多くなっても慌てずに。入試レベルならもっと複雑な整式を扱う。演習をこなして慣れていこう。
たすき掛けを利用して整式を因数分解してみよう
次の整式を因数分解してみましょう。
問
次の整式を因数分解しなさい。
\begin{align*} &1. \quad x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] &2. \quad x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \end{align*}与式を観察すると、以下のようなことが分かります。
与式から分かること
- 文字がｘ，ｙの２種類ある。
- 文字ｘ，ｙについて、ともに２次の項、１次の項、定数項の３項がある。
文字ｘ，ｙを含む整式で、ともに２次の項があれば、ほぼたすき掛けで因数分解できます。
問１の解答・解説
問１
次の整式を因数分解しなさい。
\begin{align*} \quad x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \end{align*}特定の文字に着目して整式を整理する
与式には２種類の文字ｘ，ｙがあります。与式を扱いやすくするために、ｘに着目して降べきの順に整理します。
このとき、同類項に注意して整理します。
問１の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(2y^2 -3y+1 \right) \end{align*}ｘに着目したので、ｙは数と同じ扱いをします。このとき、１次の項や定数項に注意が必要です。
着目する文字があると記述が変わる
着目する文字がなければ
\begin{align*} \quad x\left(3y-2 \right) \end{align*}⇒ 項の中ではカッコは一番後ろが基本
$x$ に着目すると
\begin{align*} \quad \left(3y-2 \right)x \end{align*}⇒ 係数が分かるように $x$ は一番後ろ
また、定数項は多項式になるので、カッコでくくっておきます。定数項の範囲が分かるようにするためです。定数項はｙについての２次式になっています。
特定の文字に着目して整式を整理すると、整式の見え方が変わる。扱い方の方針が立たないときは、次数の高い、または次数の低い文字に着目して整式を整理してみよう。
定数項が和の形だと因数分解できない
ｘに着目して与式を整理できたので、因数分解したいところですが、もう少し与式を変形する必要があります。
ここで、ｘについての１次式どうしの展開（乗法公式４番目）を思い出してみましょう。
ｘについての１次式どうしの展開（乗法公式４番目）
\begin{align*} &\left(ax+b \right)\left(cx+d \right) \\[ 7pt ] = \ &acx^2 +\left(ad+bc \right)x+bd \end{align*}公式の定数項は、因数ｂ，ｄの積で表されています。それに対して、与式の定数項は、多項式なので和の形で表されています。このままでは定数項の因数が分からないので、因数分解できません。
定数項の因数を知るために、ｙについての２次式を因数分解して積の形にします。ここで利用するのがたすき掛けです。
定数項だけで見れば、ｙについて、２次の項、１次の項、定数項を持つ多項式です。２次の項の係数が１ではないので、たすき掛けで因数分解します。
たすき掛けを利用して、与式の定数項を因数分解します。
問１の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(2y^2 -3y+1 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(y-1 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}これで定数項を積の形で表せました。
定数項だけで因数分解する方法は、たすき掛けとは限らない。共通因数でくくったり、他の乗法公式を利用したりする場合もある。
因数の組み合わせは符号に気を付けよう
定数項を因数分解すると、ｙの１次式どうしの積の形になるので、これらが因数の候補になります。
因数の候補としたのは、符号のことを考慮していないからです。定数項の因数分解に注意が向きすぎて、符号のことを忘れがちになります。
因数分解後の定数項から分かる因数の組み合わせは、次の２通り考えられます。
定数項の因数の組み合わせ
定数項は因数分解すると
\begin{align*} \quad +\left(y-1 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}より、因数の組み合わせは
\begin{align*} &\quad +\left(y-1 \right) \ , \ +\left(2y-1 \right) \\[ 7pt ] &\quad -\left(y -1 \right) \ , \ -\left(2y-1 \right) \\[ 7pt ] \end{align*}の $2$ 通り考えられる。
正負の数の乗除算で、符号の規則性を学習したことを思い出しましょう。また、ｙについての１次式を１つの文字に見立てると、符号の組み合わせを考えやすくなります。
式全体のたすき掛けでは、ｙの係数に注目
定数項の因数が分かったら、次は式全体をたすき掛けで因数分解します。
ｘの２次の項の係数を見て、因数の組み合わせを考えます。係数は１なので、因数は１，１の組み合わせです。
分かった因数を上下に並べます。
問１の解答例 3⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(2y^2 -3y+1 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(y-1 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}$x$ について $2$ 次の項の係数に注目して
\begin{align*} \begin{array}{ccc} 1 & & \\ 1 & & \\ \hline \end{array} \end{align*}次に、定数項の因数を上下に並べます。因数の候補が２通りあったので、並べ方に迷いますが、ｙの係数を参考にして候補を絞ります。
