数学Ｉ・Ａ｜2017センター試験・第４問を解いてみよう
今回は2017年センター試験数学Ｉ・Ａの第４問を解いてみましょう。
センター試験でも「整数」に関する問題が出題されるようになりました。教科書で履修するようになり、どこまで学習すれば良いのか分かるぶん、これまでよりは演習したり、対策を立てたりしやすくなりました。
そうは言っても苦手にしている人が意外と多い印象の「整数」の単元。難関大学の個別試験(２次試験)ではよく扱われるので、志望者はセンター試験レベルであってもこなせるようにしておきたいものです。
「整数」に関する問題でしたが、センター試験ではこれまで馴染みのなかった単元なので、傾向を読んだり対策を立てたりするのが難しかったのではないかと思います。
参考
数学Ｉ・Ａ｜2017センター試験・第１問を解いてみよう
参考
数学Ｉ・Ａ｜2017センター試験・第２問を解いてみよう
参考
数学Ｉ・Ａ｜2017センター試験・第３問を解いてみよう
数学Ｉ・Ａの第４問について
数学Ｉ・Ａの第４問は数Ａ「整数の性質」からの出題でした。ベースになるのは小学校で学習した約数や倍数などです。
しかし、単に数値を求めるだけでなく、整数の性質を論理的に説明したり、理解したりする問題が比較的多いのが特徴だと思います。要するに証明問題がよく出題されるということです。
このことは特に数Ａの単元全般に言えることだと思います。ですから、基本的な計算はもちろんですが、じっくりと思考することを意識して学習しておきましょう。
第４問の全体像を掴もう
第４問は以下のような問題でした。
全体を俯瞰してみると、(1)～(3)の小問形式になっています。特に、小問(1) , (2)が連動していることに注意しましょう。
また、小問(3)ではこれまでと異なる数を扱っているいます。そういうわけで、第４問は、小問(1) , (2)の前半部分と、小問(3)の後半部分の２部構成になっていると考えられます。
条件を満たす数をきちんと書き出し、それらを吟味すれば解くことができたと思います。
解答欄アイ
小問(1)は解答欄アイに関する問題です。
４で割り切れる数ということは、４の倍数であるということです。整数の性質を知っているかどうかが問われています。
３桁の自然数 $37a$ の下２桁は、$7 \ , \ a$ です。十の位の数が７と分かっているので、一の位の数だけを考えればよいことが分かります。
一の位の数には $0 \ , \cdots , \ 9$ の候補があります。これらから１つずつ選んで作った２桁の数 $70 \ , \cdots , \ 79$ の数を４で割っていき、割り切れる数を見つければ良いでしょう。
$70 \ , \cdots , \ 79$ の数のうち、４の倍数になるのは $72 \ , \ 76$ の２つです。
解答例は以下のようになります。
３桁の数を式で表す
３桁の数を式で表すことができます。これを利用して解く問題が出題されることもあります。
３桁の数を便宜上、$abc$ と表記します。このとき、$abc$ をそのまま計算で使うことはできません。あくまでも便宜上の表記だからです。
３桁の数 $abc$ を式で表すと以下のように表せます。
\begin{align*}
&100 \times a + 10 \times b + 1 \times c \\[ 5pt ]
= \ &100a + 10b + c
\end{align*}
解答欄ウ
小問(2)の解答欄ウに関する問題です。
４でも９でも割り切れる４桁の自然数は、言い換えると、４の倍数かつ９の倍数である数ということです。４の倍数である要件に加えて、９の倍数である要件も知っておく必要があります。
４桁の自然数 $7b5c$ が４の倍数であるので、下２桁の数 $5c$ が４の倍数になります。$50 \ , \cdots , \ 59$ から４の倍数を探すと、$52 \ , \ 56$ の２つです。これより、$c=2 \ , \ 6$ となります。
また、４桁の自然数 $7b5c$ が９の倍数であるので、各位の数の和を求めると $b+c+12$ になります。これと $c=2 \ , \ 6$ の結果を利用して $b$ の値を求めます。
$c=6$ のとき、各位の数の和 $b+c+12=b+18$ が９の倍数になるのは $b=0 \ , \ 9$ のとき
したがって、$b \ , \ c$ の組は $(b \ , \ c)=(0 \ , \ 6) \ , \ (4 \ , \ 2) \ , \ (9 \ , \ 6)$ の３個あることが分かります。
解答例は以下のようになります。
解答例は個別試験(2次試験)で記述することを考えたときの一例です。センター試験では、上述したように、条件式に代入して探していく解き方で充分だと思います。
解答欄エオ，カキ
小問(2)の解答欄エオ，カキに関する問題です。
先ほど求めた３組の $b \ , \ c$ の値を参考にすると、４でも９でも割り切れる４桁の自然数 $7b5c$ は $7056 \ , \ 7452 \ , \ 7956$ の３つです。
これらの中で最小になるのは $7056$ のときで、$b=0 \ , \ c=6$ です。また、最大になるのは $7956$ のときで、$b=9 \ , \ c=6$ です。
解答例は以下のようになります。
解答欄ク，ケ，コサ
小問(2)の解答欄ク，ケ，コサに関する問題です。
４桁の自然数 $7b5c$ が積の形で表されているので、因数分解をしたときの話です。
４桁の自然数 $7b5c$ は $7056 \ , \ 7452 \ , \ 7956$ と分かっているので、それぞれ変形して確かめます。その前に、${(6 \times n)}^{2}=36 \times {n}^{2}$ と変形しておきます。
ここで、４桁の自然数 $7b5c$ は４でも９でも割り切れす数なので、４の倍数かつ９の倍数、すなわち $36$ の倍数になります。ですから、４桁の自然数 $7b5c$ は、因数に $36$ を持っており、$36$ と何かの積で表すことができます。
４桁の自然数 $7b5c$ について色々と確認できたところで、３つの数 $7056 \ , \ 7452 \ , \ 7956$ を $36$ でそれぞれ割り、残りの数が ${n}^{2}$ の形になるか吟味します。
&7056 \div 36 = 196 = {14}^{2} \\[ 5pt ]
&7452 \div 36 = 207 = 9 \times 23 \\[ 5pt ]
&7956 \div 36 = 221
\end{align*}
すると、$7056$ のときだけが $7b5c={(6 \times n)}^{2}$ を満たすことが分かります。解答例は以下のようになります。
次は第４問(3)を解いてみましょう。