数と式|単項式と多項式について

数学1

単項式と多項式をはじめから学びなおす

単項式と多項式について学習しましょう。前回の記事(数と式|整式について)で、単項式や多項式のことを学習しました。ここではより詳しく学習します。

高校では中学のときよりも複雑な単項式や多項式を扱います。単項式と多項式の識別はもとより、成り立ちの異なる両者の扱いにも慣れておかなければなりません。

整式の扱いでミスが多いのは、もしかすると単項式と多項式を識別できていないことが原因かもしれません。

整式とその分類

整式は、単項式と多項式の総称です。単項式と多項式は、項の数が異なります。ですから、整式を単項式と多項式で分類しているときは、項の数に注目しています。

単項式と多項式は成り立ちが異なるので、その扱い方も異なります。両者をしっかり識別して、些細な計算ミスをなくしましょう。

単項式は「単」に注目

単項式とは、数や文字の積の形で表される式です。数だけ、1つの文字だけでも単項式として扱いますが、ここでは複数の数や文字でできた単項式を考えます。

単項式の例

\begin{align*} \quad -3 , \ a , \ 3x , \ 5ab^{2} \end{align*}

単項式は、その名前の通り1つ(単)のかたまり(項)として扱われます。つまり、式の中に積の形で表される部分があれば、1つのかたまりとして扱って良いということです。

たとえば、複数の文字の積を1つの文字に置き換えるやり方はこのことを利用しています。

また、単項式は積の形で表されているので、もともとは以下のような式だったと考えられます。

乗算の計算記号を戻す

\begin{align*} &\quad \frac{1}{5} a=\frac{1}{5} \times a \\[ 7pt ] &\quad 5xy^{2} =5 \times x \times y \times y \end{align*}

文字を含む式になると、途中で計算を進められなくなります。ですから、複雑な式であっても、できるだけ見やすく、そして扱いやすくする必要があります。そのために文字式の表記ルールがあります。

表記ルールの1つに「文字を含む乗算では計算記号(×)を省略する」があります。このルールが単項式に適応された結果、乗算の計算記号が省略されて、単項式は数字や文字がくっついた形をしています。

数や文字の積の形で表される」という単項式の定義を知らなければ、乗算の計算記号が省略されていることに気付かないかもしれません。

単項式は、乗算を簡略化した式。乗算の計算記号が省略されていることに注意。

乗算の計算記号を戻すとき

たとえば、文字に値が与えられるなどして、単項式の値を求める場合があります。いわゆる「式の値」を求める問題です。

この場合、乗算の計算記号(×)を省略したままでは分かりにくいので、計算記号を補ってから計算します。

式の値では乗算の計算記号を戻す

$x=-2 , \ y=3$ のとき、$7xy$ の値は

\begin{align*} \quad 7xy=7 \times \left(-2 \right) \times 3 =-42 \end{align*}

もし、$\times$ を補わなければ

\begin{align*} \quad 7xy=7-23 \end{align*}

となり、乗算以外の計算が出てくる。

これは単項式の定義を満たさない誤った計算。

単項式と関わりのある用語

単項式と関わりのある用語は、以下の通りです。

単項式と関わりのある用語

  • 単項式の次数
  • 単項式の係数

単項式の次数

単項式の次数とは、文字を掛け合わせた数(式に含まれる文字の個数)のことです。

単項式の次数を数えてみましょう。

単項式の次数

\begin{align*} \quad \frac{1}{5} a=\frac{1}{5} \times a \end{align*}

となるので、文字の数は $1$ 個。

よって、与式の次数は $1$

\begin{align*} \quad 5xy^{2}=5 \times x \times y \times y \end{align*}

となるので、文字の数は $3$ 個。

よって、与式の次数は $3$

累乗を含む単項式では、例のように目に見えている文字が2種類であっても、掛け合わされている個数は異なる場合があります。

指数文字を掛け合わせた個数を表すので、次数を数えるときに上手に利用しましょう。

累乗の指数は、掛け合わされる文字の個数を表す

単項式の係数

係数とは、文字以外の数の部分のことです。大雑把に言えば、文字の前にある、正負の数のことです。

単項式の係数

\begin{align*} \text{単項式 $\frac{1}{5} a$ の係数は $\frac{1}{5}$} \end{align*} \begin{align*} \text{単項式 $-7xy^{2}$ の係数は $-7$} \end{align*}

次数や係数を直接問う問題は、この単元以降ではほとんど見かけません。しかし、整式を扱うときには、必ずと言ってよいほどこれらと関わります。

次は、多項式について確認しましょう。