数と式｜整式に関する問題を解いてみよう
今回は、単項式や多項式などの整式について学習した内容の確認です。
ほとんどが用語や定義についてでしたが、数学を学習する上で必要不可欠な知識です。既習内容を何度も確認し、きちんと定着させましょう。
知識が定着しているかを確認するには、演習によるアウトプットが効果的です。演習によって、知識の理解度も測れます。
「用語や公式を頑張って覚えたのに全く解けない」なんてことがないように、演習中心の学習スタイルを目指しましょう。
例題１：単項式の次数と係数
例題１
次の単項式の次数と係数を求めよ。また、$x$ についての単項式の次数と係数を求めよ。
\begin{align*} \quad 5x^{2} yz^{3} \end{align*}例題１の解答・解説
注目する文字がない場合
注目する文字についての断りがない場合、単項式の次数は、掛け合わされている文字の個数です。
単項式を乗算の計算記号（×）を補った式に戻してみましょう。式の値を求める際には必要な作業なので、訓練しておきましょう。
例題１の解答例 1⃣
与式より
\begin{align*} \quad &5x^{2} yz^{3} \\[ 7pt ] = \ &5 \times x \times x \times y \times z \times z \times z \end{align*}よって、与式の次数は $6$
文字ｘが２個、文字ｙが１個、文字ｚが３個なので、この単項式の次数は６です。
訓練のために乗算の計算記号を補いましたが、文字の個数が多いと逆に分かり辛くなります。ですから、以下のように累乗の指数を利用しましょう。
例題１の解答例 1⃣の別解
与式の指数に着目すると
\begin{align*} \quad 5x^{2} yz^{3} = 5x^{2} y^{1} z^{3} \end{align*}ここで、与式の次数は指数の和に等しいので
\begin{align*} \quad 2+1+3=6 \end{align*}よって、与式の次数は $6$
文字の右肩に数字がないときの指数は１です。０と間違わないように気を付けましょう。
どんな文字の累乗でも指数が０のときの値は１。
ｘ0＝１，ｙ0＝１
また、単項式の係数は、文字以外の数の部分、言い換えると文字の前にある正負の数です。特定に文字に着目しないので、与式の係数は５になります。
例題１の解答
単項式の次数 … $6$
単項式の係数 … $5$
特定の文字に着目する場合
次は文字ｘに着目して、単項式の次数と係数を考えます。このとき、文字ｙ，ｚは数として扱います。
文字と数とを区別するために、与式の文字を並べ替えます。文字ｘに着目したことが分かるように、文字ｘを後ろに移動させます。
例題１の解答例 2⃣
与式を $x$ について整理すると
\begin{align*} \quad &5 \underline{x^{2}} yz^{3} \\[ 7pt ] = \ &\left( 5yz^{3} \right) \underline{x^{2}} \end{align*}このとき、単項式の次数は $2$
また、単項式の係数は $5yz^{3}$
数や文字を入れ替えできるのは、単項式が数や文字の積で表されるからです。
数や文字が積で表されるとき、交換法則が成り立ちます。このことを利用して、数や文字を入れ替えています。
ここでは、係数にあたる部分を括弧でくくりました。括弧でくくったものは１つのカタマリとして扱えるので便利です。
ｘに着目したときの単項式の次数は、文字ｘの個数なので２となります。また、係数は文字ｘを除く部分なので、５ｙｚ3となります。
例題１の解答
$x$ についての単項式の次数 … $2$
$x$ についての単項式の係数 … $5yz^{3}$
例題２：多項式の次数と定数項
例題２
次の多項式の次数と定数項を求めよ。また、$a$ についての何次式か。
\begin{align*} \quad a^{2} b-2ab^{3} +3 \end{align*}例題２の解答・解説
多項式を分解する
多項式は単項式の和で表され、それぞれの単項式を項と言いました。
項が複数あるので、多項式の次数を求めるには各項の次数をそれぞれ調べる必要があります。
多項式を分解するには、符号の前にスラッシュを入れると分かりやすいです。
符号の前にスラッシュを入れて分解
\begin{align*} \quad a^{2} b-2ab^{3} +3 \end{align*}与式を項に分解すると
\begin{align*} \quad a^{2} b \ / \ -2ab^{3} \ / \ +3 \end{align*}より、与式は $3$ つの項からなる多項式。
多項式の次数は、文字を含む項での最高次数です。
各項の次数を確認すると、以下のようになります。
各項の次数
$1$ 番目の項 $a^{2} b$
\begin{align*} \quad a^{2} b = a^{2} b^{1} \end{align*}より、指数の和は $2+1=3$ となるので、次数は $3$
$2$ 番目の項 $-2ab^{3}$
