2次関数|2次関数の最大値や最小値を扱った問題を解いてみよう

数学1

場合分けをして最大値や最小値を求めよう

2次関数の最大値や最小値について学習したら、学習内容を忘れないうちに問題を解きましょう。

考え方や流れを大筋で掴めたらすぐに演習すると良いでしょう。実際に解いてみることで、理解の不十分な箇所が見えてきます。

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2次関数の最大値や最小値を扱った問題では場合分けが必須

2次関数の式や定義域が未知数を含まなければ、最大値や最小値を求めることは難しくありませんが、入試レベルになると話が変わってきます。

たとえば、未知の定数aを用いて、定義域がa≦x≦a+1などと与えられることもあります。

このような場合、定数aの値によって定義域の位置が変わってしまいます。ですから、定数aの値について場合分けをしなければ、最大値や最小値を求めることはできません。

入試レベルでは、最大値や最小値を場合分けして求める問題が頻出。きちんと解けるようにしておこう。

場合分けが必要な問題のタイプには2通りあります。

場合分けが必要な問題

  • 軸の方程式に未知の定数(aなど)が含まれる場合
  • 定義域に未知の定数が含まれる場合

1つ目は、軸の方程式が変わるので、定義域に対するグラフの軸の位置が変わります。2つ目は、定義域が変わるので、グラフに対する定義域の位置が変わります。

どちらの場合にも言えるのは、グラフと定義域との相対的な位置が定まらないということです。ですから、場合分けなしでは最大値や最小値をとる点が決まりません。

場合分けの不要な問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

場合分けが必要ない最大値や最小値の問題
場合分けなしの問題

このような問題では、場合分けなしで最大値や最小値を求めることができます。式の係数や定義域に未知の定数が含まれていません

問1の解答・解説

問1

次の $2$ 次関数の最大値、最小値を求めよ。

\begin{align*} \quad y = {x}^{2} -4x+3 \quad \left(-1 \leqq x \leqq 4 \right) \end{align*}

2次関数が出てきたら、とにかく標準形への変形を優先しましょう。

与式を平方完成して、軸・頂点・凸の情報を確認します。

問1の解答例 1⃣

与式を変形して

\begin{align*} \quad y &= {x}^{2} -4x+3 \\[ 7pt ] &= {\left(x-2 \right)}^{2} -1 \end{align*}

よって

頂点 … $( 2 \ , \ -1 )$

軸 … 直線 $x=2$

向き … 下に凸

定義域が与えられているので、定義域を意識しながらグラフを描きます。

作図すると、グラフ(軸)と定義域の位置関係がよく分かります。

下に凸のグラフであり、かつ軸が定義域に入っています。下に凸のグラフでは、軸が定義域内にあれば頂点のy座標が最小値です。

問1の図(場合分けなし)
問1の図

グラフに書き込んだy座標から2次関数の最小値を求めます。

問1の解答例 2⃣

グラフから $2$ 次関数の最小値は

$x=2$ のとき、最小値 $-1$

また、軸が定義域の右端寄りにあるので、定義域の左端に最大値をとる点ができます

同様にして、グラフに書き込んだy座標から2次関数の最大値を求めます。

問1の解答例 3⃣

また、$2$ 次関数の最大値は

$x=-1$ のとき、最大値 $8$

2次関数の最大値・最小値の問題では、グラフの形状を上手に利用しよう。

問1のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

場合分けなしで最大値や最小値を求めることができる問題の解答例
問1のポイントと解答例

最大値や最小値をとる点は、頂点や定義域の両端の点のどれかになる。グラフをしっかり描こう。

問2の解答・解説

問2

次の $2$ 次関数の最大値、最小値を求めよ。

\begin{align*} \quad y=-{x}^{2} +2x+5 \quad \left(2 \leqq x \leqq 4 \right) \end{align*}

