2次関数|2次関数の決定について

数学1

2次関数の決定について

今回は、2次関数の決定について学習しましょう。

2次関数の決定というのは、「関数の式を決定しましょう」ということです。ですから、2次関数の式についての知識を予め把握しておくことが大切です。

2次関数の決定に関する問題では、頂点・軸・凸の情報やグラフ上の点の座標などの各種情報が与えられます。これらの情報の使い方や使う際のポイントなどをしっかりマスターしましょう。

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2次関数の決定は式の定数の決定

2次関数の決定とは、グラフに関する情報をもとに式を決定することです。難しそうですがそうでもありません。

なぜなら、2次関数の式の形には「一般形」と「標準形」の2種類しかないからです。必ずどちらかの式で表せます。

2次関数の式は2種類

\begin{align*} &\quad y = ax^{2} +bx +c \ \text{(一般形)} \\[ 7pt ] &\quad y = a \left( x-p \right)^{2} +q \ \text{(標準形)} \end{align*}

ですから、2次関数の決定とは、結局のところ、係数や定数項などの定数a,b,c,p,qを決定すると言った方が適切かもしれません。

定数の値を求めるためには、方程式を導出すればよい。与えられた情報から、求めたい定数についての方程式を導出しよう。

2次関数の決定までの流れ

2次関数の決定に関する問題は、たとえば、以下のような問題です。

2次関数の決定に関する問題
問の一例

問題文を確認すると、軸・頂点の情報やグラフ上の点の座標などの各種情報が与えられています。このような情報を用いて、2次関数の式を決定します。

大まかな手順は以下のようになります。

2次関数の式を決定する大まかな手順

  1. 与えられた情報から、式の形を決める
  2. 情報を式に代入して、方程式をいくつか導出
  3. 方程式を連立して、定数の値を求める

手順1 式の形を決めよう

2次関数の式には、一般形と標準形の2種類あります。ですから、どちらの形で表した方が良いのかを最初に決めましょう。

これは自分で決めるというよりも、与えられた情報で決まってしまいます。ですから、与えられた情報をしっかり読み取ることが大切です。

ここで、一般形と標準形から、どんな情報が読み取れたのかを思い出してみましょう。

2次関数の式の表し方
一般形と標準形の関係

一般形の場合、定数aの正負から凸の向きを読み取ることはできますが、軸や頂点の情報を読み取ることはできません

問題を解くことに関して言えば、一般形を使うのは、点のx座標やy座標を求めるときくらい。標準形に変形してしまうことがほとんど。

基本的に、2次関数では標準形で考えていくことがほとんどです。ですから、「標準形が使えるかどうか」という視点に立っていれば良いでしょう。

標準形を使う場合、問題文には「軸」「頂点」などの文言が出てきます。軸や頂点などの用語が出てきたら、迷わず標準形で進めていきましょう。

それに対して、一般形を使う場合、グラフ上の3点の情報が与えられていることがほとんどです。

一般形と標準形の選択

  • 一般形 … 問題文に3点の座標の情報があるとき
  • 標準形 … 問題文に軸や頂点の情報があるとき

「標準形が使えそうになければ、一般形を使う」という方針であれば、たいてい上手くいくでしょう。

手順2 情報を用いて方程式を導出しよう

一般形と標準形の選択が終わったら、与えられた情報を用いて方程式を導出します。情報が複数あるので、方程式もそれに応じた数だけ導出できます。

たとえば、3点の座標が与えられているとします。

この場合、3点の座標を一般形にそれぞれ代入すると、3つの方程式を導出できます。一般形では、求めたい定数はa,b,cの3つなので、方程式も3つ必要になります。

未知数のぶんだけ、方程式(条件式)が必要になる。点の座標が与えられていれば、とりあえず関数の式に代入してみよう。

手順3 方程式を連立して解こう

情報を使って方程式を導出できたら、方程式を連立して解きます。これで得られた解が、求めたい定数a,b,c,p,qの値です。

与えらた情報から式の形を決定し、情報と式を利用して方程式(条件式)を導出し、それらを連立して解く」、このような手順で2次関数の式を決定します。

これまでをまとめると以下のようになります。

2次関数の決定の流れ
2次関数の決定のポイント

2次関数の決定に関する問題を解いてみよう

先ほど例に挙げた問題を解いてみましょう。

2次関数の決定に関する問題

問1の解答・解説

問1

次の条件を満たす $2$ 次関数を求めよ。

グラフの頂点が $(2 \ , \ 1)$ で、点 $(1 \ , \ -1)$ を通る。

問題文から読み取った情報を整理してみましょう。

問1で与えられた情報

グラフの頂点 … $(2 \ , \ 1)$

グラフが通る点 … 点 $(1 \ , \ -1)$

頂点」という文言が出てきたので、式の形は「標準形」に決定です。

標準形の定数p,qの値は、頂点の座標が分かった時点でP=2,q=1と分かります。求める必要がなくなったので、標準形に代入しておきます。

問1の解答例 1⃣

求める $2$ 次関数の式を

\begin{align*} \quad y=a\left(x-p \right)^{2}+q \end{align*}

とおくと、頂点が点 $(2 \ , \ 1)$ であるので

\begin{align*} \quad p=2 \ , \ q=1 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad y=a\left(x-2 \right)^{2}+1 \quad \cdots \text{①} \end{align*}