\begin{align*} \quad -2ab^{3} = -2a^{1} b^{3} \end{align*}より、$1+3=4$ となるので、次数は $4$
$3$ 番目の項 $+3$
$+3$ は定数項なので、次数とは無関係。
よって、与式の次数は $4$
各項の次数から、与式は４次式です。また、定数項は、文字を含まない、数だけの項です。ですから３番目の項である３が定数項です。
例題２の解答
多項式の次数 … $4$
定数項 … $3$ または $+3$
なお、定数項は＋３でも構いませんが、一般に＋の符号を省略します。
特定の文字とそれ以外を区別する
次は文字ａに着目したとき、多項式が何次式かを求めます。このとき、文字ａ以外の文字ｂは数として扱います。
また、与式を文字ａについて降べきの順に並べます。このとき、各項ごとに交換法則を利用して入れ替え、文字と係数をはっきりさせます。各項は単項式なので、単項式と同じ扱いが可能です。
与式を文字ａについて整理すると以下のようになります。
文字ａについて整理
与式を $a$ について降べきの順に整理すると
\begin{align*} \quad &\underline{a^{2}} b-2 \underline{a} b^{3} +3 \\[ 7pt ] = \ &b \underline{a^{2}}-2b^{3} \underline{a}+3 \end{align*}このときの次数は $2$ となるので、与式は $2$ 次式。
文字ａに着目すると、１番目の項が最高次数の項になります。１番目の項の次数は２であるので、与式はａについての２次式です。
例題２の解答
$a$ についての $2$ 次式
例題３：整式の同類項
例題３
次の整式の同類項をまとめなさい。
\begin{align*} \quad 3ab^{2} +4a^{2} b-a^{2} b+ab^{2} \end{align*}例題３の解答・解説
同類項をまとめるには、多項式の中に項がいくつあるかを把握する必要があります。そのために符号の前にスラッシュを入れて、多項式を項に分解します。
符号の前にスラッシュを入れて分解
\begin{align*} \quad 3ab^{2} +4a^{2} b-a^{2} b+ab^{2} \end{align*}与式を項に分解すると
\begin{align*} \quad 3ab^{2} \ / \ +4a^{2} b \ / \ -a^{2} b \ / \ +ab^{2} \end{align*}より、与式は $4$ つの項からなる多項式。
与式を項に分解すると、与式は４つの項からなる多項式だと分かります。
同類項は、文字の種類や個数が等しい項のことで、文字部分の見た目が同じになっています。同類項を探すとき、下線を引くと区別しやくなります。
下線を引いて同類項を探す
\begin{align*} \quad 3\underline{ab^{2}} \ / \ +4\underline{\underline{a^{2} b}} \ / \ -\underline{\underline{a^{2} b}} \ / \ +\underline{ab^{2}} \end{align*}より、$3ab^{2}$ と $+ab^{2}$ が同類項で、$+4a^{2} b$ と $-a^{2} b$ も同類項。
文字部分の見た目が同じなのは、１，４番目の項、そして２，３番目の項です。同類項をまとめると、以下のようになります。
同類項をまとめる
\begin{align*} &3\underline{ab^{2}}+4\underline{\underline{a^{2} b}}-\underline{\underline{a^{2} b}}+\underline{ab^{2}} \\[ 7pt ] = \ &3\underline{ab^{2}}+\underline{ab^{2}}+4\underline{\underline{a^{2} b}}-\underline{\underline{a^{2} b}} \\[ 7pt ] = \ &\left(3+1 \right) ab^2 +\left(4-1 \right)a^{2} b \\[ 7pt ] = \ &4ab^{2} +3a^{2} b \end{align*}なお、１行目で２，３番目の項をまとめるとき、(４－１)となっています。これは差のように見えますが、２つの数４，－１の和を表すので注意しましょう。
例題３の解答
\begin{align*} \quad &3ab^{2} +4a^{2} b-a^{2} b+ab^{2} \\[ 7pt ] = \ &4ab^{2} +3a^{2} b \end{align*}多項式は単項式の和で表された式。また、同類項をまとめるときの計算は正負の数の加算。
例題４：降べきの順に整理する
例題４
次の整式を $x$ について降べきの順に整理しなさい。
\begin{align*} \quad x^{2}+xy-2y^{2}+3x+2 \end{align*}例題４の解答・解説
例題３と同様に、符号の前にスラッシュを入れて、多項式を項に分解します。
