2次関数|関数の表し方について

数学1

関数の表し方について

今回は、関数の表し方についてです。以前の記事で少し取り上げましたが、もう少し詳しく学習しましょう。

高校数学で一般的に使う表し方なので、できるだけ早く慣れましょう。

2つの変数x,yの値をセットで扱える表し方がなぜ必要か

関数は2つの変数の関係を表します。2つの変数を扱うので、基本的に式の中には2種類の文字があります。

一般に、関数の式では2つの文字x,yが変数として用いられます。

関数の式で表される変数x,yの間には、「変数xの値が決まると、変数yの値がただ1つに決まる」という関係があります。ですから、変数x,yの値は2つで1つとして扱う必要があります。

また、そんな関係を利用してグラフを描くこともできます。グラフでは、2つの変数x,yの値の変化が分かるので、グラフを描くことは関数を扱うときにとても有効な作業です。

たとえば以下のような式が、2つの変数x,yの関係を表す関数の式です。

関数の式の一例

\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}

式から得られる2つの変数x,yの値は、セットで扱われます。セットで扱うときは一般に「x=~のときy=~」という表現で表します。

グラフを扱っているのであれば、座標で表すことが多いでしょう。

関数の式の一例

\begin{align*} &\quad y = x^2 +6x +5 \\[ 7pt ] &\text{において、$x=-1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad y = \left( -1 \right)^2 +6 \cdot \left( -1 \right) +5 = 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x= -1 \ \text{のとき} \ y= 0 \end{align*}

しかし、2つの変数x,yをセットで扱うとはいえ、いつも「x=~のときy=~」という表し方をするのは煩雑になります。

だからと言って、変数xの値だけ、あるいは変数yの値だけではほとんど意味がありません。たとえば、y=0だけでは、xがどんな値のときに得られるのか分かりません。

ですから、変数xの値とそれに対する変数yの値とをセットで扱える表し方が必要になってきます。

変数yの代わりにf(x)を用いる

2つの変数x,yの値の関係がより分かるように、y=f(x)とおくことがあります。このようにすると、変数yの代わりにf(x)を使って表すことができます。

f(x)のfはfunction(関数)の頭文字。f(x)を使っていれば、式が「変数xの関数」を表す。

この表し方を使うと、先ほどの例は以下のように表せます。

f(x)の使い方の一例

\begin{align*} &\quad y = x^2 +6x +5 \\[ 7pt ] &\text{において} \\[ 5pt ] &\quad y = f(x) \\[ 7pt ] &\text{とおくと、$x=-1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad f(-1) = \left( -1 \right)^2 +6 \cdot \left( -1 \right) +5 = 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad f(-1) = 0 \end{align*}

この表し方は、対応する2つの変数x,yの値を1つの式で扱うことができるのが大きな利点です。

また、「x=~のときy=~」という表し方よりも直接的で分かりやすくなります。慣れると、この表し方が手軽で、記述でも楽なのが分かってきます。

関数の表し方
関数の表し方

今後、yを使わずにf(x)を使った表記が多くなる。できるだけ早く慣れておこう。

f(x)の記述に慣れよう

次の問題を解いてみましょう。

f(x)を使ってみよう

問の解答・解説

与えられた関数について次の値を求めよ。

\begin{align*} &\quad f(x)=3x-1 \\[ 7pt ] &\quad f(4) \ , \ f(-2) \ , \ f \left(-\frac{1}{2} \right) \end{align*}

問で与えられた関数は、変数yの代わりにf(x)を用いて表されています。f(4)はx=4のときのyの値を表します。

式に代入する変数xの値は、f(x)のカッコ内の数。

与えられた関数の式において、右辺にx=4を代入すれば、x=4のときのyの値、言い換えるとf(4)の値を求めることができます。他も同様です。

問の解答例

\begin{align*} &\text{$f(4)$ は $x=4$ のときの $y$ の値である。} \\[ 5pt ] &\text{与えられた関数の式に $x=4$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad f(4)=3 \cdot 4-1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad f(4)=11 \\[ 7pt ] &\text{同様に $x=-2$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad f(-2)=3 \cdot \left(-2 \right)-1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad f(-2)=-7 \\[ 7pt ] &\text{さらに $x=-1/2$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad f\left(-\frac{1}{2} \right)=3 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad f\left(-\frac{1}{2} \right)=-\frac{5}{2} \end{align*}

f(x)を用いると、「x=4のときy=11」という表現を「f(4)=11」という式で記述できます。とても便利な表し方なので、どんどん使っていきましょう。

問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

f(x)を使ってみようの答え
問の記述例

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 変数yの代わりにf(x)を使うことがある。
  • f(x)を使うと、2つの変数x,yの値を1つの式で扱える。
  • f(4)=1は、x=4のときy=1の意味。

数学12次関数,関数

Posted by kiri