整数の性質|除法の性質と整数の分類について

数学A

今回は除法の性質と整数の分類についてです。頻出の単元なので、十分に演習をこなしておきましょう。

除法の性質と整数の分類

この単元では、以下のような事柄を学習します。

  • 整数の割り算
  • 余りによる整数の分類

まずは文言通りに定義を正しく覚えることが大切です。

整数の割り算

教科書や参考書などで「除法」という用語が用いられることがありますが、それは割り算のことです。中学以降では除法と言うことが増えてくるので注意しましょう。

整数の表し方

整数の表し方として、素因数分解を学習しました。もちろん、因数分解でも表すことができます。ここでは、別な表し方を学習します。

整数aと自然数bについて、一般に以下のようなことが成り立ちます。

整数の表し方

\begin{align*} &\text{整数 $a$ と自然数 $b$ について、} \\[ 5pt ] &\quad a = b \times q + r \quad ( 0 \leqq r \lt b ) \\[ 5pt ] &\text{を満たす $q$ と $r$ がただ $1$ 通りに定まる。} \end{align*}

このような関係が成り立つとき、qのことをaをbで割った、rのことをaをbで割った余りと言います。この表し方は互除法でも出てくるので、しっかり覚えておきましょう。

たとえば、a=-17,b=4のときを考えてみましょう。

整数を商と余りを使って表した例

\begin{align*} &\text{整数 $-17$ と自然数 $4$ について、} \\[ 5pt ] &\quad -17 = 4 \times (-5) + 3 \\[ 5pt ] &\text{より、$-17 \div 4$ の商と余りは} \\[ 5pt ] &\quad \text{商: $-5$} \\[ 5pt ] &\quad \text{余り: $3 \quad ( \lt 4 )$} \end{align*}

割られる数は整数であるので、負の数であっても問題ありません。ただし、余りの条件に気をつけましょう。余りは割る数よりも小さいことが条件です。以上のことから、整数は、割り算したときの商と余りを使って表せることがわかります。

割る数のことを除数、割られる数のことを被除数、余りのことを剰余と言うこともあります。

余りによる整数の分類

整数を余りによって分類することができます。整数の分類は、数列の問題でよく出てくるので、とても大切な事項です。

一般に、以下のように分類できます。

余りによる整数の分類

\begin{align*} &\text{すべての整数は、自然数 $m$ で割ったときの余りを用いて、} \\[ 5pt ] &\quad mk \ , \ mk+1 \ , \ mk+2 \ , \ \cdots \ , \ mk+(m-1) \\[ 5pt ] &\text{に分類できる。ただし、$k$ は整数。} \end{align*}

たとえば、整数を3で割ったときを考えます。このときの余りは必ず0,1,2のいずれかになります。ですから、整数を以下のように分類できます。

整数を3で割ったときの余りで分類

\begin{align*} &\text{すべての整数を、自然数 $3$ で割ったときの余りを用ると、} \\[ 5pt ] &\quad 3k \ , \ 3k+1 \ , \ 3k+2 \\[ 5pt ] &\text{に分類できる。ただし、$k$ は整数。} \end{align*}

整数を3で割った余りに注目すれば、整数は3通りに分類できます。それに対して、整数を4で割った余りに注目すれば、3通りではなく、4通りに分類されます。どんな自然数で割るかによって整数の分類が変わるので注意しましょう。

整数の分類は、割る自然数によって決まる。

なお、整数の余りについては、合同式の知識を持っているとさらに解きやすくなるでしょう。

次は除法の性質や整数の分類を扱った問題を実際に解いてみましょう。

除法の性質や整数の分類を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

(1) $-10$ を $4$ で割った商と余りを求めよ。
(2) 整数 $a \ , \ b$ を $5$ で割ると余りがそれぞれ $3 \ , \ 1$ であるとき、$a-b$ を $5$ で割ったときの余りを求めよ。
(3) 整数 $n$ について、$n^{\scriptsize{2}}+1$ は $3$ では割り切れないことを証明せよ。