符号の前にスラッシュを入れて分解
\begin{align*} \quad x^{2}+xy-2y^{2}+3x+2 \end{align*}与式を項に分解すると
\begin{align*} \quad x^{2} \ / \ +xy \ / \ -2y^{2} \ / \ +3x \ / \ +2 \end{align*}より、与式は $5$ つの項からなる多項式。
これより、与式が５つの項からなる多項式だと分かります。
着目する文字に下線を引こう
文字ｘについて整理する必要があるので、多項式を分解した後、各項の文字ｘに注目します。このとき、文字ｘの指数に応じて下線を引くと良いでしょう。
たとえば、文字ｘの指数が２の場合、２次の項となるので二重線を引きます。また、文字ｘの指数が１の場合、１次の項となるので一本線を引きます。
着目する文字の指数に応じて下線を引こう
- 二重下線を引いた項（２次の項）
- 下線を引いた項（１次の項）
- 下線なしの項（定数項）
このように注目する文字に下線を引くと、次数や係数の確認も簡単になります。同類項を整理しやすくなるだけでなく、降べきの順への並べ替えにも役立ちます。
着目したｘに下線を引いたら、ｘを含む項の次数に応じて降べきの順に並べます。同類項の整理は後回しです。ｘについて降べきの順に整理すれば、同類項は自ずと分かるからです。
ｘについて降べきの順に並べる
\begin{align*} \quad \underline{\underline{x^{2}}} \ / \ +\underline{x}y \ / \ -2y^{2} \ / \ +3\underline{x} \ / \ +2 \end{align*}より、与式を $x$ について降べきの順に並べると
\begin{align*} \quad &\underline{\underline{x^{2}}} +\underline{x}y-2y^{2} +3\underline{x}+2 \\[ 7pt ] = \ &\underline{\underline{x^{2}}} +y\underline{x}-2y^{2} +3\underline{x}+2 \\[ 7pt ] = \ &\underline{\underline{x^{2}}} +y\underline{x}+3\underline{x}-2y^{2} +2 \end{align*}ｘについて降べきの順に並べたら、同類項をまとめます。このとき、係数をしっかり把握しておきましょう。
ｘについて１次の項が２つあるので、これらを１つにまとめます。分配法則の逆を利用して、共通因数でくくります。
同類項をまとめる
\begin{align*} \quad &\underline{\underline{x^{2}}} +\underline{x}y-2y^{2} +3\underline{x}+2 \\[ 7pt ] = \ &\vdots \\[ 7pt ] = \ &\underline{\underline{x^{2}}} +y\underline{x}+3\underline{x}-2y^{2} +2 \\[ 7pt ] = \ &\underline{\underline{x^{2}}} +\left(y+3 \right)\underline{x}-2y^{2} +2 \end{align*}$x$ を含まない項は定数項として扱うので
\begin{align*} \quad x^{2} +\left(y+3 \right)x+\left(-2y^{2} +2 \right) \end{align*}ｘについて１次の項の係数(ｙ＋３)は、ｘの前に記述しましょう。文字ｙは数扱いするので気を付けましょう。
また、文字ｘが含まれない、言い換えると下線を引いていない項が定数項です。与式には定数項となる項が２つあります。
このように複数の項が定数項になるとき、カッコでくくって１つにまとめます。これで定数項として扱う範囲がはっきりするでしょう。
着目した文字を含まない項は、定数項として扱う。
与式をｘについて降べきの順に整理すると以下の通りです。
例題４の解答
\begin{align*} \quad &x^{2}+xy-2y^{2}+3x+2 \\[ 7pt ] = \ &x^{2}+ \left(y+3 \right)x+ \left(-2y^{2} +2 \right) \end{align*}与式を降べきの順に整理する
- 項に分解する
- 着目した文字の次数に応じて、降べきの順に並べ替える
- 係数を間違えないように、同類項をまとめる
- 定数項が複数あれば、カッコでくくって１つにまとめる
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さいごに、もう一度まとめ
- 多項式を見たら、項を把握する。
- 特定の文字に着目するとき、その文字に下線を引く。
- 次数（または指数）に応じて下線を引き分けると、同類項を見つけやすい。
- 着目する文字だけに下線を引くと、その項の係数がはっきりする。
- 数と同じ扱いをする文字は係数の一部なので、文字部分よりも前に移動する。