ｙの係数を参考にする
\begin{align*} \quad &x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(\underline{3y}-2 \right)x+\left(\underline{y}-1 \right)\left(\underline{2y}-1 \right) \end{align*}特に、$x$ について $1$ 次の項をよく見よう。
ｘの１次の項では、ｙの係数は＋３です。＋３であることに注意すると、定数項の因数は＋(ｙ－１)と＋(２ｙ－１)になると予想できます。負の数の組み合わせであれば、＋３ｙになりません。
定数項の因数を上下に並べます。実際にたすき掛けして、ｘの１次の項の係数＋(３ｙ－２)に等しくなることを確かめます。
問１の解答例 4⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(2y^2 -3y+1 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(y-1 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}$x$ について $2$ 次の項の係数に注目して
\begin{align*} \begin{array}{ccc} 1 & & \\ 1 & & \\ \hline \end{array} \end{align*}$x$ について定数項の因数から
\begin{align*} \begin{array}{ccccc} 1 & \searrow & \left( y -1 \right) & \longrightarrow & y-1 \\ 1 & \nearrow & \left( 2y -1 \right) & \longrightarrow & 2y-1 \\ \hline 1 & & \left( y -1 \right) \left( 2y -1 \right) & & \underline{\underline{3y-2}} \end{array} \end{align*}定数項の因数は多項式ですが、ｙの項だけに注目すると、符号や数字の組み合わせを考えやすくなります。
たすき掛けが上手くいけば、因数分解の続きに追記して終了です。
問１の解答例 5⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +3xy+2y^2 -2x-3y+1 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(2y^2 -3y+1 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(3y-2 \right)x +\left(y-1 \right)\left(2y-1 \right) \\[ 7pt ] = \ &\left\{x+\left(y-1 \right) \right\}\left\{x+\left(2y-1 \right) \right\} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] = \ &\left(x+y-1 \right)\left(x+2y-1 \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}たすき掛けの結果が出てから①，②を追記する。
\begin{align*} \begin{array}{ccccc} 1 & \searrow & \left(y-1 \right) & \longrightarrow & y-1 \\ 1 & \nearrow & \left(2y-1 \right) & \longrightarrow & 2y-1 \\ \hline 1 & & \left(y-1 \right) \left(2y-1 \right) & & \underline{\underline{3y-2}} \end{array} \end{align*}$x$ の $1$ 次の項の係数に等しくなったので終了。
問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
問２の解答・解説
問２
次の整式を因数分解しなさい。
\begin{align*} \quad x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \end{align*}２次の項の係数は正の数にしておこう
与式をｘについて降べきの順に整理します。このとき注意したいのは、定数項をカッコでくくるときです。
２次式を因数分解をするとき、２次の項の係数が正の数である方が、符号の組み合わせや乗法公式の利用などを考えると扱いやすいです。
問２も問１と同じように、定数項を因数分解する必要があります。ｙの２次の項の係数が正の数になるように、カッコでくくります。
問２の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x \underline{\underline{-\left(2y^2 -5y+2 \right)}} \end{align*}最高次の項（２次の項）の係数を正の数にするのは基本作業と思っておこう。２次関数の平方完成でも似たようなことをするので覚えておこう。
定数項を因数分解して、因数の組み合わせを考える
次に、定数項をたすき掛けで因数分解します。
問２の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(2y^2 -5y+2 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}定数項を因数分解できたら、因数の組み合わせを考えます。このとき符号に注意しましょう。
因数分解後の定数項から分かる因数の組み合わせは、次の２通り考えられます。
定数項の因数の組み合わせ
定数項は因数分解すると
\begin{align*} \quad -\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}より、因数の組み合わせは