与式を平方完成して、軸・頂点・凸の情報を確認します。

問2の解答例 1⃣

与式を変形して

\begin{align*} \quad y &= -{x}^{2} +2x +5 \\[ 7pt ] &= -\left({x}^{2}-2x \right) +5 \\[ 7pt ] &= -\left\{\left({x}-1 \right)^{2}-1 \right\} +5 \\[ 7pt ] &= -{\left(x-1 \right)}^{2} +6 \end{align*}

よって

頂点 … $( 1 \ , \ 6 )$

軸 … 直線 $x=1$

向き … 上に凸

定義域が与えられているので、定義域を意識しながらグラフを描きます。

上に凸のグラフの場合、軸が定義域内にあれば頂点のy座標が最大値になります。

しかし、問2では軸が定義域に入っていません。

このような場合、上に凸のグラフであっても、頂点のy座標が最大値になることはありません。

問2の図(場合分けなし)
問2の図

また、上に凸のグラフであり、かつ軸が定義域の左側にあります。つまり、グラフは軸よりも右側部分が定義域内にあります。

このような位置関係では、定義域の左端に最大値をとる点ができ、定義域の右端に最小値をとる点ができます。

グラフに書き込んだy座標から2次関数の最大値を求めます。

問2の解答例 2⃣

グラフから $2$ 次関数の最大値は

$x=2$ のとき、最小値 $5$

同様にして、グラフに書き込んだy座標から2次関数の最小値を求めます。

問2の解答例 3⃣

また、$2$ 次関数の最小値は

$x=4$ のとき、最小値 $-3$

問2のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

場合分けなしで最大値や最小値を求めることができる問題の解答例
問2のポイントと解答例

問1,2はともにグラフと定義域が定まるので、両者の位置関係が完全に決まってしまいます。両者の位置関係が固定されていれば、2次関数の最大値や最小値を求めることは難しくありません。

グラフ(軸)と定義域との位置関係によって、最大値や最大値をとる点が決まることが分かっています。実際に作図しながら確認すると、簡単に理解できるでしょう。

軸が定義域内にあるとき

  • 下に凸のグラフなら、頂点のy座標が最小値
  • 上に凸のグラフなら、頂点のy座標が最大値

軸が定義域の左側にあるとき

  • 下に凸のグラフなら、グラフの左端にある点のy座標が最小値、右端にある点のy座標が最大値
  • 上に凸のグラフなら、グラフの左端にある点のy座標が最大値、右端にある点のy座標が最小値

軸が定義域の右側にあるとき

  • 下に凸のグラフなら、グラフの左端にある点のy座標が最大値、右端にある点のy座標が最小値
  • 上に凸のグラフなら、グラフの左端にある点のy座標が最小値、右端にある点のy座標が最大値

場合分けの必要な問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

場合分けの必要な問題を解いてみよう
場合分けありの問題

問の解答・解説

次の $2$ 次関数の最大値、最小値を求めよ。

\begin{align*} \quad y={x}^{2}-2ax+1 \quad \left(-1 \leqq x \leqq 2 \right) \end{align*}

場合分けが必要な問題であっても、最初にやることは与式を標準形に変形することです。

与式を平方完成して、軸・頂点・凸の情報を確認します。未知の定数aがあるので注意しましょう。

問の解答例(最小値)

与式を変形して

\begin{align*} \quad y &= {x}^{2}-2ax +1 \\[ 7pt ] &= {\left( x-a \right)}^{2} -{a}^{2}+1 \end{align*}

よって

頂点 … $( a \ , \ -{a}^{2}+1 )$

軸 … 直線 $x=a$

向き … 下に凸

標準形に変形した結果から分かるように、軸の方程式がx=aで、未知の定数aが用いられています。ですから、定数aの値によって軸の位置が変わります。

このとき、定義域に対するグラフの位置が変わるので、最大値や最小値をとる点も一意に定まりません。つまり、場合によって最大値や最小値が変わるということです。ですから、定数aの値によって場合分けが必要になるのです。

