数と式｜絶対値を扱った問題を解いてみよう

05/16/2021数学１

絶対値の記号の使い方とその外し方を学習した後は、絶対値を扱った問題を解いてみましょう。

1. 数や式の値の正負を吟味する
2. 絶対値を扱った問題を解いてみよう
3. 絶対値の記号がついていない残りの項は定数か
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5. さいごに、もう一度まとめ

数や式の値の正負を吟味する

絶対値を扱った問題では、絶対値の記号に挟まれた数や式について、値の正負を吟味することが大切です。絶対値の記号を外すとき、その外し方が正の数と負の数とで異なるからです。

もし、値の正負が不明であれば、自分で場合分けすると吟味できるようになります。絶対値を考える対象が数や式のどちらであっても、値の正負をすぐに確認しましょう。

絶対値を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$1$ は絶対値を求めよ。また、$2 \ , \ 3$ は、等式を満たす $x$ の値を求めよ。

\begin{align*} &1. \quad \left|\sqrt{3}-2 \right| \\[ 7pt ] &2. \quad \left|x \right|=5 \\[ 7pt ] &3. \quad \left|x-1 \right|=5 \end{align*}

問１の解答・解説

問１

絶対値を求めよ。

\begin{equation*} \quad \left|\sqrt{3}-2 \right| \end{equation*}

絶対値の記号を付けただけでは絶対値を求めたことにならない

問１は「絶対値を求めよ」という問題です。与式にはすでに絶対値の記号が付いているので、もう答えが出ていると思うでしょうが、そうではありません。

絶対値の記号を付けただけでは「その数や式を絶対値として扱う」という宣言をしただけで、絶対値を求めたことにはなりません。

たとえば、|－３|のように負の数に絶対値の記号を付けただけでは、絶対値３を求めたことにはなりません。

「絶対値を求めよ」と言われたら、絶対値の記号を外した形で表そう。

数や式の値の正負が自分で判断できる場合

問１では、与えられた数に絶対値の記号がついたままなので、記号を外して表します。与えられた数は多項式ですが、１つの数と見なします。

平方根は、無理数で、循環しない無限小数です。ただし、簡単なものであれば、概数で表せます。与えられた数の正負は概数から吟味できるので、絶対値の記号を外せそうです。

問１の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad \sqrt { 3 } = 1.73 \cdots \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad 1 \lt \sqrt{3} \lt 2 \\[ 7pt ] &\text{辺々に $-2$ を加えて} \\[ 5pt ] &\quad 1-2 \lt \sqrt{3}-2 \lt 2-2 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad -1 \lt \sqrt{3}-2 \lt 0 \end{align*}

与えられた数が負の数であることが分かりました。

負の数の扱いに従って、絶対値の記号を外します。

問１の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad -1 \lt \sqrt{3}-2 \lt 0 \\[ 7pt ] &\sqrt{3}-2 \lt 0 \ \text{より} \end{align*} \begin{align*} \quad &\left|\sqrt{3}-2 \right| \\[ 7pt ] = \ &-\left(\sqrt{3}-2 \right) \\[ 7pt ] = \ &-\sqrt{3}+2 \end{align*}

絶対値の記号を外した後でも正の数であることが分かります。

問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

このように数や式の値の正負が判断できる場合、その正負に従って絶対値の記号を外します。

問２の解答・解説

問２

等式を満たす $x$ の値を求めよ。

\begin{equation*} \quad \left|x \right|=5 \end{equation*}

絶対値を扱った方程式の基礎となる問題

問２は、絶対値を扱った方程式の中で基礎となる問題です。絶対値を扱った方程式では、問１の形から解を求めるのが基本的な解き方です。

公式化されている問題。絶対値の意味や方程式の意味を考えながら理解しよう。

問２は「方程式を満たすｘの値を求めよ」という意味ですが、絶対値に注目すると「絶対値が５となる（点に対応する）数ｘを求めよ」と解釈することもできます。

これが方程式の意味や絶対値の意味を考えるということです。このような解釈ができれば、公式を覚えるのが楽になります。

絶対値が５となる点は、数直線上に２つあります。その点に対応する数は±５です。このことを利用して、方程式を解きます。

問２の解答例

絶対値の定義から

\begin{align*} \quad \left|x \right| &= 5 \\[ 7pt ] \quad x &= \pm 5 \end{align*}

絶対値の定義をりようすれば、方程式を解くことなく解を求めることができます。

問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

問２を場合分けで解いた場合

絶対値の定義を利用して解きましたが、ｘの値の正負を場合分けして解くこともできます。

問２の別解例

\begin{align*} &[ \ 1 \ ] \ x \geqq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right| = x \\[ 7pt ] &\text{より、等式は} \\[ 5pt ] &\quad x = 5 \\[ 7pt ] &\text{これは} \ x \geqq 0 \ \text{を満たす。} \\[ 10pt ] &[ \ 2 \ ] \ x \lt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right| = -x \\[ 7pt ] &\text{より、等式は} \\[ 5pt ] &\quad -x = 5 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = -5 \\[ 7pt ] &\text{これは} \ x \lt 0 \ \text{を満たす。} \\[ 7pt ] &[ \ 1 \ ] \ , \ [ \ 2 \ ] \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm 5 \end{align*}