問(1)の解答・解説

問(1)

$-10$ を $4$ で割った商と余りを求めよ。

問(1)は整数の割り算を扱った問題です。筆算して実際に割ってみると良いでしょう。

問(1)の解答例

\begin{align*} &\text{$-10 \div 4$ を計算すると、} \\[ 5pt ] &\quad -10 = 4 \times (-3) + 2 \\[ 5pt ] &\text{と表せる。} \\[ 5pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\text{商: $-3$} \\[ 5pt ] &\text{余り: $2 \quad ( \lt 4 )$} \end{align*}

余りは0以上、かつ割る数よりも小さいことが条件です。条件を満たしていることをいつも確認しましょう。

整数を商と余りを使って表すときは、余りの条件に気をつけよう。

問(2)の解答・解説

問(2)

整数 $a \ , \ b$ を $5$ で割ると余りがそれぞれ $3 \ , \ 1$ であるとき、$a-b$ を $5$ で割ったときの余りを求めよ。

問(2)は、整数の割り算を扱った問題ですが、問(1)よりも難易度の高い問題です。問題文に割る数5や余り3,1が与えられていることがヒントです。

これらのヒントから整数a,bを商と余りで表せることに気付きます。また、そこからa-bを式で表すこともできることに気付くでしょう。

問(2)の解答例

\begin{align*} &\text{整数 $a \ , \ b$ は} \\[ 5pt ] &\quad a = 5k + 3 \\[ 5pt ] &\quad b = 5l + 1 \\[ 5pt ] &\text{と表せる。ただし、$k \ , \ l$ は整数。} \\[ 5pt ] &\text{これより、$a-b$ は} \\[ 5pt ] &\quad a-b = (5k+3)-(5l+1) \\[ 5pt ] &\text{これを整理すると、} \\[ 5pt ] &\quad a-b = 5(k-l)+2 \\[ 5pt ] &\text{よって、$a-b$ を $5$ で割ると $2$ 余る。} \end{align*}

整数a,bを5で割り切った商が同じかどうか分かりません。ですから、異なる文字にしておきましょう。

また、5を含む項は、5で割り切れる部分、すなわちを含む項です。5を含まない項は5で割り切れない部分、すなわち余りを含む項です。これらが区別できるように、式を共通因数の5でくくって整理しましょう。問(2)は中学でも出題される問題なので、確実に解けるようにしておきましょう。

2つの整数を自分で商と余りを使って表す。ただし、新たに用いた文字k,lについて、きちんと定義しておくこと。

問(2)を合同式で解くとどうなるでしょうか。

問(2)の別解例

\begin{align*} &\text{整数 $a \ , \ b$ を $5$ で割ると余りは $3 \ , \ 1$ となるので、} \\[ 5pt ] &\quad a \equiv 3 \pmod 5 \\[ 5pt ] &\quad b \equiv 1 \pmod 5 \\[ 5pt ] &\text{と表せる。} \\[ 5pt ] &\text{これと合同式の性質より、$a-b$ は} \\[ 5pt ] &\quad a-b \equiv 3-1 \pmod 5 \\[ 5pt ] &\text{これを整理すると、} \\[ 5pt ] &\quad a-b \equiv 2 \pmod 5 \\[ 5pt ] &\text{よって、$a-b$ を $5$ で割ると $2$ 余る。} \end{align*}

合同式を用いた解き方では、新たな文字の定義がなく、式変形もないので、簡素な答案を作成できます。

合同式の性質②

$a \equiv b \pmod m \ , \ c \equiv d \pmod m$ のとき、次のことが成り立つ。

  1. $a+c \equiv b+d \pmod m$
  2. $a-c \equiv b-d \pmod m$
  3. $ac \equiv bd \pmod m$
  4. 自然数 $n$(0以上の整数も可)に対し $a^n \equiv b^n \pmod m$

