数学１・Ａ｜2017センター試験・第４問を解いてみよう
今さら、センター試験の過去問を解いても意味がないと思うかもしれません。もちろん、共通テストになったためにセンター試験とは形式の変わる部分が出てきますが、問題のレベルに大きな差があるとは考えられません。
形式に慣れることは難しいかもしれません。しかし、センター試験の過去問から、自分の学力レベルを把握することができるでしょう。入試レベルへの到達度を知ることは、とても大切なことです。
今回は、2017年1月14・15日に実施された、センター試験の数学１・Ａの第４問についてです。
センター試験（大学入学共通テストに改名）でも「整数」に関する問題が出題されるようになりましたが、意外と苦手意識をもつ人が多い印象があります。特に、難関大学の個別試験（２次試験）ではよく扱われます。
マーク形式とは言え、入試レベルなのでしっかりこなせるようにしておきたいものです。そのためにも、やはり過去問を解いておくことは大切です。
１，２年生の中には、この時季から本格的に受験対策を始める人もいます。受験に成功する人に共通するのは、準備に取り掛かるのが早いことです。
また、受験に成功する人は、日常的に受験に直結する学習をしています。その場しのぎではなく、３カ月後、半年後、１年後の自分の学力を意識しながら学習するのが大切ではないかと思います。
大学進学の意思があれば、実際の入試問題を解き、自分の現在の学力を客観的に把握しましょう。解けないことが問題ではなく、自分の足りない部分を知らないことが問題です。
要求される学力と自分の学力とのギャップを埋めるのが受験対策です。
模範解答とは言えませんが、解き方や考え方の参考になれば幸いです。あくまでも一例なので鵜呑みにせず、自分なりに解答例を考えてみると良いでしょう。質の高い学習になります。
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数学１・Ａの第４問について
数学１・Ａの第４問は数Ａ「整数の性質」からの出題でした。ベースになるのは小学校で学習した約数や倍数などです。
しかし、単に数値を求めるだけでなく、整数の性質を論理的に説明したり、理解したりする問題が比較的多いのが特徴だと思います。要するに証明問題がよく出題されるということです。
このことは特に数Ａの単元全般に言えることだと思います。ですから、基本的な計算はもちろんですが、じっくりと思考することを意識して学習しておきましょう。
整数の「性質」を学ぶ単元なので、それを理解しているかを問われるのは当たり前。計算できるのはもちろんだが、論理的な思考力が身に付くような学習を日頃から行いたい。
第４問の全体像を掴もう
第４問は以下のような問題でした。
全体を俯瞰してみると、(1)～(3)の小問形式になっています。特に、(1)，(2)が連動していることに注意しましょう。
また、(3)では(1)，(2)とは異なる数を扱っています。そういうわけで、第４問は、(1)，(2)の前半部分と、(3)の後半部分の２部構成になっていると考えられます。
条件を満たす数をきちんと書き出し、それらを吟味すれば完答を狙えたでしょう。
第４問(1)
解答欄アイ
(1)は解答欄アイに関する問題です。
解答欄アイ
百の位の数が $3$、十の位の数が $7$、一の位の数が $a$ である $3$ 桁の自然数を $37a$ と表記する。
$37a$ が $4$ で割り切れるときの $a$ の値
３桁の自然数を３７ａと表記することに注意しましょう。このまま用いると間違えてしまいます。
また、３桁の自然数は、４で割り切れるので４の倍数になります。整数の性質を知っているかどうかが問われています。
４の倍数は、下２桁の数が４の倍数である数。
３桁の自然数３７ａの下２桁は７ａです。十の位の数が７と分かっているので、一の位の数だけを考えればよいことが分かります。
一の位の数には０，１，…，９の９つの候補があります。これらから１つずつ選んで作った２桁の数７０，７１，…，７９の数を４で割っていき、割り切れる数を見つければ良いでしょう。
７０，７１，…，７９のうち、４の倍数になるのは７２，７６の２つです。
解答欄アイの解答例をまとめると以下のようになります。
３桁の数を式で表す
３桁の数を式で表すことができます。これを利用して解く問題が出題されることもあります。
３桁の数を便宜上、ａｂｃと表記します。このとき、ａｂｃをそのまま計算で使うことはできません。あくまでも便宜上の表記だからです。
３桁の数ａｂｃを式で表すと以下のように表せます。
３桁の数 $abc$ を式で表す
\begin{align*} &100 \times a + 10 \times b + 1 \times c \\[ 7pt ] = \ &100a + 10b + c \end{align*}１００をａ個、１０をｂ個、１をｃ個集めた数を３桁の数ａｂｃと考えるのがポイント。
第４問(2)
(1)では３桁の自然数でしたが、(2)では４桁の自然数になっています。条件も変わっているので注意しましょう。
解答欄ウ
(2)の解答欄ウに関する問題です。
解答欄ウ
千の位の数が $7$、百の位の数が $b$、十の位の数が $5$、一の位の数が $c$ である $4$ 桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
$7b5c$ が $4$ でも $9$ でも割り切れる $b \ , \ c$ の組の個数
４でも９でも割り切れる自然数とは、４の倍数かつ９の倍数のことです。４桁の自然数７ｂ５ｃは、４の倍数である条件に加えて、９の倍数である条件も満たす必要があります。
４の倍数は、下２桁の数が４の倍数である数。９の倍数は、各位の和が９の倍数である数。
