数と式｜整式の因数分解に関する問題を解いてみよう
整式の因数分解を扱った問題を解いてみましょう。問題を解くことでどこが理解できていないかが分かるので、ある程度学習したら、どんどん演習しましょう。
基礎レベルから応用レベルまでたくさん演習をこなして計算力を付けておきましょう。
式を見て解き方を判断できるレベルを目指そう
教科書を熟読したり、問題をたくさん解いたりしていくと、学習したことの意味や相互関係が徐々に分かってきます。そこまで演習をこなせば、式を見ただけで方針が立つようになります。
展開や因数分解は数学Ｉの最初の単元で登場しますが、この後に学習する色んな単元で関わってきます。式を扱うときの基本的な知識になるので、誰よりも演習をこなして自信を付けておきましょう。
参考
数と式｜整式について
参考
数と式｜整式の展開と乗法公式について
参考
数と式｜整式の因数分解について
整式の因数分解に関する演習問題
次の整式を因数分解してみましょう。
第１問の解答・解説
1.\quad 2ax-6ay
\end{equation*}
式をよく観察すると、以下のことが分かります。
- $2ax$ と $-6ay$ の２項からなる多項式。
- ２次の項がない。
- 同じ文字 $a$ がある。
同じ文字、つまり共通因数 $a$ があるので、分配法則の逆で因数分解すれば良いことが分かります。
なお、数が共通因数になるときは注意が必要です。本問では、$6=2 \times 3$ と因数分解できるので、$2$ と $6$ は共通因数 $2$ をもちます。つまり、与式は $2a$ を共通因数をもつので、$a$ でなく $2a$ でくくって因数分解しなければなりません。
共通因数 $2a$ でくくった後のカッコ内では、共通因数もなく乗法公式にも当てはまらないので因数分解できません。これで与式の因数分解は終了です。解答例は以下のようになります。
第２問の解答・解説
2.\quad { x }^{ 2 }-8x+16
\end{equation*}
式をよく観察すると、以下のことが分かります。
- ${ x }^{ 2 } \ , \ -8x \ , \ +16$ の３項からなる多項式。
- 文字 $x$ についての２次式。
- ２次の項の係数は $1$。
- 共通因数は見当たらない。
与式を見た時点で気づくと思いますが、本問は中学の因数分解に出てくる問題です。文字 $x$ についての１次式どうしの積で表される乗法公式があったので、それを利用して因数分解します。
定数項 $+16$ (積)の因数の組み合わせを考え、その組み合わせが正しいかを１次の項 $-8x$ の係数 $-8$ (和)で確かめます。積が $+16$ で和が $-8$ になる数の組み合わせは、$-4$ と $-4$ です。
解答例は以下のようになります。
第３問の解答・解説
3.\quad { x }^{ 2 }+8x+15
\end{equation*}
式をよく観察すると、以下のことが分かります。
- ${ x }^{ 2 } \ , \ +8x \ , \ +15$ の３項からなる多項式。
- 文字 $x$ についての２次式。
- ２次の項の係数は $1$。
- 共通因数は見当たらない。
与式は第２問と同じ形の式です。ですから、第２問と同じ流れで因数分解します。なお、別解では、たすき掛けを利用して因数分解しています。
解答例は以下のようになります。
第４問の解答・解説
4.\quad 3{ x }^{ 2 }+5x-2
\end{equation*}
式をよく観察すると、以下のことが分かります。
- $3{ x }^{ 2 } \ , \ +5x \ , \ -2$ の３項からなる多項式。
- 文字 $x$ についての２次式。
- ２次の項の係数は $3$。
- 共通因数は見当たらない。
このような多項式であれば、たすき掛けによる因数分解です。基本的に３項からなる２次式であれば、たすき掛けによる因数分解を考えましょう。
たすき掛けによる因数分解は、２次の項の係数と定数項のそれぞれで因数を考えるのがポイントです。定数項の方は、１次の項を参考にしながら符号も考慮に入れます。
因数の組み合わせが複数組ある場合、思いつく組み合わせから順にたすき掛けをします。１次の項の係数と比較して同じになれば、正しい因数の組み合わせです。解答例は以下のようになります。
なお、図解の方で解説していますが、展開と因数分解の関係がよく分かってくると、たすき掛けなしで因数分解できるようになります。コツを掴んでしまえば暗算でできるようになるので、ぜひ、挑戦してみましょう。
第５問の解答・解説
5.\quad { \left( x+y \right) }^{ 2 }+4\left( x+y \right) +3
\end{equation*}
式をよく観察すると、以下のことが分かります。
- ${ \left( x+y \right) }^{ 2 } \ , \ +4\left( x+y \right) \ , \ +3$ の３項からなる多項式。
- １，２番目の項に共通の多項式 $x+y$ がある。
- 多項式 $x+y$ を１つのかたまりと考えると、$x+y$ についての２次式になる。
本問は、多項式 $x+y$ を１つのかたまり(１つの文字)と捉えられるかがポイントです。多項式 $x+y$ を１つの文字に置き換えてみると、与式が全く違った式に見えてきます。
たとえば文字 $X$ に置き換えてみると、文字 $X$ についての２次式になります。この形であれば、第２，３問と同じようにして因数分解できます。
因数分解した後、もとの多項式 $x+y$ に戻すのを忘れないようにしましょう。少し工夫の必要な因数分解でした。解答例は以下のようになります。
与式に使われている文字で、因数分解の方針が分かるかも
演習をこなしていくと、与式の形はもちろんですが、与式で使われている文字でも、因数分解の方針をある程度予測できるようになってきます。
たとえば文字 $x \ , \ y$ を使っていれば、ほとんどが乗法公式による因数分解か、たすき掛けによる因数分解のどちらかです。また、文字 $a \ , \ b \ , \ c$ を使っていれば、ほとんどが分配法則の逆による因数分解(輪環の順に整理するタイプ)です。
絶対ではありませんが、使っている文字に注目しながら演習してみてみると、ここで言ってることがそれほど外れていないことが分かると思います。
さいごに、もう一度まとめ
- 因数分解のパターンは、分配法則の逆による因数分解と、乗法公式による因数分解の２パターン。
- 分配法則の逆による因数分解では、共通因数を見つける。
- 乗法公式を利用した因数分解では、どの乗法公式に当てはまるかを考える。
- ３項からなる２次式であれば、基本的にたすき掛けを利用した因数分解。