数学１・Ａ｜2017センター試験・第３問を解いてみよう
今さら、センター試験の過去問を解いても意味がないと思うかもしれません。もちろん、共通テストになったためにセンター試験とは形式の変わる部分が出てきますが、問題のレベルに大きな差があるとは考えられません。
形式に慣れることは難しいかもしれません。しかし、センター試験の過去問から、自分の学力レベルを把握することができるでしょう。入試レベルへの到達度を知ることは、とても大切なことです。
今回は、2017年センター試験数学１・Ａの第３問についてです。
例年と比べると、出題の形式や内容が履修内容の理解度を問われるものだったように感じます。ですから、暗記で終わっている人には難しく感じたのではないかと思われます。
「本質を理解する」という意味では、良問ではないかと思います。このようなレベルの問題を日頃からこなせるようになりたいものです。
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数学Ｉ・Ａの第３問について
第３問は、数Ａ「場合の数と確率」の単元からの出題でした。出題の題材や内容をまとめると以下のようになります。
出題内容(題材：３人が順番に引くくじ引き)
- 少なくとも１人が当たりくじを引く問題
- 事象を排反な３つの事象に分割して考える問題
- ３種類の条件付き確率の大小関係に関する問題
頻出の余事象を扱った確率や条件付き確率をはじめ、「排反」の言葉の意味を理解しているかなどの問題が出題されました。
これまでの出題内容や形式とは若干趣が異なったので、特に「排反」に関する問題では面食らった人が多かったかもしれません。ただ何となく確率を求めていた人には完答するのが難しかったと思われます。
「本質の理解」の大切さを改めて感じさせる問題。このような良問を日頃から数多く解いておきたい。
第３問の全体像を掴もう
第３問は以下のような問題でした。
全体を俯瞰してみると、(1)～(5)の小問形式になっています。特に最後の問題は、それまでが解けていないと正しい選択肢を選ぶことができない問題です。
問題を解くのに共通していたのは、与えられた条件を満たす場合をすべて書き出せたかどうかだと思います。
日頃から事象を書き出す習慣の有無が、得点に大きく影響したのではないかと思います。手を動かしてイメージを膨らませる習慣はどの科目でも有効なので、ぜひとも習慣にしておきましょう。
第３問で扱われている題材とそのルール
以下の条件で色々な確率を求める。
- 当たり２本、はずれ２本の合計４本のくじを、Ａ，Ｂ，Ｃの順番に１本ずつ引く。ただし、引いたくじは戻さない。
- 引いたくじは戻さないので、反復試行ではない。
第３問(1)
解答欄アイ
小問(1)は解答欄アイに関する問題です。
解答欄アイ
$A \ , \ B$ の少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_{1}$ の確率
「少なくとも」という文言があるので、余事象を利用して求めます。
「少なくとも」という文言を見たら、余事象を使ってみよう。
事象Ｅ1の余事象は「Ａ，Ｂがともにはずれのくじを引く事象」です。この余事象の確率は、「Ａがはずれを引く確率」×「Ｂがはずれを引く確率」×「Ｃがあたりを引く確率」で求めることができます。
「Ａがはずれを引く確率」は、４本のくじのうちはずれの２本のどちらかを引けば良いので、２/４＝１/２です。
次に「Ｂがはずれを引く確率」は、Ａが引いて３本になった状態から残ったはずれの１本を引けば良いので、１/３です。
最後に「Ｃがあたりを引く確率」は、当たりだけしか残っておらず何を引いても問題ないので、２/２＝１です。これらの積を取れば、余事象が起こる確率です。
余事象の確率を求めた後は「１－（余事象の確率）」を計算すれば事象Ｅ1の確率を得ることができます。
解答欄アイの解答例をまとめると以下のようになります。
解答例の解き方は実は条件付き確率を利用した解き方
複数の試行を行っていても反復試行でない場合、次の試行の結果は前の試行の結果に影響を受けます（独立ではないから）。
このような場合、前の試行の結果が起こったことを前提に次の試行の結果を考えているので、条件付き確率を考えていることになります。
この考え方で解かない場合、３人がくじを引いた結果（場合の数）を数えあげて確率を求めることになります。
３人がくじを引いた結果から確率を求める
３人のくじの引き方は全部で
\begin{align*} \quad 4 \times 3 \times 2=24 \ \text{（通り）} \end{align*}また、$A \ , \ B$ がともにはずれを引き、$C$ があたりを引く引き方（余事象）は全部で
\begin{align*} \quad 2 \times 1 \times 2=4 \ \text{（通り）} \end{align*}よって、余事象の確率は
\begin{align*} \quad \frac{4}{24}=\frac{1}{6} \end{align*}余事象を利用しないで求める場合
もちろん、余事象を利用せず、直接的に事象Ｅ1の確率を求めることもできます。
「Ａ，Ｂの少なくとも一方があたりのくじを引く」事象をすべて書き出します。
「Ａ，Ｂの少なくとも一方があたりのくじを引く」事象
$A \ , \ B$ の少なくとも一方があたりのくじを引く事象を書き出すと
（$A \ , \ B \ , \ C$）＝（当，当，は），（当，は，当），（当，は，は），（は，当，当），（は，当，は）
の $5$ 通りある。
全部で５通り考えらます。あたりのくじは２本しかないので、３人ともあたりを引くことはないことに注意しましょう。
それぞれの事象の確率を求めると、すべて１/６になります。ここで、各事象は互いに排反であることを考慮すると、求める確率は和で求めて５/６になります。
今回は後の問題のことを考えると、こちらの方が良かったかもしれません。
第３問(2)
解答欄ウエオ，カキ
小問(2)は解答欄ウエオ，カキに関する問題です。
解答欄ウエオ，カキ
$A \ , \ B \ , \ C$ の $3$ 人で $2$ 本のあたりのくじを引く事象 $E$ に関する問題
