２次関数｜２次不等式の解法について・応用編
２次不等式の解法の基本について学習したので、次は応用編を学習しましょう。
応用編では、２次関数のグラフと $x$ 軸との共有点が１個または０個のときの解法になります。
このような２次不等式を解く場合、グラフを図示しないと解を間違う可能性が高くなります。グラフの図示については何度も言及していますが、その重要性が分かるような問題ではないかと思います。
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２次不等式の解法では、グラフとx軸との共有点の個数がポイント
おさらいになりますが、２次不等式の解法の手順は基本的に以下のようになります。
⇒２次関数と値域に置き換え
⇒グラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求める
⇒グラフ・値域・共有点の $x$ 座標から定義域を求める
⇒定義域が２次不等式の解
解法の手順は上述の通りでしたが、２次不等式の左辺から作った２次方程式を因数分解または解の公式で解くことができれば、２次不等式の解をすぐに求めることができます。
解法の基本編では、２次方程式が異なる２つの実数解をもつ場合を取り上げました。
２次方程式が異なる２つの実数解をもつ場合、この実数解がグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標であるので、実数解さえ分かれば定義域を求めることができます。以下のように一般化もされています。
\begin{align*}
&\text{２次不等式} \ a{x}^{2}+bx+c \lt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta) \ \text{について} \\[ 5pt ]
&\quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \ \text{の解が} \ x=\alpha \ , \ \beta \ \text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad \text{２次不等式の解は} \ \alpha \lt x \lt \beta \\[ 10pt ]
&\text{２次不等式} \ a{x}^{2}+bx+c \gt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta) \ \text{について} \\[ 5pt ]
&\quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \ \text{の解が} \ x=\alpha \ , \ \beta \ \text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad \text{２次不等式の解は} \ x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x
\end{align*}
２次不等式の左辺を見て、左辺から作った２次方程式の解がすぐに分かりそうなら基本編で解きます。
基本編に対して応用編では、左辺から作った２次方程式が実数解を１個(重解)または０個もつ場合です。グラフとx軸との共有点の個数で言えば、１個または０個の場合です。
このように応用編では、グラフとx軸との共有点の個数が１個または０個の場合を考えます。この場合、２次方程式の解が定義域にそのまま使えるわけではないので、基本編とは分けて考える必要があります。
２次関数のグラフとx軸との共有点が１個の場合
グラフと $x$ 軸との共有点が１個の場合、２次関数において $y=0$ のときの２次方程式を考えてみましょう。
共有点が１個なので、２次方程式の実数解は１個だけ、すなわち重解になります。重解をもつとき、２次方程式はカッコの２乗の形に因数分解されます。
\begin{align*}
&\text{２次方程式} \ a{x}^{2}+bx+c = 0 \ \text{の解が} \ x=\alpha \ \text{であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} =0 \\[ 5pt ]
&\text{と因数分解できる}
\end{align*}
２次不等式の左辺がカッコの２乗の形に因数分解できるとき、グラフは $x$ 軸と共有点を１個もつように $x$ 軸に接しています。また、共有点の $x$ 座標は２次方程式の重解です。
値域に対応する定義域を考える
さて、グラフと $x$ 軸との位置関係や共有点の $x$ 座標が分かったので、値域に対応する定義域を考えてみましょう。
２次不等式を２次関数と値域に置き換えたとき、値域は４つのパターンが考えられます。
- $y \gt 0$ のとき
- $y \geqq 0$ のとき
- $y \lt 0$ のとき
- $y \leqq 0$ のとき
それぞれの場合で定義域を考えます。
値域が $y \gt 0$ のとき
値域が $y \gt 0$ のとき、値域に対応するグラフは、 $y$ 座標が $0$ である共有点以外が残ったグラフになります。
グラフから、値域に対応する定義域は、共有点の $x$ 座標 $x = \alpha$ 以外のすべての実数です。ですから、２次不等式の解は $x= \alpha$ 以外のすべての実数となります。
以下のように一般化されています。
&\text{２次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \gt 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&x= \alpha \ \text{以外のすべての実数}
\end{align*}
値域が $y \geqq 0$ のとき
値域が $y \geqq 0$ のとき、値域に対応するグラフは、すべての部分が残ったグラフになります。
グラフから、値域に対応する定義域はすべての実数です。ですから、２次不等式の解はすべての実数となります。
以下のように一般化されています。
&\text{２次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \geqq 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&\text{すべての実数}
\end{align*}
値域が $y \lt 0$ のとき
値域が $y \lt 0$ のとき、値域に対応するグラフはありません。グラフの一部も残りません。
グラフから、値域に対応する定義域は存在しません。ですから、２次不等式の解は解なしとなります。
以下のように一般化されています。
&\text{２次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \lt 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&\text{解なし}
\end{align*}
値域が $y \leqq 0$ のとき
値域が $y \leqq 0$ のとき、値域に対応するグラフは共有点だけが残り、グラフと言うよりも点になってしまいます。
グラフから、値域に対応する定義域は共有点の $x$ 座標 $x = \alpha$ だけです。ですから、２次不等式の解は $x = \alpha$ となります。
以下のように一般化されています。
&\text{２次不等式} \ a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \leqq 0 \quad ( a \gt 0 ) \ \text{の解は} \\[ 5pt ]
&x= \alpha
\end{align*}
このように２次不等式の左辺を因数分解できても、グラフと $x$ 軸との共有点が１個の場合、共有点の $x$ 座標がそのまま定義域に反映されるとは限りません。ここが基本編のときと大きく異なるところです。
次は共有点が０個の場合を考えてみましょう。