関連記事:数学A|整数の問題で合同式を使ってみよう

合同式でよく利用する性質です。そのまま使わなくても、検算に使えるので覚えておくと良いでしょう。

問(3)

整数 $n$ について、$n^{\scriptsize{2}}+1$ は $3$ では割り切れないことを証明せよ。

問(3)は、割り切れないことを証明する問題です。整数nを3で割った余りで分類し、それぞれの場合について、与式が3で割り切れないことを示します。

問(3)の解答例

\begin{align*} &\text{整数 $n$ は $3k \ , \ 3k+1 \ , \ 3k+2$ のいずれかで表せる。} \\[ 5pt ] &\text{(i) $n=3k$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n^{\scriptsize{2}}+1 = \left( 3k \right)^{\scriptsize{2}}+1 \\[ 5pt ] &\text{より、} \\[ 5pt ] &\quad n^{\scriptsize{2}}+1 = 3\left(3k^{\scriptsize{2}} \right) + 1 \\[ 10pt ] &\text{(ii) $n=3k+1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n^{\scriptsize{2}}+1 = \left(3k+1 \right)^{\scriptsize{2}}+1 \\[ 5pt ] &\text{より、} \\[ 5pt ] &\quad n^{\scriptsize{2}}+1 = 3 \left(3k^{\scriptsize{2}}+2k \right) + 2 \\[ 10pt ] &\text{(iii) $n=3k+2$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad n^{\scriptsize{2}}+1 = \left(3k+2 \right)^{\scriptsize{2}}+1 \\[ 5pt ] &\text{より、} \\[ 5pt ] &\quad n^{\scriptsize{2}}+1 = 3 \left(3k^{\scriptsize{2}}+4k+1 \right) + 2 \\[ 10pt ] &\text{(i)~(iii)より、$n^{\scriptsize{2}}+1$ を $3$ で割った余りは $1$ または $2$ となる。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、$n^{\scriptsize{2}}+1$ は $3$ では割り切れない。} \end{align*}

3で割り切れる部分とそうでない部分が分かるように、式を共通因数3でくくって整理しましょう。整理した後の式を見れば、与式を3で割った余りが1または2であることが分かります。

整数を分類して場合分けするのは、証明問題ではよくやる解き方です。答案を一通り書けるようにしておきましょう。

問(3)も合同式で解いてみましょう。

問(3)の別解例

\begin{align*} &\text{整数 $n$ を $3$ で割ったときの余りは、$0 \ , \ 1 \ , \ 2$ のいずれかであるので、} \\[ 5pt ] &\quad n \equiv 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \pmod 3 \\[ 5pt ] &\text{ここで、} \\[ 10pt ] &\begin{array}{c|cccc} n & 0 & 1 & 2 \\ \hline n^2 & 0 & 1^2 \equiv 1 & 2^2 \equiv 1 \\ \hline n^{\scriptsize{2}}+1 & 1 & 2 & 2 &\end{array} \\[ 10pt ] &\text{表より、$n^{\scriptsize{2}}+1 \equiv 1 \ , \ 2 \pmod 3$} \\[ 5pt ] &\text{よって、整数 $n$ について、$n^{\scriptsize{2}}+1$ は $3$ では割り切れない。} \end{align*}

ある整数の余りをもとにして、他の数や式の余りを求めるとき、表を利用すると早く簡単に答案を作成できます。やはり合同式を利用すると、文字の定義や式変形がないので、簡素な答案を作成できます。

難関大の2次試験では、合同式を利用できる問題が意外と出題されているので、難関大を志望している人はマスターしておきましょう。

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さいごにもう一度まとめ

  • 整数を商と余りを使って表せるようになろう。
  • 整数は余りに注目すると分類できる。ただし、何通りもあるので注意しよう。
  • 余りに注目するとき、合同式を利用すると答案作成が簡単。