\begin{align*} &\quad -\left(y-2 \right) \ , \ +\left(2y-1 \right) \\[ 7pt ] &\quad +\left(y-2 \right) \ , \ -\left(2y-1 \right) \end{align*}の $2$ 通り考えられる。
因数の候補が分かったので、たすき掛けを利用して式全体を因数分解します。
ｘの２次の項の係数を見て、因数の組み合わせを考えます。係数は１なので、因数は１，１の組み合わせです。
分かった因数を上下に並べます。
問２の解答例 3⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(2y^2 -5y+2 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}$x$ について $2$ 次の項の係数に注目して
\begin{align*} \begin{array}{ccc} 1 & & \\ 1 & & \\ \hline \end{array} \end{align*}ｙの係数に注目して、定数項の因数の組み合わせを予想しておきます。
ｙの係数を参考にする
\begin{align*} \quad &x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(\underline{y}+1 \right)x-\left(\underline{y}-2 \right)\left(\underline{2y}-1 \right) \end{align*}特に、$x$ について $1$ 次の項をよく見よう。
ｘの１次の項では、ｙの係数は＋１です。＋１であることに注意すると、定数項の因数は－(ｙ－１)と＋(２ｙ－１)になると予想できます。異符号の組み合わせなので注意しましょう。
定数項の因数を上下に並べます。実際にたすき掛けして、ｘの１次の項の係数＋(ｙ＋１)に等しくなることを確かめます。
問２の解答例 4⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(2y^2 -5y+2 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) \end{align*}$x$ について $2$ 次の項の係数に注目して
\begin{align*} \begin{array}{ccc} 1 & & \\ 1 & & \\ \hline \end{array} \end{align*}$x$ について定数項の因数から
\begin{align*} \begin{array}{ccccc} 1 & \searrow & -\left(y-2 \right) & \longrightarrow & -y+2 \\ 1 & \nearrow & \left(2y-1 \right) & \longrightarrow & 2y-1 \\ \hline 1 & & -\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) & & \underline{\underline{y+1}} \end{array} \end{align*}たすき掛けが上手くいけば、因数分解の続きに追記して終了です。
問２の解答例 5⃣
\begin{align*} \quad &x^2 +xy-2y^2 +x+5y-2 \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(2y^2 -5y+2 \right) \\[ 7pt ] = \ &x^2 +\left(y+1 \right)x-\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) \\[ 7pt ] = \ &\left\{x-\left(y-2 \right) \right\}\left\{x+\left(2y-1 \right) \right\} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] = \ &\left(x-y+2 \right)\left(x+2y-1 \right) \quad \cdots \text{②} \end{align*}たすき掛けの結果が出てから①，②を追記する。
\begin{align*} \begin{array}{ccccc} 1 & \searrow & -\left(y-2 \right) & \longrightarrow & -y+2 \\ 1 & \nearrow & \left(2y-1 \right) & \longrightarrow & 2y-1 \\ \hline 1 & & -\left(y-2 \right)\left(2y-1 \right) & & \underline{\underline{y+1}} \end{array} \end{align*}$x$ の $1$ 次の項の係数に等しくなったので終了。
問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
たすき掛けによる因数分解を２セット行う
ここで扱った因数分解の問題では、因数を考えるために定数項を因数分解する必要があります。そのため、定数項と式全体とでたすき掛けを２セット行っていることになります。
たすき掛けを２セット行う因数分解の流れをまとめると以下のようになります。
たすき掛けを２セット行う因数分解の流れ
- 文字ｘについて、整式を降べきの順に整理する。
- 定数項だけをたすき掛けで因数分解して、因数を求める。
- 定数項の因数が分かったら、式全体をたすき掛けで因数分解する。
たすき掛けを扱った因数分解では頻出の問題です。２種類の文字（たとえばｘ，ｙ）を含む２次式の因数分解であれば、まずこの解き方を検討してみましょう。
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さいごに、もう一度まとめ
- ２種類の文字ｘ，ｙがあり、それらの２次の項があったら、たすき掛けによる因数分解２セットを候補に。
- 文字ｘに注目して、整式を降べきの順に整理する。
- 注目しない文字ｙは数と同じ扱いをする。
- 定数項をカッコでくくるとき、２次の項の係数は正の数になるようにする。
- 定数項では、文字ｙに着目して２次式を因数分解して積の形にする。
- たすき掛けによる因数分解では、符号と数字の正しい組み合わせを探せばよい。