数学２
今回は、１の３乗根の性質について学習しましょう。それほど応用範囲が広くなく、ポイントも分かりやすい単元です。
入試では小問集合などで扱われることが多いのが特徴です。しっかりマスターして、得点源にしましょう。
１の３乗根の性質
１の３乗根とは、以下の式で定義されています。
１の３乗根の性質1⃣
\begin{align*}
&\text{$1$ の $3$ 乗根は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}=1 \\[ 7pt ]
&\text{を満たす数である。}
\end{align*}
定義から分かるように、１の３乗根は３乗すると１となる数のことです。
どのような数であるかを知りたければ、方程式を解けば分かります。
１の３乗根の性質2⃣
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}}=1 \\[ 7pt ]
&\text{を解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-1=0 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x-1=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}+x+1=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x=1 \ , \ \frac{-1 \pm \sqrt{3}i }{2} \\[ 7pt ]
&\text{特に、$2$ つの虚数解は $\omega \ , \ {\omega}^{\scriptsize{2}}$ と表される。}
\end{align*}
ω（オメガ）とおくのは、２つの虚数解のどちらでも構いません。一方の虚数解を２乗すれば、必ず他方の虚数解になるからです。
１の３乗根の性質3⃣
\begin{align*}
&\quad \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i }{2} \\[ 7pt ]
&\text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{2}}=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i }{2} \right)^{\scriptsize{2}}=\frac{-2-2\sqrt{3}i }{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i }{2} \\[ 7pt ]
&\text{同様にして} \\[ 5pt ]
&\quad \omega=\frac{-1-\sqrt{3}i }{2} \\[ 7pt ]
&\text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{2}}=\left(\frac{-1-\sqrt{3}i }{2} \right)^{\scriptsize{2}}=\frac{-2+2\sqrt{3}i }{4}=\frac{-1+\sqrt{3}i }{2} \\[ 7pt ]
&\text{ここで、$1$ の $3$ 乗根のうち、$2$ つの虚数は互いに共役な複素数である。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、虚数の一方を $\omega$ とすると、他方は $\omega$ と共役な複素数であり、${\omega}^{\scriptsize{2}}$ に等しい。}
\end{align*}
以上のことから、１の３乗根の性質は以下の通りです。
１の３乗根の性質まとめ
\begin{align*}
&\bullet \ \text{$1$ の $3$ 乗根は $1 \ , \ \omega \ , \ {\omega}^{\scriptsize{2}}$ の $3$ つ。} \\[ 5pt ]
&\bullet \ {\omega}^{\scriptsize{2}}=1 \\[ 7pt ]
&\bullet \ {\omega}^{\scriptsize{2}}+{\omega}+1=0
\end{align*}
特に、２つの数式はよく使われるので、きちんと覚えておきましょう。なお、２番目の数式が成り立つのは、ωが２次方程式の解であることから明らかです。
高次方程式の虚数解
１の３乗根の性質2⃣，3⃣から分かるように、方程式が虚数を解にもつとき、それと共役な複素数も解にもつことが分かります。これは必ず成り立つ性質です。
高次方程式の虚数解
実数を係数とするｎ次方程式が虚数解 $\alpha$ をもつならば、$\alpha$ と共役な複素数である $\overline{\alpha}$ もまた、その方程式の解である。
この性質を知っていれば、方程式が虚数解をもつことが分かった時点で、もう１つの虚数解も分かることになります。なお、この性質の証明が出題されることがあります（数学３の範囲）。
高次方程式の解の個数
先ほどの３次方程式では、複素数の範囲で解が３つ得られました。次数に応じた個数だけ解があります。これは高次方程式の解の性質です。
高次方程式の解の個数
２重解は２個、３重解は３個と数えるとき、ｎ次方程式は、複素数の範囲に必ずｎ個の解をもつ。
１の３乗根の性質を使ってみよう
１の３乗根の性質を使ってみましょう。
例題
\begin{align*}
&\text{$1$ の $3$ 乗根で虚数のものは $2$ つあり、その一方を $\omega$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad {\omega}^{\scriptsize{2}}+{\omega}+1 \\[ 7pt ]
&(2) \quad {\omega}^{\scriptsize{4}}+{\omega}^{\scriptsize{5}}
\end{align*}
例題(1)の解答・解説
例題(1)
$1$ の $3$ 乗根で虚数のものは $2$ つあり、その一方を $\omega$ とする。
このとき、次の式の値を求めよ。
\begin{equation*}
\quad {\omega}^{\scriptsize{2}}+{\omega}+1
\end{equation*}
例題(1)の式は、１の３乗根の性質に出てきたものです。
例題(1)の解答例
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}}=1 \\[ 7pt ]
&\text{を解くと} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x-1 \right) \left(x^{\scriptsize{2}}+x+1 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x-1=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}+x+1=0 \\[ 7pt ]
&\text{$\omega$ は方程式 $x^{\scriptsize{2}}+x+1=0$ の解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \therefore \ {\omega}^{\scriptsize{2}}+{\omega}+1=0
\end{align*}
方程式とその解の関係を知っていれば解ける問題です。
例題(2)の解答・解説
例題(2)
$1$ の $3$ 乗根で虚数のものは $2$ つあり、その一方を $\omega$ とする。
このとき、次の式の値を求めよ。
\begin{equation*}
\quad {\omega}^{\scriptsize{4}}+{\omega}^{\scriptsize{5}}
\end{equation*}
例愛(2)の式の値は、ωの値を代入して求めれば良さそうですが、ωは虚数であり、分数です。これを代入して計算するのはとても面倒です。そこで１の３乗根の性質を利用します。
例題(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\text{$\omega$ は $1$ の $3$ 乗根であるので} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}}=1 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{4}}+{\omega}^{\scriptsize{5}}={\omega}^{\scriptsize{3}} \left( {\omega}+{\omega}^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{4}}+{\omega}^{\scriptsize{5}}={\omega}+{\omega}^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
ω3＝１となる性質は、主に式の次数を下げることに利用します。最も利用する性質です。
例題(1)の式も性質の１つなので、これも利用します。
例題(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{4}}+{\omega}^{\scriptsize{5}}={\omega}+{\omega}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{2}}+{\omega}+1=0 \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{2}}+{\omega}=-1 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \therefore \ {\omega}^{\scriptsize{4}}+{\omega}^{\scriptsize{5}}=-1
\end{align*}
３次以上の項があれば、ω3を作って次数を下げることから取り組みましょう。
覚えておきたい便利な式を紹介しておきます。指数法則の知識が必要になります。
覚えておきたい便利な式
\begin{align*}
&\text{$n$ を整数とすると} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}n}=1 \\[ 7pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}n+\scriptsize{1}}=\omega \\[ 7pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}n+\scriptsize{2}}={\omega}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{[ 証明 ]} \\[ 5pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}n}=\left({\omega}^{\scriptsize{3}} \right)^{n}=1^{n}=1 \\[ 7pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}n+\scriptsize{1}}={\omega}^{\scriptsize{3}n} \cdot {\omega} =\omega \\[ 7pt ]
&\quad {\omega}^{\scriptsize{3}n+\scriptsize{2}}={\omega}^{\scriptsize{3}n} \cdot {\omega}^{\scriptsize{2}} =\omega^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
指数法則は色々な計算でよく登場します。しっかりとマスターしておきましょう。
次は、１の３乗根の性質を扱った問題を実際に解いてみましょう。
