複素数と方程式|因数の見つけ方について

数学2因数分解,複素数と方程式,剰余の定理,因数定理,1次式,高次式

今回は、因数の見つけ方について学習しましょう。高次式を因数分解するとき、1次式の因数を見つけることが基本です。因数の見つけ方にはコツがあるので、そのコツを覚えておくと焦らずに済むでしょう。

因数の見つけ方

因数の見つけ方と言ってはいますが、実際は「$P(k)=0$ となる $k$ の見つけ方」のことです。

1次式の因数を見つけるために、剰余の定理を利用して「$P(k)=0$ となる $k$」を見つけます。上手くいけば一発で見つかりますが、要領が悪いと何度も計算する羽目になります。

基本的には、整式に $x=0 \ , \ \pm 1 \ , \ \pm 2 \ , \ \cdots \cdots$ の順に代入して式の値を調べれば、ほとんどの場合、因数が見つかります。因数がすぐに見つかるのは、高次式が1次式の因数を複数もつ場合が多いです。

しかし、高次式が1次式の因数を1つだけしかもたなければ、なかなか見つからないときがあります。因数をすぐに見つけられないと、焦ってむやみに計算しがちです。そうならないためにも見つけ方を知っておいた方が無難です。

恒等式の考えを利用する

ここでも恒等式の考えを利用します。因数定理が成り立つとすると、整式の因数が分かります。このときさらに商を定義すれば、割り算の基本公式から等式を導くことができます。

$P(k)=0$ となる $k$ の見つけ方①
\begin{align*}
&\quad P(x)=ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d \\[ 7pt ]
&\text{に対して} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl( \frac{q}{p} \biggr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{とすると、$P(x)$ は $px-q$ で割り切れる。} \\[ 5pt ]
&\text{商を} \\[ 5pt ]
&\quad lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \\[ 7pt ]
&\text{とすると、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=\bigl( px-q \bigr) \bigl( lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{ただし、係数はすべて整数とする。}
\end{align*}

これまでの因数分解、特にたすき掛けによる因数分解を思い出すと、以下のことが理解できます。注目するのは最高次の項の係数と定数項です。

$P(k)=0$ となる $k$ の見つけ方②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=\bigl( px-q \bigr) \bigl( lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{$x^{\scriptsize{3}}$ の項の係数と定数項を比較とすると} \\[ 5pt ]
&\quad a=pl \ , \ d=-qn \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$p$ は $P(x)$ の最高次の項の係数 $a$ の約数} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$q$ は $P(x)$ の定数項 $d$ の約数} \\[ 5pt ]
&\text{である。}
\end{align*}

因数分解の仕組みを理解していれば分かることです。このことを利用すれば、$P(k)=0$ となる $k$ の候補を予想できます。

$P(k)=0$ となる $k$ の見つけ方③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \text{$p$ は $P(x)$ の最高次の項の係数 $a$ の約数} \\[ 5pt ]
&\quad \text{$q$ は $P(x)$ の定数項 $d$ の約数} \\[ 5pt ]
&\text{である。} \\[ 5pt ]
&\text{すなわち、$P(k)=0$ となる $k$ の候補は} \\[ 5pt ]
&\quad \pm \frac{ \text{定数項の約数} }{ \text{最高次の係数の約数} }
\end{align*}

先ほど、整式に $x=0 \ , \ \pm 1 \ , \ \pm 2 \ , \ \cdots \cdots$ の順に代入すれば、ほとんどの場合で因数が見つかると言いました。しかし、このやり方だと、候補ではないものまで考えることになります。

もちろん、すべての候補について因数定理が成り立つわけではありません。それでも予めあたりを付けることができるので、無駄打ちを減らせます。むやみやたらに計算しなくて済むだけ確実に効率的です。

代入する数を絞ってから式の値を求めよう。候補に挙がらないものまで考慮する必要はない。

因数を見つけてみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の整式の因数を求めよ。} \\[ 5pt ]
&\quad 2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6
\end{align*}

入試では、このような問題はまず出題されません。因数の見つけ方を使ってみるための例題です。

最高次の項の係数と定数項に注目

最高次の項の係数と定数項に注目します。

$P(k)=0$ となる $k$ の見つけ方
\begin{align*}
&\text{$P(k)=0$ となる $k$ の候補は} \\[ 5pt ]
&\quad \pm \frac{ \text{定数項の約数} }{ \text{最高次の係数の約数} }
\end{align*}

最高次の係数の約数と定数項の約数を調べ、それらをもとに候補を書き出します。

因数を見つけよう①
\begin{align*}
&\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{最高次の係数は $2$ であるので、その約数は $1 \ , \ 2$} \\[ 5pt ]
&\text{定数項は $6$ であるので、その約数は $1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 6$} \\[ 5pt ]
&\text{よって、$P(k)=0$ となる $k$ の候補は} \\[ 5pt ]
&\quad \pm \frac{1}{1} \ , \ \pm \frac{2}{1} \ , \ \pm \frac{3}{1} \ , \ \pm \frac{6}{1} \ , \ \pm \frac{1}{2} \ , \ \pm \frac{2}{2} \ , \ \pm \frac{3}{2} \ , \ \pm \frac{6}{2} \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \pm \frac{1}{2} \ , \ \pm 1 \ , \ \pm \frac{3}{2} \ , \ \pm 2 \ , \ \pm 3 \ , \ \pm 6
\end{align*}

