数と式|一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう その2(絶対値)

数学1

一次不等式の応用 絶対値を含む不等式

前回の「一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう」のその2です。今回は絶対値を含む不等式です。

「数と式」の単元に出てくる絶対値の扱いに苦労する人が意外と多いです。最初の単元で躓いてしまうと、モチベーションにかなり影響があるかもしれません。そんな状況にしないために、躓くたびに戻って確認しましょう。

絶対値を含む不等式を復習しつつ、応用問題を解いてみましょう。

絶対値を含む不等式の扱い方

絶対値を含む不等式では、基本的に以下のような手順で式を扱います。

絶対値を含む不等式の扱い方

  1. 絶対値の記号を外す。
  2. 一次不等式を解いて解を求める。

絶対値は、ある数に対応する点と原点との距離を表します。距離は、基準と比べて大きいや小さいなどと比較した相対的な値ではなく、比較対象を必要としない絶対的な値です。

絶対値は、もともとは距離を表すものだったのが、派生して大きさとして全般的に使われることがよくあります。

絶対値を距離とイメージするのが難しいときは、絶対的な値で「大きさ=正の値」とイメージしよう。

このような定義や意味をもつ絶対値ですが、その記号を見かけたら、式に関わらず絶対値の記号を外しましょう。絶対値の記号は数や式の値を距離(大きさ)として扱うことを示す記号なので、式変形では邪魔になるからです。

絶対値の記号を外してしまえば、ただの不等式にすぎません。とにかく絶対値の記号を見かけたらすぐに外してしまいましょう。

絶対値を扱った不等式(基本編)

絶対値の定義を利用する

絶対値を扱った不等式の中で最も基本的なものは、次のような2項からなる不等式です。絶対値の記号の付いていない項が定数となっています。

絶対値を扱った不等式(基本編)

\begin{align*} &\quad \left| x \right| \gt 5 \\[ 7pt ] &\quad \left| x \right| \lt 5 \end{align*}

不等式の意味を絶対値の定義と合わせて考えてみましょう。

絶対値を含む不等式

$\left| x \right| \gt 5$ =「$x$ の絶対値が $5$ より大きい」

$\left| x \right| \lt 5$ =「$x$ の絶対値が $5$ より小さい」

読み取った内容から、不等式の解は、原点からの距離(絶対値)が5よりも大きいxの値の範囲や、5よりも小さいxの値の範囲であることが分かります。

このような絶対値を扱った基本的な不等式では、式を解くと言うよりも、絶対値の定義から式の意味を考えて解くと言った方が適切かもしれません。

絶対値を原点からの距離で考えるときは数直線で視覚化しよう。

絶対値の定義を利用するときは数直線を書く

絶対値の定義を考えるとき、数直線を利用します。数直線から分かるように、不等式を満たすxには、原点を挟んで正の数と負の数の2つがあります。

絶対値の記号を外すとき、一般に、絶対値に挟まれた数が正の数か負の数かを場合分けします。しかし、数直線を利用すれば、場合分けなしで済みます。

数直線を利用して絶対値の記号を外す

  • (正の数のとき)=(数直線では原点より正の向きのとき)
  • (負の数のとき)=(数直線では原点より負の向きのとき)

数直線では、正負両方を合わせて扱えるので場合分けしなくて済む。

数直線を利用すると、例の不等式の解はそれぞれ以下のようになります。

場合分けなしで絶対値を含む不等式を解く

\begin{align*} &\quad \left| x \right| \gt 5 \\[ 7pt ] &\text{$x$ の絶対値が $5$ より大きくなるので} \\[ 5pt ] &\quad x \lt -5 \ , \ 5 \lt x \\[ 10pt ] &\quad \left| x \right| \lt 5 \\[ 7pt ] &\text{$x$ の絶対値が $5$ より小さくなるので} \\[ 5pt ] &\quad -5 \lt x \lt 5 \end{align*}

このように数直線を利用することで簡単に解を求めることができます。一般には次のように表せます。

絶対値を含む不等式の基本形とその解

\begin{align*} &\text{$k \gt 0$( $k$ は定数)であるとき} \\[ 5pt ] &\left| x \right| \gt k \ \text{の解は} \\[ 5pt ] &\quad x \lt -k \ , \ k \lt x \\[ 10pt ] &\left| x \right| \lt k \ \text{の解は} \\[ 5pt ] &\quad -k \lt x \lt k \end{align*}

上述の不等式は、最も基本となる式です。この形に帰結させることが多いので、すぐに解を求めることができるようにしておきましょう。

これまでをまとめると以下のようになります。

一次不等式の応用 絶対値を含む不等式(基本)
絶対値を含む不等式(基本編)まとめ

絶対値を扱った不等式(応用編)

次の不等式を解いてみましょう。絶対値を扱った不等式の中では応用的な部類に入ります。

絶対値を扱った不等式(応用編)

\begin{equation*} \quad \left| x \right| \lt -2x+3 \end{equation*}

注目したいのは、左辺の項が定数項ではないことです。

絶対値の記号が付いていない項を見て、定数かどうかを確認しよう。

このような形では、絶対値が特定の値より大きいのか小さいのか定まらないので、原点からの距離を考えることができません。このような式では、場合分けをして絶対値の記号を外す必要があります。

