複素数と方程式｜複素数の除法について
今回は、複素数の除法について学習しましょう。複素数の除法では、特に、負の数の平方根についての知識も必要なので、それも合わせて学習しましょう。
負の数の平方根
複素数は、実数と虚数を含む数です。特に、虚数の場合、虚数単位を用いて表します。
\begin{align*}
&\text{虚数単位を $i$ とすると} \\[ 10pt ]
&\quad i^{\scriptsize{2}} = -1 \\[ 10pt ]
&\text{を満たす。}
\end{align*}
虚数単位の定義に上の通りですが、この定義から分かるように、虚数単位は-1の(正の)平方根と言えます。これを利用すれば、負の数の平方根を表すことができます。
\begin{align*}
&\text{$i$ を虚数単位とする。$a \gt 0$ のとき} \\[ 10pt ]
&\quad \sqrt{-a}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{-1}=\sqrt{a}i \\[ 10pt ]
&\text{特に} \\[ 10pt ]
&\quad \sqrt{-1}=i \\[ 10pt ]
&\text{よって、負の数 $-a$ の平方根は} \\[ 10pt ]
&\quad \pm \sqrt{-a} \quad \text{すなわち} \quad \pm \sqrt{a}i
\end{align*}
虚数単位は、-1の正の平方根となります。虚数単位を上手に用いることによって、負の数の平方根も表すことが可能となります。
確認問題
負の数の平方根について、次の問題を解いてみましょう。
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \sqrt{-25} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \sqrt{2}\sqrt{-18} \\[ 10pt ]
&(3) \quad \sqrt{-3}\sqrt{-27}
\end{align*}
確認問題の解答・解説
負の数の平方根の定義を利用して計算します。
\begin{align*}
&\sqrt{-25} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{25}\sqrt{-1} \\[ 10pt ]
= & 5i
\end{align*}
(1)では、-25の平方根を25の平方根と-1の平方根との積に分解しています。
(2)も同様です。虚数単位を用いると、虚数単位以外の平方根は、これまで通りの扱いで計算できます。
\begin{align*}
&\sqrt{2}\sqrt{-18} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{2}\sqrt{18}\sqrt{-1} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}i \\[ 10pt ]
= & 6i
\end{align*}
(3)でも虚数単位以外の平方根を整理します。
\begin{align*}
&\sqrt{-3}\sqrt{-27} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{3}\sqrt{-1}\sqrt{27}\sqrt{-1} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{3}i \cdot 3\sqrt{3}i \\[ 10pt ]
= & \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} i^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= & 9 \cdot (-1) \\[ 10pt ]
= & -9
\end{align*}
負の数の平方根を扱うときの注意点
負の数の平方根を扱った計算では、以下のような間違いが多々あります。これまでと同じように扱ってしまう場合です。
\begin{align*}
&\sqrt{-3}\sqrt{-3} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{(-3) \times (-3)} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{9} \\[ 10pt ]
= & 3
\end{align*}
この2つの平方根の積は一見すると正しいように思えます。しかし、この計算は間違いです。この間違いに気付けない人は、数学1で学習した定義をもう一度確認しておきましょう。
根号の中の数を掛け算して積を求めることができるのは、ともに正の数の平方根の場合です。
\begin{align*}
&\text{$a \gt 0 \ , \ b \gt 0$ のとき} \\[ 10pt ]
&\quad \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}
\end{align*}
それに対してここで扱う平方根は、負の数の平方根なので、数学1で学習した定義に当てはまりません。ですから、同じように計算するには、正の数の平方根と虚数単位に分ける必要があります。
正しくは以下のような計算になります。
\begin{align*}
&\sqrt{-3}\sqrt{-3} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{3}\sqrt{-1}\sqrt{3}\sqrt{-1} \\[ 10pt ]
= & \sqrt{3}i \cdot \sqrt{3}i \\[ 10pt ]
