数と式｜整式の展開と乗法公式について
今回は整式の展開と乗法公式についてです。
展開の意味や分配法則との関係、そして乗法公式がどのようにして得られたのかが分かれば演習をこなしましょう。
展開の意味と分配法則との関係
展開の定義
展開とは、積の形で表された式を、和の形で表すことです。式を見るとカッコがなくなるので、展開のことを「カッコをはずす」と教わる場合もあります。
その後に学習する因数分解とはちょうど逆の操作になります。ですから、展開と因数分解は合わせて学習すると効率的です。
定義にあるように、もとの式は全体で積の形なので単項式ですが、展開すると和の形になるので多項式になります。つまり乗算から加算に変換しているのが式の展開だと言えます。
式の展開は分配法則を利用したもの
乗算から加算への変換で思いつくのが、分配法則です。分配法則は、文字式に限らず、数の計算でも利用される法則です。
中学での分配法則は、主に単項式と多項式の積から１つの多項式に書き換えるときに使われます。それに対して、高校での分配法則は、主に多項式どうしの積から１つの多項式にするときに使われます。
多項式どうしでの分配法則では、片方の多項式を１つの文字に置き換えて単項式にするのがポイントです。すると、中学での分配法則の形になり、式を展開できます。展開した後は、置き換えた文字を元の多項式に戻すと、また中学での分配法則の形になるので同じようにして式を展開します。
このように導出の過程を見ていくと、既習内容との関わりを知ることができ、覚えた事柄の使い所も分かります。これが公式の導出を勧める理由です。
乗法公式は計算過程を省略するための式
分配法則を用いると、多項式どうしの積を展開することができました。しかし何度も分配法則を２セット行うのは面倒です。
その面倒さを省くのが乗法公式です。この乗法公式は頻繁に扱う多項式どうしの積が対象です。式の形や符号に注目すると、公式を覚えるのがだいぶ楽になります。
式の展開は分配法則を利用すればできるので、乗法公式なんて覚えなくても良いのでは？と思うかもしれません。しかし、式によっては展開するのにだいぶ時間が掛かります。
乗法公式は計算過程を省略して結果を得ることができるので、計算ミスやスピードを考えると覚えておく方が絶対に良いでしょう。それに、覚えておかないと、式の因数分解で苦労することになるので、ぜひ覚えましょう。
中学で履修済みの乗法公式
１～３番目の式は中学で履修済みの乗法公式です。
１番目の式は累乗の形で表されているので、分配法則を利用しやすい積の形に変形します。２番目の式は、１番目と同様に分配法則を利用しても良いですが、１番目の式で $b$ から $-b$ に置き換えたと考えると、１番目の式の結果を利用して展開できます。
３番目の乗法公式も中学でも学習していますが、高校では $b$ の部分が文字を含む項になっていることが多くなります。
この式の計算過程を見るとよく分かりますが、分配法則で展開すると同類項が出てくるので、それを整理する必要があります。しかも同類項は相殺されます。
分配法則による展開だと、相殺されて消えてしまう項を展開のたびに書く必要がありますが、乗法公式だとその手間を省けます。
たすき掛けに関わる乗法公式
４番目以降から本格的に高校で学習する公式です。
文字 $x$ についての１次式どうしの積です。展開後は文字 $x$ についての２次式で、降べきの順に並んだ式になっています。
分配法則で展開すると、２，３番目の項が同類項なので整理する必要があります。分配法則すると４項からなる多項式でしたが、最終的には３項からなる多項式になります。
ポイントになるのは文字 $x$ の１次の項です。係数を見ると、展開前の内側２項の積と外側の２項の積との和になっています。
これまでの乗法公式が使えるように工夫した公式
５番目の乗法公式
この式は３項からなる多項式を２乗した式です。これまではカッコ内の項は２項でした。３項からなる多項式でも分配法則を３セット行えば展開できますが、手間が掛かります。
そこで項の数を減らす工夫をします。２つの項の和を１つの文字に置き換えて、２項からなる多項式にします。この工夫のおかげで、１番目の乗法公式で展開できるようになります。
この式の展開の仕組みが分かったら、一気に展開できるように覚えましょう。
６，７番目の乗法公式
６，７番目の乗法公式は３乗公式と呼ばれることもある公式です。符号の違いだけで形が似ているので、セットで覚えましょう。
２項からなる多項式の３乗の形になっているので、これも工夫して展開します。指数法則を利用すると、指数を１と２に分けることができます。
１番目の乗法公式を利用できる形に変形できました。展開後、さらに分配法則で展開します。同類項が出てくるので整理します。
７番目の式は、６番目の式で $b$ から $-b$ に置き換えたと考えると、６番目の式を利用して展開できます。６番目の最後の式で $b$ から $-b$ に置き換えて整理すると得られます。
８～１０番目の乗法公式
８～１０番目の乗法公式は割愛しますが、分配法則で展開し、同類項を整理すると得られます。特に１０番目の式は、応用問題以外ではほとんど見かけないかもしれません。
乗法公式を覚える優先順位は、以下を参考にしましょう。
- １～５番目の乗法公式は、九九と同じレベルになるまで覚える。
- ６～９番目の乗法公式は、覚えていなくても展開しようと思えばできるレベルにしておく。
- １０番目の乗法公式は、証明問題で利用することがあるので、余裕があれば覚えておく。
さいごに、もう一度まとめ
- 式の展開は多項式の積を１つの多項式で表すこと。
- 式の展開は、分配法則を利用して行う。
- 特定の多項式の積であれば、乗法公式で展開できる。
- 乗法公式は、共通点や相違点に注目して要領よく覚えよう。
- 式を見て、乗法公式に当てはまるかの判断がつくまで演習しよう。
- 文字 $x$ の１次式どうしの積は、因数分解のたすき掛けに深く関わるので、仕組みをよく理解しておく。