解を求めたら、その解が場合分けの条件を満たすことを確認しましょう。問題によっては、解が条件を満たさない場合があります。

問２のポイントと別解例をまとめると以下のようになります。

場合分けを利用した解法では、値の正負に応じて絶対値の外し方が決まっているので、機械的に解けるのが利点です。この解法は、多項式の絶対値を扱う場合に向いています。

それに対して、問２のような単項式の絶対値を扱う場合、数直線で視覚的に解く解法が向いています。

絶対値を扱った問題の解法は２パターン

単項式の絶対値：数直線を利用した解法（視覚的に解ける）
多項式の絶対値：場合分けを利用した解法（機械的に解ける）

単項式か多項式かによって、絶対値の求め方を変えよう。単項式なら数直線、多項式なら場合分け。

問３の解答・解説

問３

等式を満たす $x$ の値を求めよ。

\begin{equation*} \quad \left|x-1 \right|=5 \end{equation*}

多項式を単項式に置き換えて解きやすい形にする

問３は、問２の単項式ｘから多項式ｘ－１に変わったので、問２と全く関係ないように感じます。しかし、多項式を１つの単項式として扱えば、問２に帰結させることができます。

絶対値が５になる点に対応する数ｘ－１を考えれば良いのですが、このままだと分かりにくいです。そこで、ｘ－１をＸに置き換えてみましょう。すると、問２と同じ形の式を導くことができます。

問３の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x-1=X \\[ 7pt ] &\text{とおくと、等式は} \\[ 5pt ] &\quad \left|X \right| = 5 \end{align*}

問２のｘがＸに変わっただけなので、同じ要領で方程式を解くことができます。

問３の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad x-1=X \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left|X \right| = 5 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad X = \pm 5 \\[ 7pt ] &\text{ここで $x-1=X$ より} \\[ 5pt ] &\quad x-1 = \pm 5 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm 5+1 \\[ 7pt ] &\quad x = -4 \ , \ 6 \end{align*}

絶対値の記号を外した後に注意しましょう。Ｘからもとの多項式ｘ－１に戻すのを忘れがちです。もとの多項式に戻したら、ｘについて整理して解を求めます。

問３のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

また、置き換えなしで解くと別解のようになります。多項式を１つのかたまりとして扱うことに慣れていれば、わざわざ置き換えずに済むでしょう。この解法の方が断然速く解けます。

最終的には、置き換えなしで解けるように演習をこなしましょう。

もちろん、場合分けを利用して解くこともできます。

問２の別解例

\begin{align*} &[ \ 1 \ ] \ x-1 \geqq 0 \ \text{すなわち} \ x \geqq 1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left|x-1 \right| = x-1 \\[ 7pt ] &\text{より、等式は} \\[ 5pt ] &\quad x-1 = 5 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = 6 \\[ 7pt ] &\text{これは} \ x \geqq 1 \ \text{を満たす。} \\[ 10pt ] &[ \ 2 \ ] \ x-1 \lt 0 \ \text{すなわち} \ x \lt 1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right| = -\left(x-1 \right) \\[ 7pt ] &\text{より、等式は} \\[ 5pt ] &\quad -\left(x-1 \right) = 5 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = -4 \\[ 7pt ] &\text{これは} \ x \lt 1 \ \text{を満たす。} \\[ 7pt ] &[ \ 1 \ ] \ , \ [ \ 2 \ ] \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = -4 \ , \ 6 \end{align*}

入試レベルであれば、場合分けが必要な問題もあります。こちらの解法もマスターしておきましょう。

絶対値の記号がついていない残りの項は定数か

問２，３のような問題では、絶対値の定義を利用して簡単に解くことができます。場合分けしなくて済みます。

ただし、同じようにいかない問題もあります。問２，３のような解き方が可能なのは、絶対値が一定、言い換えると右辺が定数であるときです。

「右辺が定数のとき」というのは、厳密には正しい表現ではありません。正しくは「絶対値の記号がついていない、残りの項が定数であるとき」です。

右辺が定数であるとき

\begin{align*} &\quad \left|x \right| = 5 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left|x-1 \right| = 5 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{①，②は、ともに絶対値の記号がついていない、} \\[ 5pt ] &\text{残りの項が定数である等式} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right|+3 = 5 \\[ 7pt ] &\text{は、整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right| = 2 \\[ 7pt ] &\text{より、①，②と同じ形の等式} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right| = x \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{③は、絶対値の記号がついていない、} \\[ 5pt ] &\text{残りの項 $x$ が定数でない等式} \end{align*}

③式は、①，②式に似ていますが、絶対値の記号がついていない、残りの項ｘが定数でない等式です。

残りの項ｘは定数ではなく、変数です。これでは、絶対値が一定に定まりません。数直線を用いても距離を測ることができません。

絶対値を含む方程式を解くには、次の等式を基本の形にして解きます。この形であれば、場合分けなしで絶対値の記号を外すことができます。

絶対値を含む方程式の基本形

\begin{align*} &a \ \text{を定数とする。} \\[ 5pt ] &x \ \text{の方程式} \\[ 5pt ] &\quad \left|x \right| = a \\[ 7pt ] &\text{の解は} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm a \end{align*}

絶対値記号の中のｘは、単項式でも多項式でも構いません。大事なのは、記号がついていない残りの項が定数かどうかです。