２次関数｜２次関数のグラフの平行移動について
前回の記事でこれまでに学習した比例や反比例などの関数について復習ました。関数の式とグラフの関係を関連付けておくことが大切でした。
参考
２次関数｜関数について
今回は高校でメインで扱う２次関数について学習します。
２次関数のグラフの平行移動
グラフの平行移動とは、グラフを $x$ 軸方向や $y$ 軸方向に沿って移動させることです。
グラフの平行移動では、直線の傾きが変わったり、曲線の曲がり具合が変わったりすることはないので注意しましょう。ただ単に、グラフの位置が変わるだけです。
この平行移動と２次関数の式は関係が深い話です。２乗に比例する関数のグラフを平行移動すると、２次関数の標準形と呼ばれる式が導かれるからです。
ですから２次関数の式やグラフを扱えるように、２乗に比例する関数に関する事柄を予めマスターしておく必要があります。
グラフの概形や用語も確認しておきましょう。
２乗に比例する関数のグラフを平行移動するやり方は３パターンあります。
- グラフを $y$ 軸方向に平行移動する
- グラフを $x$ 軸方向に平行移動する
- グラフを $y$ 軸方向および $x$ 軸方向に平行移動する
３番目は１，２番目が理解できれば大丈夫です。
$y$ 軸方向の平行移動
２乗に比例する関数 $y=a{x}^{2}$ のグラフを $y$ 軸方向(上下方向)に $q$ だけ平行移動してみましょう。
このとき、原点にある頂点 $(0 \ , \ 0)$ は $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動します。すると、頂点の座標は $(0 \ , \ q)$ に移動します。
頂点以外の点も同じように、すべてが $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するので、座標も $y$ 座標だけが $q$ だけ変化します。このような平行移動をしたとき、移動後の式は、右辺に定数項 $q$ が加わった式に変わります。
移動前の式：$y = a{x}^{2}$
移動後の式：$y = a{x}^{2} +q$
$y$ 軸方向の平行移動は、式では右辺の定数項に反映されます。
移動後の式：$y = a{x}^{2} +q$
頂点：点 $(0 \ , \ q)$ に移動
軸：$y$ 軸で変わらず
凸：変わらず
下の具体例を見ても分かるように、同じ $x$ の値に対して、$y$ の値だけが平行移動の分だけ変化しています。点の $y$ 座標の変化に伴って、グラフは $y$ 軸方向に平行移動します。
$x$ 軸方向の平行移動
２乗に比例する関数 $y=a{x}^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向(左右方向)に $p$ だけ平行移動してみましょう。
このとき、原点にある頂点 $(0 \ , \ 0)$ は $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動します。すると、頂点の座標は $(p \ , \ 0)$ に移動します。
頂点以外の点も同じように、すべてが $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動するので、座標も $x$ 座標だけが $p$ だけ変化します。このような平行移動をしたとき、移動後の式は、右辺の $x$ が $(x-p)$ に置き換わった式に変わります。
移動前の式：$y = a{x}^{2}$
移動後の式：$y = a{\left( x-p \right)}^{2}$
$x$ 軸方向の平行移動は、式では右辺の変数 $x$ に反映されます。
このとき注意したいのは、軸の位置です。軸はグラフの対称の軸であり、頂点を必ず通るので、頂点が $x$ 軸方向に平行移動するときは、それに伴って軸も $x$ 軸方向に平行移動します。
移動後の式：$y = a{\left( x-p \right)}^{2}$
頂点：点 $(p \ , \ 0)$ に移動
軸：直線 $x=p$ に移動
凸：変わらず
下の具体例を見ても分かるように、同じ $y$ の値に対して、$x$ の値だけが平行移動の分だけ変化しています。点の $x$ 座標の変化に伴って、グラフは $x$ 軸方向に平行移動します。
$y$ 軸方向および $x$ 軸方向の平行移動
$y$ 軸方向および $x$ 軸方向の平行移動は、これまでの２つの平行移動を合わせた移動です。どちらかの方向から順に点を平行移動すれば、平行移動後のグラフの位置が分かります。
２乗に比例する関数 $y=a{x}^{2}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したときの式は以下のようになります。また、頂点や軸についてもまとめておきます。
移動前の式：$y = a{x}^{2}$
移動後の式：$y = a{\left( x-p \right)}^{2}+q$ ⇒これが標準形
頂点：点 $(p \ , \ q)$ に移動
軸：直線 $x=p$ に移動
凸：変わらず。
$x$ 軸方向と $y$ 軸方向とで式の変わる箇所が決まっているので、対応関係を把握しましょう。それぞれの方向での平行移動の関係は以下のようになります。
なお、関数 $y = a{x}^{2}$ を $x$ 軸方向および $y$ 軸方向に平行移動して得られる式 $y = a{\left( x-p \right)}^{2}+q$ を「２次関数の標準形」として用います。
２次関数を扱うときは標準形の式で考えるのが基本です。この式から軸・頂点・凸の３つの情報を得ることができるようにしておきましょう。