４桁の自然数７ｂ５ｃが４の倍数であるので、下２桁の数５ｃが４の倍数になります。５０，５１，…，５９から４の倍数を探すと、５２，５６の２つです。これより、ｃ＝２，６です。
また、４桁の自然数７ｂ５ｃが９の倍数であるので、各位の数の和を求めるとｂ＋ｃ＋１２です。これとｃ＝２，６の結果を利用してｂの値を求めます。
ｂ，ｃの組を探す
$c=2$ のとき、各位の数の和は
\begin{align*} \quad b+c+12 &=b+2+12 \\[ 7pt ] &=b+14 \end{align*}これが $9$ の倍数になるのは $b=4$ のとき
また、$c=6$ のとき、各位の数の和は
\begin{align*} \quad b+c+12 &=b+6+12 \\[ 7pt ] &=b+18 \end{align*}これが $9$ の倍数になるのは $b=0 \ , \ 9$ のとき
したがって、$b \ , \ c$ の組は
\begin{align*} (b \ , \ c)=(4 \ , \ 2) \ , \ (0 \ , \ 6) \ , \ (9 \ , \ 6) \end{align*}の $3$ 個ある。
先にｃの値を求めておいて、ｂについての条件式からｂの値を求めています。その結果、ｂ，ｃの組が３組あることが分かりました。ｂ＝０のときを忘れそうなので注意しましょう。
解答欄ウの解答例をまとめると以下のようになります。
解答例は個別試験（２次試験）で記述することを考えたときの一例です。マーク形式の試験では、上述したように、条件式に代入して探していく解き方で充分でしょう。
解答欄エオ，カキ
(2)の解答欄エオ，カキに関する問題です。
解答欄エオ，カキ
千の位の数が $7$、百の位の数が $b$、十の位の数が $5$、一の位の数が $c$ である $4$ 桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
$4$ 桁の自然数 $7b5c$ が $4$ でも $9$ でも割り切れる $b \ , \ c$ の組のうち、$7b5c$ の値が最小または最大になる $b \ , \ c$ の値
解答欄ウで求めた３個のｂ，ｃの組から、４桁の自然数７ｂ５ｃが最小または最大となるものを見つけます。
３個のｂ，ｃの組を実際に代入して調べます。
４桁の自然数７ｂ５ｃの最大値と最小値
$3$ 個の $b \ , \ c$ の組は
\begin{align*} (b \ , \ c)=(4 \ , \ 2) \ , \ (0 \ , \ 6) \ , \ (9 \ , \ 6) \end{align*}であるので、$4$ 桁の自然数 $7b5c$ はそれぞれ
\begin{align*} \quad 7452 \ , \ 7056 \ , \ 7956 \end{align*}よって、$7b5c$ の値が最小になるのは
\begin{align*} \quad b=0 \ , \ c=6 \end{align*}のときで、$7b5c$ の値が最大になるのは
\begin{align*} \quad b=9 \ , \ c=6 \end{align*}のときである。
解答欄エオ，カキの解答例をまとめると以下のようになります。
解答欄ク，ケ，コサ
(2)の解答欄ク，ケ，コサに関する問題です。
解答欄ク，ケ，コサ
千の位の数が $7$、百の位の数が $b$、十の位の数が $5$、一の位の数が $c$ である $4$ 桁の自然数を $7b5c$ と表記する。
$7b5c={(6 \times n)}^{2}$ となる $b \ , \ c \ , \ n$ の値
４桁の自然数７ｂ５ｃが積の形で表されているので、因数分解をしたときの話です。
４桁の自然数７ｂ５ｃは７０５６，７４５２，７９５６と分かっているので、それぞれ変形して確かめます。その前に、(６×ｎ)2＝３６×ｎ2と変形しておきます。
ここで、どうして与式のようなものが出てきたのかを考えてみましょう。
４桁の自然数７ｂ５ｃは４でも９でも割り切れる数でした。４でも９でも割り切れるということは、４の倍数かつ９の倍数、言い換えると３６の倍数であるということです。
つまり、４桁の自然数７ｂ５ｃは、３６を因数にもつ数になります。このことから、与式が出てくるわけです。
４桁の自然数７ｂ５ｃのイメージが湧いたところで、３つの数７０５６，７４５２，７９５６を３６でそれぞれ割り算し、残りの数がｎ2の形になるか吟味します。
３つの数を因数分解する
$4$ 桁の自然数 $7452 \ , \ 7056 \ , \ 7956$ を $36$ でそれぞれ割り算すると
\begin{align*} &\quad 7056 \div 36 = 196 = {14}^{2} \\[ 7pt ] &\quad 7452 \div 36 = 207 = 9 \times 23 \\[ 7pt ] &\quad 7956 \div 36 = 221 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad 7056 &= 36 \times 196 \\[ 7pt ] &= 6^{2} \times 14^{2} \\[ 7pt ] &= \left(6 \times 14 \right)^{2} \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad b=0 \ , \ c=6 \ , \ n=14 \end{align*}３個のｂ，ｃの組のうち、ｂ＝０，ｃ＝６のときだけが与式を満たすことが分かります。
解答欄ク，ケ，コサの解答例をまとめると以下のようになります。
次は、第４問(3)を解いてみましょう。