と表せる。

軸や頂点の情報が与えられている場合、それらの情報を標準形に代入した式をスタートの式として使っていきましょう。①式を導出できないと先に進めません。

定数p,qの値は予め与えられていたので、実質、定数aの値を求めるだけになります。

点の座標(1,-1)が与えられていたので、これを①式に代入します。すると、定数aについての1次方程式を導出できるので、これを解きます。

問1の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad y &=a\left(x-2 \right)^{2}+1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] \quad &\vdots \end{align*}

グラフは点 $(1 \ , \ -1)$ を通るので、①より

\begin{align*} \quad -1 =a\left(1-2 \right)^{2}+1 \end{align*}

$a$ について解くと

\begin{align*} \quad -1 &=a+1 \\[ 7pt ] \quad a &=-2 \end{align*}

これを①に代入すると、求める式は

\begin{align*} \quad y =-2\left(x-2 \right)^{2}+1 \end{align*}

上述の解答例では、標準形のままにしていますが、展開しても構いません。

問1のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

2次関数の決定に関する問題第1問
問1のポイントと解答例

問2の解答・解説

問2

次の条件を満たす $2$ 次関数を求めよ。

グラフが $3$ 点 $(0 \ , \ -3) \ , \ (-1 \ , \ 0) \ , \ (1 \ , \ 4)$ を通る。

問題文から読み取った情報を整理してみましょう。

問2で与えられた情報

グラフが通る $3$ 点 … 点 $(0 \ , \ -3) \ , \ (-1 \ , \ 0) \ , \ (1 \ , \ -4)$

頂点や軸の情報がなく、グラフ上の3点の座標が与えられています。標準形が使えないので、式の形は「一般形」に決定です。

求める2次関数の式は、3点の座標を代入したときに等式が成り立つ式です。このことを利用します。

3点の座標を一般形にそれぞれ代入します。すると、定数a,b,cについての方程式を導くことができるので、これらを連立して解きます。

問2の解答例 1⃣

求める $2$ 次関数の式を

\begin{align*} \quad y=ax^{2}+bx+c \quad \cdots \text{①} \end{align*}

とおくと、点 $(0 \ , \ -3)$ を通るので

\begin{align*} \quad -3 &=c \\[ 7pt ] \quad c &=-3 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

また、点 $(-1 \ , \ 0)$ を通るので

\begin{align*} \quad 0 =a \cdot \left(-1 \right)^{2}+b \cdot \left(-1 \right)+c \end{align*}

整理すると

\begin{align*} \quad a-b+c &=0 \quad \cdots \text{③} \end{align*}

さらに、点 $(1 \ , \ -4)$ を通るので

\begin{align*} \quad -4 &=a \cdot 1^{2}+b \cdot 1+c \\[ 7pt ] \end{align*}

整理すると

\begin{align*} \quad a+b+c &=-4 \quad \cdots \text{④} \end{align*}

求めたい定数a,b,cを用いた方程式(条件式)を3つ導出できました。

グラフが3点を通るためには、これらの方程式をすべて満たさなければなりません。ですから、連立方程式の解が、求めたい定数a,b,cの値になります。

問2の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad y=ax^{2}+bx+c \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad c =-3 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a-b+c =0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a+b+c =-4 \quad \cdots \text{④} \end{align*}

②を③,④にそれぞれ代入すると

\begin{align*} \quad a-b &=3 \quad \cdots \text{③’} \\[ 7pt ] \quad a+b &=-1 \quad \cdots \text{④’} \end{align*}

これらを連立して解くと、③’+④’より

\begin{align*} \quad 2a=2 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad a=1 \end{align*}

これと④’より

\begin{align*} \quad 1+b =-1 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad b =-2 \end{align*}

したがって、求める式は①より

\begin{align*} \quad y=x^{2}-2x-3 \end{align*}

②式を上手に使えば、③,④式からcを消去することができます。その結果、定数a,bについての方程式を2つ導くことができます。

2つの式を連立して解くのは難しくないでしょう。これを解くと、定数a,bの値が分かります。

連立方程式を解くとき、②式のように、3つの定数のうち1つはすぐに分かることが多い。連立方程式の解き方のコツは、代入法や加減法を利用して文字の数を減らしていくこと。

問2のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

2次関数の決定に関する問題第2問の解答例
問2のポイントと解答例をまとめると

問2のような一般形を利用する問題になると、計算量が多くなります。計算ミスなく解けるようにしておきましょう。

文章中にヒントが必ずあるので、諦めてはダメです!

基本的に、求めたい値の数に合わせて、ヒントも同じ数だけ与えられます。方程式を導くのために必要だからです。ですから、簡単に諦めてはいけません。

もちろん、難易度の高い問題になると、同意表現が使われていて分かりにくいこともありますが、最初のうちは基礎から標準レベルの問題できちんと読み取る訓練をすることが大切です。

このことを知っていることで、初見の問題に出会ったときでも解法の糸口を掴めるかもしれません。

求めたい値の数に応じて条件式が必要。これを知っていると突破口が見えてくるかもしれない。

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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 2次関数の決定では、式の定数(係数や定数項)を求めればよい。
  • 一般形か標準形かを決める。
  • 一般形または標準形に、与えられた情報を代入して、方程式を導出しよう。
  • 方程式を連立して解き、式の定数を求めよう。
  • 定数の値が分かったら、決定した式に代入して2次関数の式を求めよう。