２乗に比例する関数と２次関数との関係をまとめると以下のようになります。２乗に比例する関数は、２次関数の一例と考えることができます。
グラフの平行移動を一般化する
２次関数の平行移動では、$x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動すると、式は $x$ から $(x-p)$ に置き換えた形に変わりました。この置き換えは、$y$ 軸方向の平行移動でも成り立ちます。
移動後の式は $y = a{x}^{2}+q$ だったが、実は、$y-q = a{x}^{2}$ を変形した後の式
つまり、一般に、グラフを平行移動した後の式は、$x$ や $y$ を置き換えるだけで求めることができるということです。
$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動 ⇒ $y$ を $(y-q)$ に置き換え
このことは２次関数だけではなく、関数全般で成り立ちます。この性質を上手に利用できるようになると、どんな関数でも平行移動後の式を簡単に求めることができます。
手順は非常に簡単です。$x$ や $y$ を平行移動した分を考慮した式に置き換えるだけです。置き換えた後、式を整理すると平行移動後の式になります。
この性質の利点は、式の置き換えや整理だけで平行移動後の式を求めることができる点です。わざわざグラフを書いたり、頂点を求めたりしなくても求めることができます。
参考 ２次関数｜関数の表し方について
また、$f(x)$ を $y$ の代わりに用いて、たとえば $f(x)=x+5$ のように書くこともできます。 $f(x)$ を使った記述の場合、$x$ の値とそれに対応する $y$ の値とを１つの式で扱えるのでとても便利な記号です。
$f(1)=6$ であれば、$x=1$ のとき、$y=6$ を表しています。$y=6$ だけでは、対応する $x$ の値は不明であるのに対して、$f(x)$ を使うと、$x \ , \ y$の値を両方とも知ることができます。
２次関数の平行移動を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
解答例・別解
y={x}^{2}+3
\end{equation*}
２次関数のグラフの平行移動に関する問題です。２次関数のグラフを平行移動する問題の基本的な解き方をまとめると以下のようになります。
- 頂点を求め、平行移動する。
- 移動後の頂点の座標を２次関数の標準形の式に戻す。
与式と標準形を比較すると、$a=1 \ , \ p=0 \ , \ q=3$ となるので、頂点は点 $(0 \ , \ 3)$ です。この頂点を $x$ 軸方向に $-2$ だけ、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動します。
すると、頂点は点 $(-2 \ , \ 4)$ に移動するので、$a=1 \ , \ p=-2 \ , \ q=4$ となります。これらを標準形に代入すると、平行移動後の式は $y={\left( x+2 \right)}^{2}+4$ となります。
また、応用的な解き方は以下のようになります。
$y-q=f(x-p)$ を利用する。
- $x$ を $(x-p)$ に、$y$ を $(y-q)$ に置き換える。
- 式を整理する。
応用的な解き方の場合、 $x$ 軸方向に $-2$ だけ、$y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したので、２次関数 $y = {x}^{2}+3$ の式の $x$ を $(x+2)$、$y$ を $(y-1)$ に置き換えます。
y-1 &= {\left( x+2 \right)}^{2}+3 \\[ 5pt ]
y &= {\left( x+2 \right)}^{2}+4\end{align*}
解答例は以下のようになります。
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関数を上手に扱えるようになると、高校での数学はとてもラクになると思います。中学でも関数を扱いましたが、方程式や不等式との関係までは学習していません。
関数単体でなら何とかなっていても、方程式や不等式との関係性を理解しないと、高校では厳しくなります。逆に関係性が掴めれば、今までの苦労が何だったのかと思えるようになるでしょう。
関数は、たとえば物理の直線運動でも $v-t$ グラフなどで登場するので、ぜひとも攻略しておきたい単元です。
そこで紹介するのは、おもしろいほどよくわかる高校数学 関数編 2次方程式、指数・対数・三角関数がスラスラ解ける! (サイエンス・アイ新書)です。図解してあるので、関数に苦手意識がある人でも読みやすいでしょう。
高校数学で学ぶ2次関数・指数関数・対数関数・三角関数について、その関数が生まれた身近な現象から説明し、それぞれの関数の性質を考える過程に多くのページを割きました。
書籍の紹介にもあるように、身近な現象を例に挙げて話が進むので、イメージしやすいかと思います。興味のある人は一読してみてはいかがでしょうか。
さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- ２次関数の標準形は、２乗に比例する関数のグラフの平行移動から得られる。
- $y$ 軸方向と $x$ 軸方向の平行移動を個別に理解する。
- $y$ 軸方向および $x$ 軸方向に平行移動した後の式が、２次関数の標準形。
- ２次関数の標準形で、軸、頂点、凸の３つの情報を取り出せるようにする。
- 関数のグラフの平行移動では、決まった置き換えで移動後の式を求めることができる。