最高次の係数の約数が分母、定数項の約数が分子になるように分数を作ります。書き出した候補が、因数定理を満たすものかを確認してみましょう。

因数を見つけよう②
\begin{align*}
&\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ]
&\text{$x=-\frac{1}{2}$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl( -\frac{1}{2} \biggr)=2 \cdot \biggl( -\frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \biggl( -\frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \biggl( -\frac{1}{2} \biggr)-6=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x+\frac{1}{2}$ すなわち $2x+1$ を因数にもつ。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=\frac{1}{2}$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl( \frac{1}{2} \biggr)=2 \cdot \biggl( \frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \biggl( \frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \biggl( \frac{1}{2} \biggr)-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x-\frac{1}{2}$ すなわち $2x-1$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=-1$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(-1)=2 \cdot \bigl( -1 \bigr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \bigl( -1 \bigr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \bigl( -1 \bigr)-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x+1$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=1$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(1)=2 \cdot 1^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 1^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 1-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=-\frac{3}{2}$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl( -\frac{3}{2} \biggr)=2 \cdot \biggl( -\frac{3}{2} \biggr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \biggl( -\frac{3}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \biggl( -\frac{3}{2} \biggr)-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x+\frac{3}{2}$ すなわち $2x+3$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=\frac{3}{2}$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P\biggl( \frac{3}{2} \biggr)=2 \cdot \biggl( \frac{3}{2} \biggr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \biggl( \frac{3}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \biggl( \frac{3}{2} \biggr)-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x-\frac{3}{2}$ すなわち $2x-3$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=-2$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(-2)=2 \cdot \bigl( -2 \bigr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \bigl( -2 \bigr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \bigl( -2 \bigr)-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x+2$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=2$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(2)=2 \cdot 2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 2-6 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=-3$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(-3)=2 \cdot \bigl( -3 \bigr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \bigl( -3 \bigr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \bigl( -3 \bigr)-6 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x+3$ を因数にもつ。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=3$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(3)=2 \cdot 3^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 3^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 3-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x-3$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=-6$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(-6)=2 \cdot \bigl( -6 \bigr)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \bigl( -6 \bigr)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \bigl( -6 \bigr)-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x+6$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{$x=6$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad P(6)=2 \cdot 6^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 6^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 6-6 \neq 0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$P(x)$ は $x-6$ を因数にもたない。} \\[ 7pt ]
&\text{したがって、$P(k)=0$ となる $k$ は} \\[ 5pt ]
&\quad k=-\frac{1}{2} \ , \ 2 \ , \ -3
\end{align*}

候補を挙げた際、例題のように、分数が出てくることがあります。この場合、式の値を求めるのは面倒です。実際には、候補のうち整数から先に確認します。

整式を因数分解すると以下のようになります。3次式である整式を1次式で割るとき、組立除法で割り算しています(ここでは省略)。

整式を因数分解して因数を確認
\begin{align*}
&\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\quad P(2)=2 \cdot 2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 2-6 =0 \\[ 7pt ]
&\text{であるので、$P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \\[ 5pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=\bigl( x-2 \bigr) \bigl( 2x^{\scriptsize{2}}+7x+3 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{さらに因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad P(x)=\bigl( x-2 \bigr) \bigl( x+3 \bigr) \bigl( 2x+1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{したがって、$P(x)$ は $x-2$ のほかに} \\[ 5pt ]
&\quad x+3 \ , \ 2x+1 \\[ 7pt ]
&\text{をもつので、因数定理より} \\[ 5pt ]
&\quad P(-3)=0 \\[ 7pt ]
&\quad P \biggl( -\frac{1}{2} \biggr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。}
\end{align*}

因数分解の結果から分かるように、高次式は3つの1次式を因数にもちます。3つの因数に関して、因数定理が成り立つはずです。「因数を見つけよう②」と見比べると分かりますが、候補を確認した結果と一致しています。

候補の優先順位

高次式の因数分解では、とにかく因数を1つ見つけることが大切です。

候補の見つけ方を用いれば、複数の候補が挙がります。しかし、例題から分かるように、すべての候補で因数定理が成り立つわけではありません。当たりはずれがあるので、候補に優先順位をつける必要があります。

優先順位の付け方としては、候補のうち、簡単な計算で済みそうな整数を優先します。上手くいけば、一発で余りが0となる値、つまり因数定理が成り立つ値が分かります。

基本的には、できるだけ小さい整数から調べていけば、たいていの場合上手くいきます。また、演習を数多くこなしていけば、各項の係数の並びを見て、代入すべき値を予想できるようになるでしょう。ただ、どうしても上手くいかない場合には、上記の因数の見つけ方で候補を考えてみると良いでしょう。

因数の見つけ方

  • できるだけ小さい整数から代入して調べていく。
  • どうしても見つからない場合、最高次の係数と定数項に注目して候補を考えてみる。
  • いずれにせよ当たりはずれがあるので、一発で見つからなくても気にしないこと。
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さいごにもう一度まとめ

  • 因数の見つけ方にはコツがある。
  • 因数を見つけるとき、整式の最高次の係数の約数と定数項の約数に注目しよう。
  • 因数の候補は、あくまでも候補。すべてが因数になるとは限らない。
  • 候補は、整数のものを優先しよう。
  • 因数が1つ分かれば、あとは組立除法で残りの因数を調べよう。