絶対値の記号は2通りの場合分けで外します。

数直線を利用して絶対値の記号を外す

  • 絶対値の中の数が0以上のとき(0または正の数のとき)⇒絶対値の記号を外すだけ
  • 絶対値の中の数が0より小さいとき(負の数のとき)⇒記号を外して、マイナスの符号をつける

場合分けに従って、絶対値の記号を外してみます。

場合分けして、絶対値を含む不等式を解く

\begin{align*} &x \geqq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left| x \right| \lt -2x+3 \\[ 7pt ] &\quad x \lt -2x+3 \\[ 7pt ] &x \lt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left| x \right| \lt -2x+3 \\[ 7pt ] &\quad -x \lt -2x+3 \end{align*}

絶対値の記号を外した後は、一次不等式を解いて解を求めます。これまでをまとめると以下のようになります。

一次不等式の応用 絶対値を含む不等式(応用)
絶対値を含む不等式(応用編)まとめ

絶対値を扱った不等式を解いてみよう

次の不等式を解いてみましょう。

一次不等式の応用 絶対値を含む不等式の演習問題

問1の解答・解説

問1

次の不等式を解け。

\begin{equation*} \quad \left| x \right| \lt 3 \end{equation*}

問1は、絶対値の項と定数項の2項からなる不等式です。基本的な形なので、数直線を利用すれば、場合分けなしで絶対値の記号を外せ、しかも解を求めることができます。

数直線を利用して不等式の解を求めます。xの絶対値が3より小さくなる範囲を求めれば良いことが分かります。そのような範囲は3と-3の間です。

問1の解答例

\begin{align*} &\quad \left| x \right| \lt 3 \\[ 7pt ] &\text{$x$ の絶対値が $3$ より小さくなるので} \\[ 5pt ] &\quad -3 \lt x \lt 3 \end{align*}

特に難しい不等式ではありません。問1のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

絶対値を含む不等式の演習問題 第1問
問1のポイントと解答例

問2の解答・解説

問2

次の不等式を解け。

\begin{equation*} \quad \left| x \right| \gt 2 \end{equation*}

問2も基本的な形です。数直線を利用して不等式の解を求めます。

xの絶対値が2より大きくなる範囲を求めれば良いことが分かります。そのような範囲は2より大きい範囲、または-2より小さい範囲です。

問2の解答例

\begin{align*} &\quad \left| x \right| \gt 2 \\[ 7pt ] &\text{$x$ の絶対値が $2$ より大きくなるので} \\[ 5pt ] &\quad x \lt -2 \ , \ 2 \lt x \end{align*}

問1と同じように解くことができます。問2のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

絶対値を含む不等式の演習問題 第2問
問2のポイントと解答例

問1,2は、絶対値を扱った不等式の中で最も基本的なもの。確実に解けるようにしておこう。

問3の解答・解説

問3

次の不等式を解け。

\begin{equation*} \quad \left| x-2 \right| \geqq 3 \end{equation*}

問3は、等号つきの不等号になっていますが、問2と似たような形の不等式です。ただし、絶対値の中が、単項式xから多項式x-2になっています。

しかし、少し工夫をすれば、第2問と同じ形にすることができます。たとえば、多項式x-2を1つの文字Xに置き換えます

多項式を1つの文字(単項式)に置き換えることで、基本の形に書き換えることができる。

多項式x-2を1つの文字Xに置き換え、Xについての解を求めます。

問3の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad \left| x-2 \right| \geqq 3 \\[ 7pt ] &\text{$x-2=X$ とおくと} \\[ 5pt ] &\quad \left| X \right| \geqq 3 \\[ 7pt ] &\text{$X$ の絶対値が $3$ 以上になるので} \\[ 5pt ] &\quad X \leqq -3 \ , \ 3 \leqq X \end{align*}

絶対値の記号を外して、不等式の解を求めましたが、問3ではもう少し続きがあります。

Xに置き換えたので、得られた解はXについての解です。ですから、もとの多項式x-2に戻して、xについての解を求める必要があります。

文字Xに置き換えたのは、基本の形で解くため。実際に求めたいのは、文字xについての解。

もとの多項式x-2に戻した後は、xについての一次不等式を解いて解を求めます。これが求めたかった解になります。

問3の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad X \leqq -3 \ , \ 3 \leqq X \\[ 7pt ] &\text{ここで、$x-2=X$ より} \\[ 5pt ] &\quad x-2 \leqq -3 \ , \ 3 \leqq x-2 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x \leqq -1 \ , \ 5 \leqq x \end{align*}

問3のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

絶対値を含む不等式の演習問題 第3問
問3のポイントと解答例

問1~3は、絶対値を含む不等式の中では基本的な問題です。これらの類題もパターン化して解けるようにしておきましょう。

他にも一次不等式の文章問題を紹介しているので、ぜひチャレンジしてみて下さい。

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さいごに、もう一度まとめ

  • 絶対値の記号が付いていない残りの項に注目する。
  • 残りの項が定数項だけのとき、数直線を利用して不等式を解く。
  • 残りの項に文字を含む項があるとき、場合分けをして絶対値の記号を外し、不等式を解く。