２次関数｜関数の表し方について
今回は、関数の表し方についてです。以前の記事で少し取り上げましたが、もう少し詳しく学習しましょう。
高校数学で一般的に使う表し方なので、できるだけ早く慣れましょう。
２つの変数ｘ，ｙの値をセットで扱える表し方がなぜ必要か
関数は２つの変数の関係を表します。２つの変数を扱うので、基本的に式の中には２種類の文字があります。
一般に、関数の式では２つの文字ｘ，ｙが変数として用いられます。
関数の式で表される変数ｘ，ｙの間には、「変数ｘの値が決まると、変数ｙの値がただ１つに決まる」という関係があります。ですから、変数ｘ，ｙの値は２つで１つとして扱う必要があります。
また、そんな関係を利用してグラフを描くこともできます。グラフでは、２つの変数ｘ，ｙの値の変化が分かるので、グラフを描くことは関数を扱うときにとても有効な作業です。
たとえば以下のような式が、２つの変数ｘ，ｙの関係を表す関数の式です。
関数の式の一例
\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}式から得られる２つの変数ｘ，ｙの値は、セットで扱われます。セットで扱うときは一般に「ｘ＝～のときｙ＝～」という表現で表します。
グラフを扱っているのであれば、座標で表すことが多いでしょう。
関数の式の一例
\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}において、$x=-1$ のとき
\begin{align*} \quad y = \left( -1 \right)^2 +6 \cdot \left( -1 \right) +5 = 0 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad x= -1 \ \text{のとき} \ y= 0 \end{align*}しかし、２つの変数ｘ，ｙをセットで扱うとはいえ、いつも「ｘ＝～のときｙ＝～」という表し方をするのは煩雑になります。
だからと言って、変数ｘの値だけ、あるいは変数ｙの値だけではほとんど意味がありません。なぜなら、ｙ＝０だけでは、ｘがどんな値のときに得られるのか分からないからです。
ですから、変数ｘの値とそれに対する変数ｙの値とをセットで扱える表し方が必要になってきます。
変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を用いる
２つの変数ｘ，ｙの値の関係がより分かるように、ｙ＝ｆ(ｘ)とおくことがあります。このようにすると、変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を使って表すことができます。
ｆ(ｘ)のｆはfunction（関数）の頭文字。ｆ(ｘ)を使っていれば、式が「変数ｘの関数」を表す。
この表し方を使うと、先ほどの例は以下のように表せます。
ｆ(ｘ)の使い方の一例
\begin{align*} \quad y = x^2 +6x +5 \end{align*}において
\begin{align*} \quad y = f(x) \end{align*}とおくと、$x=-1$ のとき
\begin{align*} \quad f(-1) = \left( -1 \right)^2 +6 \cdot \left( -1 \right) +5 = 0 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad f(-1) = 0 \end{align*}この表し方は、対応する２つの変数ｘ，ｙの値を１つの式で扱うことができるのが大きな利点です。対となる2つの変数ｘ，ｙの値が１つの式で可視化されます。
また、「ｘ＝～のときｙ＝～」という表し方よりも直接的で分かりやすくなります。慣れると、この表し方が手軽で、記述でも楽なのが分かってきます。
今後、ｙを使わずにｆ(ｘ)を使った表記が多くなる。できるだけ早く慣れておこう。
ｆ(ｘ)の記述に慣れよう
次の問題を解いてみましょう。
問の解答・解説
問
与えられた関数について次の値を求めよ。
\begin{align*} &\quad f(x)=3x-1 \\[ 7pt ] &\quad f(4) \ , \ f(-2) \ , \ f \left(-\frac{1}{2} \right) \end{align*}問で与えられた関数は、変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を用いて表されています。ｆ(４)はｘ＝４のときのｙの値を表します。
式に代入する変数ｘの値は、ｆ(ｘ)のカッコ内の数。
与えられた関数の式において、右辺にｘ＝４を代入すれば、ｘ＝４のときのｙの値、言い換えるとｆ(４)の値を求めることができます。他も同様です。
問の解答例
$f(4)$ は $x=4$ のときの $y$ の値である。
与えられた関数の式に $x=4$ を代入すると
\begin{align*} \quad f(4)=3 \cdot 4-1 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad f(4)=11 \end{align*}同様に $x=-2$ を代入すると
\begin{align*} \quad f(-2)=3 \cdot \left(-2 \right)-1 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad f(-2)=-7 \end{align*}さらに $x=-1/2$ を代入すると
\begin{align*} \quad f\left(-\frac{1}{2} \right)=3 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-1 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad f\left(-\frac{1}{2} \right)=-\frac{5}{2} \end{align*}ｆ(ｘ)を用いると、「ｘ＝４のときｙ＝１１」という表現を「ｆ(４)=１１」という式で記述できます。とても便利な表し方なので、どんどん使っていきましょう。
問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
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参考書や問題集を上手に利用しましょう。その他にも以下のような教材があります。
大事なことは、自分に合った教材を徹底的に活用することです。どの教材を選ぶにしても、自分の目で中身を確認し、納得してから購入することが大切です。
さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 変数ｙの代わりにｆ(ｘ)を使うことがある。
- ｆ(ｘ)を使うと、２つの変数ｘ，ｙの値を１つの式で扱える。
- ｆ(４)＝１は、ｘ＝４のときｙ＝１の意味。