２次関数｜関数の表し方について

04/15/2022数学１

今回は、関数の表し方についてです。以前の記事で少し取り上げましたが、もう少し詳しく学習しましょう。

高校数学で一般的に使う表し方なので、できるだけ早く慣れましょう。

1. ２つの変数ｘ，ｙの値をセットで扱える表し方がなぜ必要か
2. 変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を用いる
3. ｆ(ｘ)の記述に慣れよう
- 3.1. 問の解答・解説
4. Recommended books
5. さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

２つの変数ｘ，ｙの値をセットで扱える表し方がなぜ必要か

関数は２つの変数の関係を表します。２つの変数を扱うので、基本的に式の中には２種類の文字があります。

一般に、関数の式では２つの文字ｘ，ｙが変数として用いられます。

関数の式で表される変数ｘ，ｙの間には、「変数ｘの値が決まると、変数ｙの値がただ１つに決まる」という関係があります。ですから、変数ｘ，ｙの値は２つで１つとして扱う必要があります。

また、そんな関係を利用してグラフを描くこともできます。グラフでは、２つの変数ｘ，ｙの値の変化が分かるので、グラフを描くことは関数を扱うときにとても有効な作業です。

たとえば以下のような式が、２つの変数ｘ，ｙの関係を表す関数の式です。

関数の式の一例

\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}

式から得られる２つの変数ｘ，ｙの値は、セットで扱われます。セットで扱うときは一般に「ｘ＝～のときｙ＝～」という表現で表します。

グラフを扱っているのであれば、座標で表すことが多いでしょう。

関数の式の一例

\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}

において、$x=-1$ のとき

\begin{align*} \quad y = \left( -1 \right)^2 +6 \cdot \left( -1 \right) +5 = 0 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad x= -1 \ \text{のとき} \ y= 0 \end{align*}

しかし、２つの変数ｘ，ｙをセットで扱うとはいえ、いつも「ｘ＝～のときｙ＝～」という表し方をするのは煩雑になります。

だからと言って、変数ｘの値だけ、あるいは変数ｙの値だけではほとんど意味がありません。なぜなら、ｙ＝０だけでは、ｘがどんな値のときに得られるのか分からないからです。

ですから、変数ｘの値とそれに対する変数ｙの値とをセットで扱える表し方が必要になってきます。

変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を用いる

２つの変数ｘ，ｙの値の関係がより分かるように、ｙ＝ｆ(ｘ)とおくことがあります。このようにすると、変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を使って表すことができます。

ｆ(ｘ)のｆはfunction（関数）の頭文字。ｆ(ｘ)を使っていれば、式が「変数ｘの関数」を表す。

この表し方を使うと、先ほどの例は以下のように表せます。

ｆ(ｘ)の使い方の一例

\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}

において

\begin{align*} \quad y = f(x) \end{align*}

とおくと、$x=-1$ のとき

\begin{align*} \quad f(-1) = \left( -1 \right)^2 +6 \cdot \left( -1 \right) +5 = 0 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad f(-1) = 0 \end{align*}

この表し方は、対応する２つの変数ｘ，ｙの値を１つの式で扱うことができるのが大きな利点です。対となる2つの変数ｘ，ｙの値が１つの式で可視化されます。

また、「ｘ＝～のときｙ＝～」という表し方よりも直接的で分かりやすくなります。慣れると、この表し方が手軽で、記述でも楽なのが分かってきます。

今後、ｙを使わずにｆ(ｘ)を使った表記が多くなる。できるだけ早く慣れておこう。

ｆ(ｘ)の記述に慣れよう

次の問題を解いてみましょう。

問の解答・解説

問

与えられた関数について次の値を求めよ。

\begin{align*} &\quad f(x)=3x-1 \\[ 7pt ] &\quad f(4) \ , \ f(-2) \ , \ f \left(-\frac{1}{2} \right) \end{align*}

問で与えられた関数は、変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を用いて表されています。ｆ(４)はｘ＝４のときのｙの値を表します。

式に代入する変数ｘの値は、ｆ(ｘ)のカッコ内の数。

与えられた関数の式において、右辺にｘ＝４を代入すれば、ｘ＝４のときのｙの値、言い換えるとｆ(４)の値を求めることができます。他も同様です。

問の解答例

$f(4)$ は $x=4$ のときの $y$ の値である。

与えられた関数の式に $x=4$ を代入すると

\begin{align*} \quad f(4)=3 \cdot 4-1 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad f(4)=11 \end{align*}

同様に $x=-2$ を代入すると

\begin{align*} \quad f(-2)=3 \cdot \left(-2 \right)-1 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad f(-2)=-7 \end{align*}

さらに $x=-1/2$ を代入すると

\begin{align*} \quad f\left(-\frac{1}{2} \right)=3 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-1 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad f\left(-\frac{1}{2} \right)=-\frac{5}{2} \end{align*}

ｆ(ｘ)を用いると、「ｘ＝４のときｙ＝１１」という表現を「ｆ(４)=１１」という式で記述できます。とても便利な表し方なので、どんどん使っていきましょう。

問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

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