２次関数｜関数について
「数と式」の単元が終わると、次の単元は「２次関数」です。「数と式」の単元では中学から橋渡しをしつつ、よく使われる数式について重点的に学習しました。
「２次関数」の単元でも同じように、中学の橋渡し的な事柄から徐々にメインに移っていきます。
２次関数という数式を扱う際には、「数と式」の単元で学習した事柄を利用します。消化不良だと式変形でつまづいてしまうので、忘れない程度に復習しておきましょう。
また、「２次関数」の単元は高校数学ではとても大切な単元です。基本的に関数が絡むと、この２次関数に帰着させることが多くなります。ですから、２次関数についての知識はたくさん持っていた方が良いでしょう。
そのような「２次関数」の単元ですが、まずは導入として中学で学習した関数を中心に学習しましょう。
関数の式とグラフ
関数の定義
関数とは、２つの変数ｘ，ｙについて、ｘの値を決めるとｙの値がただ１つに定まる関係にある数や、その関係を表した式のことです。
また、ｘの値を決めると、ｙの値がただ１つに定まるとき、「ｙはｘの関数である」と言います。
変数として文字ｘ，ｙを使うことが一般的ですが、特に決まっているわけではありません。とにかく２つの変数があり、一方の値が決まると他方の値がただ１つに決まるとき、関数の関係にあります。
変数とは、未知の数や不定の数などを表す文字のこと。普段使っている文字ｘなどは特定の値に定まらないので、変数と呼ぶこともある。また、物理では、速度ｖと時間ｔや、加速度ａと時間ｔなどが関数の関係にある。
なお、これ以降は２つの変数をｘ，ｙの場合と考えて話を進めていきます。
２つの変数の関係を表すのが関数
関数であれば、２つの変数ｘ，ｙの関係は式で表せます。関係を式で表せるので、ある変数ｘの値に対応する変数ｙの値を求めることができます。
また、「変数ｘの値が増加すると、変数ｙの値も増加する」というように、関数の式から変化の様子を調べることもできます。
このことから分かるのは、変数ｘ，ｙの関係やその変化の様子はすべて関数の式で決まるということです。ですから、関数を扱うのであれば、変数ｘ，ｙの関係やそれを表す式をつねに意識しておくことが大切です。
このような関数について、中学では「比例」「反比例」「１次関数」「２乗に比例する関数」を学習します。
関数を可視化したのがグラフ
２つの変数ｘ、ｙの値は、関数の式で求めることができます。しかし、変数ｘ，ｙの値の変化を知るには、値だけでは分かりにくいので、グラフを利用します。
グラフで可視化するにあたって、変数ｘの値と、それによって定まる変数ｙの値を１つの組として扱います。これが座標です。
対応する変数ｘ，ｙの組が座標。関数では、対応する変数ｘ，ｙの値をセットで扱おう。
グラフを図示するとき、対応する変数ｘ，ｙの値が座標となるような点を取ります。この点は、ｘ軸やｙ軸などと名前の付いた数直線を直交させた座標平面の上に取ります。
関数の式から得られた座標を座標平面の上に取っていくと、グラフを描けます。グラフはたくさんの点が集まってできた直線や曲線のことです。
グラフは関数の式によって得られた変数ｘ，ｙの値をもとにできている。
関数の式と座標との関係をまとめると以下のようになります。
関数の式とグラフの概形
このようにして得られるグラフは、関数の式によってその概形が決まっています。関数の式とグラフの概形をセットで覚えておきましょう。
グラフの概形
- 比例・１次関数 … 直線のグラフ
- 反比例 … 双曲線のグラフ
- ２乗に比例する関数 … 曲線または放物線のグラフ
関数では、変数ｘ，ｙの値そのものだけなく、変数ｘ，ｙの値の変化も考えることがあります。
この場合、値だけでは分かりにくいので、グラフを図示して考えます。ですから、関数のグラフの概形を覚えておいた方が良いでしょう。
関数の式と変数ｘ，ｙの値との関係、そしてこれらとグラフとの関係をまとめると以下のようになります。
比例の式とグラフ
変数ｘ，ｙがｙ＝ａｘという式で表される関係のとき、比例の関係にあると言います。
ここで、文字ａは、変数ではなく定数で、比例定数と言います。関数ごとに固有の値が得られるからです。
また、比例の関係にあるとき、変数ｙは変数ｘの一次式で表され、定数項をもちません。
比例の関係にあるとき、グラフの概形や特徴をまとめると以下のようになります。
比例のグラフの概形と特徴
- 原点を通る直線
- 比例定数ａの正負で右上がりか右下がりかが決まる
- ａ＞０のとき、右上がりの直線
- ａ＜０のとき、右下がりの直線
反比例の式とグラフ
変数ｘ，ｙが、ｙ＝ａ/ｘという式で表される関係のとき、反比例の関係にあると言います。
文字ａは、比例のときと同じく比例定数と言います。比例と同様に、関数ごとに固有の値が得られます。
反比例の関係を式から分かるように、変数ｙは変数ｘを分母にもつ分数で表されます。ですから、変数ｘが分母にあるので、ｘ＝０のとき 変数ｙの値は存在しません。
反比例の関係にあるとき、グラフの概形や特徴をまとめると以下のようになります。
反比例のグラフの概形と特徴
- ｘ＝０のとき、 変数ｙの値は存在しない
- 双曲線と呼ばれる一対の曲線になる
- 双曲線の描き方は比例定数ａの正負で２パターン（図参照）
反比例の関係では、変数ｘ，ｙの値は、関数の式からｘｙ＝ａを満たす関係にあります。この関係を上手に使うと、点の座標を求めやすくなります。
次は、１次関数や２乗に比例する関数についてです。