= & \bigl(\sqrt{3}\bigr)^{\scriptsize{2}}i^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= & 3 \cdot ( -1 ) \\[ 10pt ]
= & -3
\end{align*}
なお、ここでは計算で導きましたが、平方根の定義に従えば、-3の平方根の2乗であることから、計算しなくても-3を導くことができます。
\begin{align*}
&\sqrt{-3}\sqrt{-3} \\[ 10pt ]
= & \bigl(\sqrt{-3}\bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= & -3
\end{align*}
以下の例題を解いてみましょう。
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 10pt ]
&(4+\sqrt{-5})(3-\sqrt{-5})
\end{align*}
平方根の掛け算が出てくるので注意しましょう。まず、正の数の平方根と虚数単位に分けてから展開します。そして展開後の複素数を加減算します。
\begin{align*}
&\bigl( 4+\sqrt{-5} \bigr)\bigl( 3-\sqrt{-5} \bigr) \\[ 10pt ]
= &\bigl( 4+\sqrt{5}i \bigr)\bigl( 3-\sqrt{5}i \bigr) \\[ 10pt ]
= & 12-\sqrt{5}i-\bigl(\sqrt{5}\bigr)^{\scriptsize{2}}i^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
= & 12-\sqrt{5}i-5 \cdot (-1) \\[ 10pt ]
= & 12-\sqrt{5}i+5 \\[ 10pt ]
= & 17-\sqrt{5}i
\end{align*}
負の数の平方根を扱う際には、正の数の平方根と虚数単位に分けることから始めましょう。
複素数の除法
負の数の平方根の扱い方を学習した後は、複素数の除法についてです。次の例題を解いてみましょう。
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 10pt ]
&(1) \quad \frac{1+2i}{2-i} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{3+2i}{2+i}-\frac{i}{1-2i}
\end{align*}
例題を見ると分かるように、複素数を含む分数式になっています。このような場合、分母の有利化を参考にして計算します。分母の有利化では、以下の乗法公式を用いていました。
\begin{align*}
&\bigl( a+b \bigr)\bigl( a-b \bigr) \\[ 10pt ]
= & a^{\scriptsize{2}}-b^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
この乗法公式と、虚数単位の定義を利用すれば、複素数を含む分数式であっても、分母を実数化することができます。
\begin{align*}
&\bigl( a+bi \bigr)\bigl( a-bi \bigr) \\[ 10pt ]
= & a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
上式から分かるように、分母を実数化するには、分母の複素数と共役な複素数を掛ければ良いことが分かります。
これを利用して例題を解いてみまよう。
\begin{align*}
&\frac{1+2i}{2-i} \\[ 10pt ]
= &\frac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} \\[ 10pt ]
= &\frac{2+5i+2i^{\scriptsize{2}}}{2^{\scriptsize{2}}+1^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= &\frac{2+5i-2}{5} \\[ 10pt ]
= &\frac{5i}{5} \\[ 10pt ]
= & i
\end{align*}
分母の複素数と共役な複素数を掛けて、分母を実数化します。分母と分子をそれぞれ整理します。
例題(2)も分母の実数化を優先して計算します。
\begin{align*}
&\frac{3+2i}{2+i}-\frac{i}{1-2i} \\[ 10pt ]
= &\frac{(3+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}-\frac{i(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} \\[ 10pt ]
= &\frac{6+i-2i^{\scriptsize{2}}}{2^{\scriptsize{2}}+1^{\scriptsize{2}}}-\frac{i+2i^{\scriptsize{2}}}{1^{\scriptsize{2}}+2^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
= &\frac{6+i+2}{5}-\frac{i-2}{5} \\[ 10pt ]
= &\frac{8+i-(i-2)}{5} \\[ 10pt ]
= &\frac{10}{5} \\[ 10pt ]
= &2 \\[ 10pt ]
\end{align*}
問題によっては、個別に分母を実数化しなくても、通分によって分母を実数化できる場合があります。個別にすべきか通分ですべきかは、与式をよく観察して決めましょう。
次は、複素数の除法や負の数の平方根を扱った問題を実際に解いてみましょう。