軸の方程式(または定義域)に未知数が含まれると、定義域に対するグラフの位置が変わってしまう。

場合分けと言っても決まったパターンがあるので慣れれば簡単です。軸と定義域との位置関係は3パターンあります。凸の向きに関わらず、基本的には軸が定義域に入るか入らないかで場合分けします。

最大値と最小値を一緒に考えるのは混乱の元なので、分かりやすい最小値から考えます。

下に凸のグラフでは最小値から求めよう

下に凸のグラフでは、頂点のy座標が最小値となる可能性が高いです。しかし、頂点、つまり軸が定義域の外にあると、頂点のy座標が最小値になりません。

このことを考慮すると、以下の3パターンで場合分けできます。

下に凸のグラフでの最小値

  • (軸x=aが定義域外で左側にあるとき)⇒(軸aの値が定義域の左端x=-1よりも小さいとき)
  • (軸x=aが定義域内にあるとき)⇒(軸aの値は定義域の左端x=-1以上で右端x=2以下であるとき)
  • (軸x=aが定義域外で右側にあるとき)⇒(軸aの値は定義域の右端x=2よりも大きいとき)

本来は先に作図を済ませるのがスムーズに記述するコツです。

定数aの値が分からないので、作図するのが難しそうに感じますが、そんなことはありません。軸と定義域との位置関係だけを意識して作図します。

作図の手順は以下の通りです。

3パターンの作図の手順

  1. 定義域が分かるように両端から破線を引く(図ではx軸から上に引いた)
  2. 軸だけを定義域に対して3パターンに合わせて線を引く(図では緑色の線)
  3. グラフを軸に対して左右対称になるように書き込む
  4. 最小値をとる点が分かるように●をつける

このような手順で作図すると、グラフが左から順に移動したように描けるはずです。

問の図(最小値のための場合分け)
最小値のための場合分けの図

3つの場合から、aについての不等式が場合分けの条件となることが分かります。定数aの値が定まらなければ、2次関数の最大値や最小値を求めることができないのですから当然です。

また、場合分けの条件式を導出するには、グラフを見ながら導出すると良いでしょう。

3パターンのグラフを描いてから、それぞれの場合の条件式を導出しよう。

最小値を求めるときのポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

場合分けで最大値や最小値を求める問題の解答例
最小値を求めるときのポイントと解答例

下に凸のグラフでの最大値は異なる3パターン

最大値も3パターンで場合分けできますが、最小値のときとは軸と定義域との位置関係が少し異なります。

軸と定義域の真ん中との位置関係で場合分けします。定義域の真ん中とは、-1≦x≦2であれば、x=1/2が定義域の真ん中になります。

定義域の真ん中になるxの値

与えられた定義域から、その真ん中は

\begin{align*} \quad \frac{-1+2}{2} = \frac{1}{2} \end{align*}

※定義域の両端の $x$ の値を足して $2$ で割れば良い。

定義域の真ん中にあるxの値が分かったので、以下の3パターンで場合分けできます。

下に凸のグラフでの最小値

  • (軸x=aが定義域の真ん中より左側にあるとき)⇒(軸aの値が定義域の真ん中x=1/2よりも小さいとき)
  • (軸x=aが定義域の真ん中にあるとき)⇒(軸aの値は定義域の真ん中x=1/2に等しい)
  • (軸x=aが定義域の真ん中より右側にあるとき)⇒(軸aの値は定義域の右端x=1/2よりも大きいとき)

最大値の場合、2つ目が少し特殊なので注意しましょう。最大値をとる点がグラフの両端にできます。

この3つのパターンで場合分けすると、aについての不等式を条件としてそれぞれ導出することができます。

最大値を求めるときの場合分け(下に凸のグラフ)

