数学２
今回は、２次方程式の解の種類の判別について学習しましょう。
２次方程式の解の種類を判別するとき、判別式に未知の数（文字）が存在すると、解の種類が一意に定まりません。そのようなときには、場合分けすることで、解の種類を判別しなければなりません。
場合分けに苦手意識を持っていると難しく感じるかもしれませんが、問題の趣旨を理解すれば場合分けする意味も分かってくるはずです。
２次方程式の解の種類の判別
２次方程式の解の種類は、判別式の値によって判別することができます。判別式は、解の公式で得られる解において根号の中の式です。
どうして根号の中の式に注目するかと言うと、負の数の平方根は存在しないからです。このことから、判別式の値を利用して、解の種類を判別することが可能になります。
解の公式において、根号の中にある式に注目します。
解の公式と判別式
\begin{align*}
&\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ]
&\text{の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{とおくと} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
\end{align*}
一般に、根号の中にある式をＤで表し、判別式と呼びます。「２次方程式の解の種類を判別する式」だから判別式と言います。
２次方程式の解を、判別式の値に応じて分類します。これまでと異なるのは、判別式の値が負のときです。まとめると以下のようになります。
２次方程式の解と判別式
\begin{align*}
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[ 10pt ]
&(1) \quad D \gt 0 \ \Leftrightarrow \ \text{異なる $2$ つの実数解をもつ} \\[ 7pt ]
&(2) \quad D = 0 \ \Leftrightarrow \ \text{重解をもつ} \\[ 7pt ]
&(3) \quad D \lt 0 \ \Leftrightarrow \ \text{異なる $2$ つの虚数解をもつ} \\[ 10pt ]
&\text{なお、$(1)$ と $(2)$ をまとめて} \\[ 5pt ]
&\quad D \geqq 0 \ \Leftrightarrow \ \text{実数解をもつ} \\[ 10pt ]
&\text{また、$(3)$ について、$2$ つの虚数解は} \\[ 5pt ]
&\text{互いに共役な複素数}
\end{align*}
矢印が右向きと左向きの両方なので、仮定と結論が入れ替わっても成り立ちます（命題の逆も真）。
また、１次の項の係数が偶数のとき、判別式は以下のように表せます。
２次方程式の判別式（応用）
\begin{align*}
&\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ]
&\text{の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{\scriptsize{2}}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad D = b^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{$b=2b’$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad D = \left(2b’ \right)^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\quad \ = 4b’^{\scriptsize{2}}-4ac \\[ 7pt ]
&\text{両辺を $4$ で割ると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{D}{4} = b’^{\scriptsize{2}}-ac
\end{align*}
１次の項の係数が偶数のとき、判別式を４で割っても、判別式の値の正負には影響しません。計算がかなり楽になるので、１次の項の係数を見て判断しましょう。
解の種類を判別してみよう
次の例題を解いてみましょう。
例題
$m$ は定数とする。次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。
\begin{align*}
&(1) \quad 2x^{\scriptsize{2}}+8x+m = 0 \\[ 7pt ]
&(2) \quad mx^{\scriptsize{2}}-2(m-2)x+1 = 0
\end{align*}
２次方程式の係数や定数項に文字が含まれています。公式から分かるように、解や判別式は、方程式の係数や定数項を用いて表されます。
係数や定数項に文字が含まれていると、解や判別式にも文字が含まれることが予想できます。
例題(1)の解答・解説
例題(1)
$m$ は定数とする。次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。
\begin{equation*}
\quad 2x^{\scriptsize{2}}+8x+m = 0
\end{equation*}
２次方程式の解の種類を判別するには、判別式を用います。
１次の項の係数が偶数なので、応用版の判別式を利用します。慣れないうちは代入ミスが多いので気を付けましょう。
例題(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad 2x^{\scriptsize{2}}+8x+m = 0 \\[ 7pt ]
&\quad 2x^{\scriptsize{2}}+2 \cdot 4x+m = 0 \\[ 7pt ]
&\text{与式の判別式を $D$ とすると}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad \frac{D}{4} &=4^{\scriptsize{2}}-2 \cdot m \\[ 7pt ]
&=16-2m \\[ 7pt ]
&= -2 \left(m-8 \right)
\end{align*}
判別式はｍについての１次式で表されます。このことから、解の種類はｍの値の範囲によって決まることが分かります。ですから、ｍの値の範囲について場合分けする必要があります。
まず、２次方程式が異なる２つの実数解をもつときを考えます。ｍの値の範囲を求めるには、ｍについての１次不等式を解きます。
例題(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = -2 \left(m-8 \right) \\[ 7pt ]
&D \gt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \left(m-8 \right) \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad m \lt 8 \\[ 5pt ]
&\text{のときで、このとき与式は} \\[ 5pt ]
&\text{異なる $2$ つの実数解をもつ。}
\end{align*}
１次不等式を解くとき、不等号の向きに気を付けましょう。
次に、２次方程式が重解をもつときを考えます。ｍの値の範囲を求めるには、ｍについての１次方程式を解きます。
例題(1)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = -2 \left(m-8 \right) \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&D = 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \left(m-8 \right) = 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad m = 8 \\[ 7pt ]
&\text{のときで、このとき与式は} \\[ 5pt ]
&\text{重解をもつ。}
\end{align*}
最後に、２次方程式が異なる２つの虚数解をもつときを考えます。ｍの値の範囲を求めるには、ｍについての１次不等式を解きます。