「３人で２本のあたりのくじを引く」と言っても、あたりのくじを引くのがＡとＢの場合やＡとＣの場合など合があります。
この場合の事象Ｅは、いくつかの事象を含むことが分かります。また、各事象は問題文にもある通り、３つあり、かつ互いに排反です。
「３人で２本のあたりのくじを引く」ときの結果を書き出してみます。
「３人で２本のあたりのくじを引く」事象
$3$ 人で $2$ 本のあたりのくじを引く事象を書き出すと
（$A \ , \ B \ , \ C$）＝（当，当，は），（当，は，当），（は，当，当）
の $3$ 通りある。
全部で３通りあることが分かります。３つの事象は同時に起こらないので、互いに排反であると言えます。
互いに排反な３つの事象
- （当，当，は）：Ｃだけがはずれを引く事象
- （当，は，当）：Ｂだけがはずれを引く事象
- （は，当，当）：Ａだけがはずれを引く事象
このように事象Ｅは互いに排反な３つの事象からなるので、３つの事象の和事象で求められます。
３つの排反な事象が起こる確率はともに１/６です。これらの確率の和から、事象Ｅの確率が１/２であることが分かります。
次の問題を意識しながら解こう
小問(1)だけを考えれば、余事象を利用して解くことは悪くありません。ただ、小問(2)のことを考えると方針とは言えないかもしれません。
もし、小問(1)で余事象を利用せずに解いていれば、小問(2)では計算なしで解くことができたかもしれません。
解答欄ウエオ，カキの解答例をまとめると以下のようになります。
第３問(3)
解答欄クケ
小問(3)は解答欄クケに関する問題です。
解答欄クケ
事象 $E_{1}$ が起こるときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $P_{E_{1}}(E)$
条件付き確率の公式を上手に利用したいところです。
条件付き確率の公式
事象 $A$ が起こったときの事象 $B$ が起こる条件付き確率 $P_{A}(B)$ は
\begin{align*} \quad P_{A}(B) &= \frac{n \left(A \cap B \right)}{n \left( A \right)} \\[ 7pt ] &= \frac{P \left(A \cap B \right)}{P \left( A \right)} \end{align*}条件付き確率 $P_{A}(B)$ は、事象 $A$ が全事象になり、その事象 $A$ の中で共通部分となる事象 $A \cap B$ が起こる確率を求めたもの。
小問(3)で公式を使うためには、文字の対応関係を把握しなければなりません。
小問(3)の条件付き確率
事象 $E_{1}$ が起こるときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $P_{E_{1}}(E)$ は
\begin{align*} \quad P_{E_{1}}(E) &= \frac{n \left(E_{1} \cap E \right)}{n \left( E_{1} \right)} \\[ 7pt ] &= \frac{P \left(E_{1} \cap E \right)}{P \left( E_{1} \right)} \end{align*}小問(3)で条件付き確率を求めるには、２つの事象Ｅ1，Ｅの共通部分Ｅ1⋂Ｅを求めなければなりません。
小問(1)，(2)できちんと結果を書き残しておけば、簡単に共通部分Ｅ1⋂Ｅに関する場合の数や確率を求めることができるでしょう。
「Ａ，Ｂの少なくとも一方があたりのくじを引く」ときの結果（事象Ｅ1）を書き出してみます。
「Ａ，Ｂの少なくとも一方があたりのくじを引く」事象
$A \ , \ B$ の少なくとも一方があたりのくじを引く事象を書き出すと
（$A \ , \ B \ , \ C$）＝（当，当，は），（当，は，当），（当，は，は），（は，当，当），（は，当，は）
の $5$ 通りある。
全部で５通りあります。
また、「３人で２本のあたりのくじを引く」ときの結果（事象Ｅ）を書き出してみます。
「３人で２本のあたりのくじを引く」事象
$3$ 人で $2$ 本のあたりのくじを引く事象を書き出すと
（$A \ , \ B \ , \ C$）＝（当，当，は），（当，は，当），（は，当，当）
の $3$ 通りある。
これらは$A \ , \ B$ の少なくとも一方があたりのくじを引く事象にすべて含まれている。
全部で３通りあります。
これらの共通の結果を調べてみると、事象Ｅはすべて事象Ｅ1に含まれていることに気付きます。つまり、Ｅ1⋂Ｅ＝Ｅとなります。
共通部分Ｅ1⋂Ｅの場合の数が得られたので、あとは公式から条件付き確率を求めます。
小問(3)の条件付き確率
事象 $E_{1}$ が起こるときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $P_{E_{1}}(E)$ は
\begin{align*} \quad P_{E_{1}}(E) = \frac{P \left(E_{1} \cap E \right)}{P \left( E_{1} \right)} \end{align*}ここで、事象 $E_{1}$ が起こる場合の数は $5$ 通り、事象 $E$ が起こる場合の数は $3$ 通りある。
また
\begin{align*} \quad E_{1} \cap E = E \end{align*}であるので、求める条件付き確率は
\begin{align*} \quad P_{E_{1}}(E) &= \frac{n \left(E_{1} \cap E \right)}{n \left( E_{1} \right)} \\[ 7pt ] &= \frac{n \left(E \right)}{n \left( E_{1} \right)} \\[ 7pt ] &= \frac{3}{5} \end{align*}解答欄クケの解答例をまとめると以下のようになります。こちらでは場合の数ではなく、確率を用いています。
次は、第３問(4)を解いてみましょう。