軸と定義域との位置関係から

\begin{align*} &(i) \ a \lt \frac{1}{2} \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &x=2 \ \text{のとき、$2$ 次関数は最大値をとる。} \\[ 5pt ] &\text{よって、最大値は} \\[ 5pt ] &\quad f(2)=2^{2}-2a \cdot 2+1=-4a+5 \end{align*} \begin{align*} &(ii) \ a = \frac{1}{2} \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &x=-1 \ \text{または} \ x=2 \ \text{のとき、$2$ 次関数は最大値をとる。} \\[ 5pt ] &\text{よって、最大値は} \\[ 5pt ] &\quad f(-1)=f(2)=2^{2}-2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2+1=3 \end{align*} \begin{align*} &(iii) \ \frac{1}{2} \lt a \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &x=-1 \ \text{のとき、$2$ 次関数は最大値をとる。} \\[ 5pt ] &\text{よって、最大値は} \\[ 5pt ] &\quad f(-1)=\left(-1 \right)^{2}-2a \cdot \left(-1 \right)+1=2a+2 \end{align*}

$(i)$ ~ $(iii)$ より \begin{align*} \begin{cases} -4a+5 & ( a \lt \frac{1}{2} ) \\ 3 & ( x = \frac{1}{2} ) \\ 2a+2 & ( \frac{1}{2} \lt a ) \end{cases} \end{align*}

3パターンで場合分けするときの作図の手順は以下の通りです。

3パターンの作図の手順

  1. 定義域が分かるように両端から破線を引く(図ではx軸から上に引いた)
  2. 定義域の真ん中にあるxの値を求めておく。
  3. 軸だけを定義域に対して3パターンに合わせて線を引く(図では緑色の線)
  4. グラフを軸に対して左右対称になるように書き込む
  5. 最大値をとる点が分かるように●をつける

最小値のときと同様に、グラフが左から順に移動したように描けるはずです。

問の図(最大値のための場合分け)
最大値のための場合分けの図

下に凸のグラフの最大値では2パターンの場合分けでも解ける

3つのパターンで場合分けしても全く問題ありませんが、2パターンで場合分けすることもできます。

2つ目を1つ目か3つ目のどちらかに含めてしまう場合分けです。

2つの場合分けになると、もっとすっきりした答案を作成できます。

要するに、軸が定義域の真ん中より右か左かで場合分けします。

ただし、aについての不等式を2つ導出できますが、どちらかに等号を入れておくことを忘れないようにしましょう。

等号が入っていないと、すべてのaの値について吟味したことにならないからです。

下に凸のグラフでの最大値は2パターンの場合分けでも解ける
2パターンでの作図

最大値を求めるときのポイントと解答例をまとめると以下のようになります。解答例では2パターンの場合分けで解いています。

場合分けで最大値や最小値を求める問題の解答例
最大値を求めるときのポイントと解答例

最大値と最小値は場合分けの仕方が異なるので別々に求めよう。また、軸と定義域との位置関係さえしっかりしていれば、グラフは精密でなくてもよい。

計算の処理能力はもちろん必要ですが、高校数学では作図の能力も必要になってきます。

作図ができると、初見の問題を解くときにかなり重宝します。作図しないときに比べて、イメージがより具体的になるでしょう。

問題によっては、余計な計算をせずに済んだり、「図より~」などと記述がラクになったりする場合もあります。

どんなときに作図が必要かを判断できなければ、解答・解説を見ると良い。近年の入試問題では、作図なしでは解くのが難しい問題の割合が増えているので注意しよう。

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2次関数は、高校数学で学習する関数の中で最も基本的なものです。ですから、苦手意識をもたないようにしっかりと取り組んでおいた方が良いでしょう。

参考書や問題集を上手に利用しましょう。その他にも以下のような教材があります。

大事なことは、自分に合った教材を徹底的に活用することです。どの教材を選ぶにしても、自分の目で中身を確認し、納得してから購入することが大切です。

さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう

  • 平方完成して、軸・頂点・凸の情報を確認する。
  • 場合分けが必要な場合、パターンごとにグラフを書き分ける。
  • 軸と定義域の位置関係から $x$ の不等式を作り、それを場合分けの条件式とする。
  • 定義域内のグラフをもとに、最大値や最小値をとる点のy座標を求める。
  • これらを整理して記述すれば、答案完成。
  • 作図する習慣を付ける。