例題(1)の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = -2 \left(m-8 \right) \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&D \lt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad -2 \left(m-8 \right) \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad m \gt 8 \\[ 7pt ]
&\text{のときで、このとき与式は} \\[ 5pt ]
&\text{異なる $2$ つの虚数解をもつ。}
\end{align*}
したがって
$m \lt 8$ のとき、異なる $2$ つの実数解をもつ。
$m = 8$ のとき、重解をもつ。
$m \gt 8$ のとき、異なる $2$ つの虚数解をもつ。
このように判別式がｍのような文字を含む場合、式の値が文字の値によって決まります。そのため、文字の値を場合分けして、解の種類を判別します。
例題(2)の解答・解説
例題(2)
$m$ は定数とする。次の $2$ 次方程式の解の種類を判別せよ。
\begin{equation*}
\quad mx^{\scriptsize{2}}-2(m-2)x+1 = 0
\end{equation*}
判別式を利用するのは(1)と同じです。ただし、２次の項の係数に文字ｍが含まれていることに注意が必要です。
問題文によれば、与式は２次方程式と指定されています。文字ｍの値は何でも良いわけではありません。
例題(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad mx^{\scriptsize{2}}-2(m-2)x+1 = 0 \\[ 7pt ]
&\quad mx^{\scriptsize{2}}+2 \cdot \left\{-(m-2) \right\}x+1 = 0 \\[ 7pt ]
&\text{与式は $2$ 次方程式であるので} \\[ 5pt ]
&\quad m \neq 0 \quad \cdots \text{①}
\end{align*}
２次の項の係数に文字が含まれているときは要注意です。
(1)と同じように、与式の係数や定数項を判別式に代入します。１次の項の係数が偶数なので、応用版の判別式を利用します。代入ミスに気を付けましょう。
例題(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad mx^{\scriptsize{2}}-2(m-2)x+1 = 0 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad m \neq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\text{与式の判別式を $D$ とすると}
\end{align*}
\begin{align*}
\quad \frac{D}{4} &=\left\{-\left(m-2 \right) \right\}^{\scriptsize{2}}-m \cdot 1 \\[ 7pt ]
&=m^{\scriptsize{2}}-4m+4-m \\[ 7pt ]
&=m^{\scriptsize{2}}-5m+4 \\[ 7pt ]
&= \left(m-1 \right) \left(m-4 \right)
\end{align*}
判別式は、ｍについての２次式で表されます。ｍの値で場合分けするとき、２次不等式や２次方程式を解く必要があるので、因数分解しておきましょう。
まず、２次方程式が異なる２つの実数解をもつときを考えます。ｍの値の範囲を求めるには、２次不等式を解く必要があります。
例題(2)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad m \neq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = \left(m-1 \right) \left(m-4 \right) \\[ 7pt ]
&D \gt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad \left(m-1 \right) \left(m-4 \right) \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad m \lt 1 \ , \ 4 \lt m \\[ 7pt ]
&\text{のときで、これと①より} \\[ 5pt ]
&\quad m \lt 0 \ , \ 0 \lt m \lt 1 \ , \ 4 \lt m \\[ 7pt ]
&\text{のとき、与式は異なる} \\[ 5pt ]
&\text{$2$ つの実数解をもつ。}
\end{align*}
２次方程式であるためには、条件①を必ず満たさなければなりません。条件①を加味した範囲にしましょう。
また、２次不等式を解くとき、２次関数のグラフを利用すると解を求めるのが楽になります。
次に、２次方程式が重解をもつときを考えます。ｍの値の範囲を求めるには、ｍについての２次方程式を解きます。
例題(2)の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad m \neq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = \left(m-1 \right) \left(m-4 \right) \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&D = 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad \left(m-1 \right) \left(m-4 \right) = 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad m = 1 \ , \ 4 \\[ 7pt ]
&\text{のときで、これは①を満たす} \\[ 5pt ]
&\text{よって、$m = 1 \ , \ 4$ のとき、} \\[ 5pt ]
&\text{与式は重解をもつ。}
\end{align*}
最後に、２次方程式が異なる２つの虚数解をもつときを考えます。ｍの値の範囲を求めるには、ｍについての２次不等式を解きます。
例題(2)の解答例 5⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad m \neq 0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = \left(m-1 \right) \left(m-4 \right) \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&D \lt 0 \ \text{となるのは} \\[ 5pt ]
&\quad \left(m-1 \right) \left(m-4 \right) \lt 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad 1 \lt m \lt 4 \\[ 7pt ]
&\text{のときで、これは①を満たす} \\[ 5pt ]
&\text{よって、$1 \lt m \lt 4$ のとき与式は} \\[ 5pt ]
&\text{異なる $2$ つの虚数解をもつ。}
\end{align*}
したがって
$m \lt 0 \ , \ 0 \lt m \lt 1 \ , \ 4 \lt m$ のとき、異なる $2$ つの実数解をもつ。
$m = 1 \ , \ 4$ のとき、重解をもつ。
$1 \lt m \lt 4$ のとき、異なる $2$ つの虚数解をもつ。
ｍの値の範囲を数直線に表わしてみましょう。与式が２次方程式にはならない値（ｍ＝０）を除くすべての実数について、解の種類が判別されていることが分かります。
(2)では、「与式が２次方程式である」ことから、「２次の項の係数は０ではない」という条件が得られることに気付かなければなりません。意外と取りこぼす条件なので注意しましょう。
次は、２次方程式の解の種類の判別を扱った問題を実際に解いてみましょう。
