数と式｜整式の言い方や表し方について
今回は、整式についてもう少し掘り下げます。
整式は特定の情報に着目すると、その言い方や表し方が変わってしまいます。ですから、着目の仕方によって他人よりも多くの情報を得ることができます。
整式の言い方は着目するもので異なる
整式は何に着目するかで、その言い方が異なります。
たとえば、積や和に着目した場合、整式は単項式や多項式などと言われます。また、整式の次数に着目した場合、単項式や多項式の区別なく「～次式」と言います。
同じ整式であっても、着目するものが変われば言い方も変わるので注意しましょう。
整式の次数や文字に着目
以下の２つの単項式を考えます。
単項式
単項式は、数や文字の積だけで表され、１つのかたまりとして扱う式です。
次数に注目したときの分かること・分からないこと
掛け合わされた文字の個数である次数を数えると、次数は左の式から順に１，３です。
次数に着目した場合、左式を１次式、右式を３次式と言います。整式を実際に見なければ、文字が何種類あるのかや、単項式か多項式かを「～次式」という言い方から知ることはできません。
次数に着目するとき、注意したいのは複数の文字を含む単項式や項があるときです。
複数の文字を含む単項式や項
例に挙げた３次式には、３個の文字（ｘが１個とｙが２個）があり、これらが掛け合わされて単項式ができています。
ただ単に次数だけを知りたいのであれば、３次式と言うだけで足ります。しかし、３個の文字が同じ種類なのか異なる種類なのかまでは分かりません。
つまり「～次式」という名称では、文字の種類までは判別できません。
- 文字の個数が分かる。多項式なら最高次数の項の文字の個数が分かる。
- 文字が何種類あるかは分からない。多項式なら項の個数は分からない。
特定の文字に着目したときの分かること・分からないこと
そこで、特定の文字に着目した言い方があります。この言い方であれば、整式のより詳しい情報を知ることができます。
特定の文字に着目する
上式について、文字ｘに着目した場合、文字ｘは１個なので、この整式を「ｘについての１次式」と言います。それに対して、文字ｙに着目した場合、文字ｙは２個なので、この整式を「ｙについての２次式」と言います。
同じ３次式を見ていたはずですが、特定の文字に注目すると、整式の言い表し方が変わってしまいます。単項式か多項式かを知ることはできませんが、注目した文字の個数を知ることができます。
特定の文字に注目したことが分かるように、「ｘについての」や「ｙについての」という文言を忘れない。
- 特定の文字の個数が分かる。多項式なら特定の文字の最高次数が分かる。
- 文字が何種類あるかは分からない。多項式なら項の個数は分からない。
着目しない文字の扱い
特定の文字に着目する場合、着目しない文字の扱いに注意する必要があります。
この場合、着目しない文字を数と同じように扱います。たとえば、文字ｘについて着目していれば、ｙは数と同じ扱いをします。
このときに何が変わるかというと、係数が変わってきます。
ｘについて着目すると、ｙは数扱い
文字ｘに着目した場合、文字ｙを数と同じように扱います。このとき、文字ｘを項の一番後ろに配置すると、係数である 5y2 が分かりやすくなります。
また、文字ｙに着目した場合、文字ｘを数と同じように扱います。このときの係数は 5x です。
特定の文字に着目するメリットは、式の扱いやすさです。このことは、のちに学習する整式の展開や因数分解のときに分かります。
特定の文字に着目する場合、着目しない文字は係数の一部になります。慣れないうちは間違えやすいので、注目する文字に下線を引いて区別しましょう。ミスを減らせます。
多項式のときは慎重に
整式が多項式のとき、単項式よりも慎重に扱う必要があります。たとえば以下の整式を考えます。
多項式の一例
この多項式には、文字を含む項が３つ、定数項が１つあります。最高次数は１，２番目の項の次数で、それぞれ２です。ですから、この整式は２次式です。
しかし、２次式と言われただけでは文字が２個あるのは分かっても、文字の種類や項の数までは分かりません。
多項式で特定の文字に着目する
この多項式でも特定の文字に着目して考えてみます。単項式のときよりも利点が分かるかもしれません。
文字ｘに着目した場合
文字ｘについて着目して、整式を整理します。
文字ｘに着目する
最高次数は、文字ｘが２個ある１番目の項の次数となるので、「ｘについての２次式」と言います。他にｘ以外の文字があるのか分かりませんが、多項式の最高次数の項にｘが２個あることは分かります。
２番目の項には文字ｙが含まれますが、この項でもｘだけが文字扱いで、ｙは数扱いです。この項の係数は $2y$ となります。ですから、２番目の項の次数は、ｘについて着目すると２ではなく、１となります。
３番目の項も次数が１なので、２番目と３番目の項はｘについての同類項となります。同類項であれば、１つの項にまとめることができます。
文字ｘに着目して同類項をまとめる
分配法則を利用すると、同類項を１つにまとめることができます。多項式の項が４つから３つに減りました。おかげで元の式よりもすっきり見えます。
特定の文字に着目すると項の数を減らせる
多項式を扱うとき、項の数が少ないのは良いことです。また、注目した文字について、降べきの順に並べると、多項式を見やすくなります。式の判読性が上がれば、扱いやすさも格段に変わります。
- 特定の文字について、整理する（降べきの順に並べる）ことができる。
- 同類項があれば、項の数を減らせる。
整式の表し方
今後、複数の種類の文字を含む整式を扱うことが多くなります。その際に、特定の文字に着目し、同類項をまとめたり、降べきの順に並べたりして整式を整理します。少しでも扱いやすくするためです。
降べきの順に並べるのは、特定の文字に着目しなくても行うのが一般的です。暗黙のルールなので習慣にしておきましょう。
ここで学習した内容は、高校数学では特に指示がなくても行います。教科書や参考書などでもこのような記載が一般的です。特に、これから学習する展開や因数分解の単元では必修なので、ここでマスターしておくとスムーズに取り組めるでしょう。整式、特に多項式を見たら、とにかく特定の文字に着目して式を整理しましょう。
さいごにもう一度まとめ
- 同じ整式でも言い表し方が変わる場合があるので注意しよう。
- 着目する文字によって、次数や係数が異なる。
- 着目しない文字は数と同じ扱いになり、係数の一部となる。
- 特定の文字に着目すると、同類項が存在する場合がある。
- 特定の文字に着目すると、項の数を減らせる場合がある。
- 多項式では、降べきの順に並べる習慣をつけよう。