２次関数｜２次不等式の解法について・応用編
２次不等式の解法の基本について学習したので、次は応用編を学習しましょう。
応用編では、２次関数のグラフとｘ軸との共有点が１個または０個のときの解法になります。
このような２次不等式を解く場合、グラフを図示しないと解を間違う可能性が高くなります。
グラフを図示することの大切さについては何度も言及していますが、その重要性が分かるような問題ではないかと思います。
２次不等式の解法では、グラフとx軸との共有点の個数がポイント
おさらいになりますが、２次不等式の解法の手順は基本的に以下のようになります。
２次不等式の解法の手順
- ２次不等式を２次関数と値域に置き換える
- ２次関数において、ｙ＝０を代入して２次方程式を導出する。
- ２次方程式を解いて、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求める
- グラフ・値域・共有点のｘ座標から定義域を求める。
- 求めた定義域が２次不等式の解
解法の手順は上述の通りです。ただし、２次不等式の左辺から作った２次方程式を、因数分解できたり、解の公式で解けたりすれば、２次不等式の解をすぐに求めることもできます。
２次不等式の解法・基本編では、２次方程式が異なる２つの実数解をもつ場合を取り上げました。
２次方程式が異なる２つの実数解をもつ場合、この実数解がグラフとｘ軸との共有点のｘ座標になります。ですから、２次方程式の実数解が分かれば、グラフと値域から定義域を求めることができます。
また、以下のように一般化もされています。
２次不等式の解
$2$ 次不等式
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c \lt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta) \end{align*}について
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \end{align*}の解が
\begin{align*} \quad x=\alpha \ , \ \beta \end{align*}であるとき、$2$ 次不等式の解は
\begin{align*} \quad \alpha \lt x \lt \beta \end{align*}$2$ 次不等式
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c \gt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta) \end{align*}について
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \end{align*}の解が
\begin{align*} \quad x=\alpha \ , \ \beta \end{align*}であるとき、$2$ 次不等式の解は
\begin{align*} \quad x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x \end{align*}２次不等式の左辺を見て、左辺から作った２次方程式の解がすぐに分かりそうなら上述の解法を利用しましょう。当てはめるだけなので難しくありません。
実際は手順通りに考えているが、記述を省略して解いているだけ。
基本編に対して応用編では、左辺から作った２次方程式が実数解を１個（重解）または０個もつ場合です。グラフとｘ軸との共有点の個数で言えば、共有点が１個または０個の場合です。
（実数解が１個）＝（共有点が１個），（実数解が０個）＝（共有点が０個）
基本編と応用編との違いは、２次方程式の実数解をそのまま定義域に用いることができないことです。ですから、基本編の解法と区別する必要があります。
２次関数のグラフとx軸との共有点が１個の場合
グラフとｘ軸との共有点が１個の場合、２次関数においてｙ＝０のときの２次方程式を考えてみましょう。
共有点が１個なので、２次方程式の実数解は１個だけ、すなわち重解になります。重解をもつとき、２次方程式はカッコの２乗の形に因数分解されます。
２次方程式が重解をもつ
$2$ 次方程式
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c = 0 \end{align*}の解が
\begin{align*} \quad x=\alpha \end{align*}であるとき
\begin{align*} \quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} =0 \end{align*}と因数分解できる。
２次不等式の左辺がカッコの２乗の形に因数分解できるとき、グラフは共有点を１個もつようにｘ軸に接しています。このとき、共有点のｘ座標は２次方程式の重解です。
値域に対応する定義域を考える
さて、グラフとｘ軸との位置関係や共有点のｘ座標が分かったので、値域に対応する定義域を考えてみましょう。
２次不等式を２次関数と値域に置き換えたとき、値域は４つのパターンが考えられます。
４パターンの値域
- ｙ＞０のとき
- ｙ≧０のとき
- ｙ＜０のとき
- ｙ≦０のとき
それぞれの場合で定義域を考えます。
値域がｙ＞０のとき
値域がｙ＞０のとき、値域に対応するグラフは、ｙ座標が０である共有点を除いた部分になります。
このグラフを参考にすると、値域に対応する定義域は、共有点のｘ座標α以外のすべての実数になります。ですから、２次不等式の解はｘ＝α以外のすべての実数となります。
以下のように一般化されています。
２次不等式の解 １⃣
$2$ 次不等式
\begin{align*} \quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \gt 0 \quad ( a \gt 0 ) \end{align*}の解は
\begin{align*} \quad x=\alpha \ \text{以外のすべての実数} \end{align*}共有点のｘ座標を定義域から除く必要があるので注意しよう。
値域がｙ≧０のとき
値域がｙ≧０のとき、値域に対応するグラフは、すべての部分が残ったグラフになります。
このグラフを参考にすると、値域に対応する定義域はすべての実数です。ですから、２次不等式の解はすべての実数となります。
以下のように一般化されています。
２次不等式の解 2⃣
$2$ 次不等式
\begin{align*} \quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \geqq 0 \quad ( a \gt 0 ) \end{align*}の解は、すべての実数
値域がｙ＜０のとき
値域がｙ＜０のとき、値域に対応するグラフはありません。グラフが値域に含まれないからです。
グラフを参考にすると、値域に対応する定義域は存在しません。ですから、２次不等式の解は解なしとなります。
以下のように一般化されています。
２次不等式の解 3⃣
$2$ 次不等式
\begin{align*} \quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \lt 0 \quad ( a \gt 0 ) \end{align*}の解は、解なし
値域がｙ≦０のとき
値域がｙ≦０のとき、値域に対応するグラフは共有点だけが残ります。グラフと言うよりも点と言った方が適切かもしれません。
グラフを参考にすると、値域に対応する定義域は共有点のｘ座標αだけです。ですから、２次不等式の解はｘ＝αとなります。
以下のように一般化されています。
２次不等式の解 4⃣
$2$ 次不等式
\begin{align*} \quad a{\left( x – \alpha \right)}^{2} \leqq 0 \quad ( a \gt 0 ) \end{align*}の解は
\begin{align*} \quad x = \alpha \end{align*}このようにグラフとｘ軸との共有点が１個の場合、２次不等式の左辺を因数分解できたとしても、共有点のｘ座標がそのまま定義域に反映されるとは限りません。
ここが基本編のときと大きく異なるところで、ミスをしやすいところです。ですから、グラフを描いて定義域を考えることが大切です。
過程を省略するかどうかは別として、ミスを減らすには、グラフを描いて考えることが大切。
次は共有点が０個の場合を考えてみましょう。