複素数と方程式|3次方程式の解と係数の関係について

数学2複素数と方程式,解と係数の関係,3次方程式

今回は、3次方程式の解と係数の関係について学習しましょう。2次方程式のときと同じように、3次方程式の解と係数の間にも決まった関係があります。

解と係数の関係を扱った問題では、方程式の解そのものを求める問題はあまり出題されません。それよりも、解の和や積から式の値を求める問題がよく出題されます。

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式は、最大で3個の解をもちます。また、2重解や3重解をもつ場合もあるので注意が必要です。2次方程式のときと同じく、3次方程式の解も係数によって決まります。ですから、解と係数には決まった関係があります。

3次方程式の解と係数の関係は以下のように表されます。

3次方程式の解と係数の関係
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とすると} \\[ 5pt ]
&\text{① 解と係数の関係} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a} \\[ 7pt ]
&\text{② 因数分解} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=a\bigl(x-\alpha \bigr) \bigl(x-\beta \bigr) \bigl(x-\gamma \bigr)
\end{align*}

3次方程式の解と係数の関係において、解の和や積(左辺)は基本対称式と言われるものです。対称式は、基本対称式で表すことができるので、式の値を求める問題では、対称式が出題されます。

また、3次方程式の3つの解が分かっていれば、必ず②の等式のように因数分解できます。解と係数の関係を表しているわけではありませんが、解と係数の関係を導くときに用いられる大切な等式です。

3次方程式の解と係数の関係を導く

3次方程式の解と係数の関係を導いてみましょう。

解と係数の関係の導出
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{$P(x)=ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d$ とすると、$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ が $P(x)=0$ の3つの解であるので、} \\[ 5pt ]
&\text{$k$ を定数とすると、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=k\bigl(x-\alpha \bigr) \bigl(x-\beta \bigr) \bigl(x-\gamma \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{両辺の $x^{\scriptsize{3}}$ の項の係数を比較すると、$k=a$ より} \\[ 5pt ]
&\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=a\bigl(x-\alpha \bigr) \bigl(x-\beta \bigr) \bigl(x-\gamma \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{が得られる。この等式の右辺を展開すると} \\[ 5pt ]
&\quad \text{(右辺)} \ =ax^{\scriptsize{3}}-a\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)x^{\scriptsize{2}}+a\bigl(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr)x-a\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
&\text{等式の両辺を比較すると} \\[ 5pt ]
&\quad b=-a\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad c=a\bigl(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad d=-a\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a}
\end{align*}

2次方程式の解と係数の関係を導くときと同じ要領でできます。恒等式の考えを用いて解いています。

また、等式の変形で、文字で両辺を割るときは注意しましょう。ここでは、定数 a で両辺を割っています。この定数 a は、3次の項の係数です。3次方程式とあるので、3次の項の係数が0ではないことは明らかです。ですから、定数 a で割り算することは問題ありません。

等式の変形の際、文字で割るときは0でないことを確認しよう。

3次方程式の解と係数の関係を使ってみよう

3次方程式の解と係数の関係を使ってみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+3=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&(2) \quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}}
\end{align*}

例題(1)の解答・解説

例題(1)
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+3=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}
\end{align*}

与式を観察すると、対称式であることが分かります。基本対称式である解と係数の関係を用いた式に変形できるはずです。解と係数の関係から、基本対称式の値を求めておきます。

例題(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{1}{1}=-1 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{1}{1}=1 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{3}{1}=-3
\end{align*}

対称式である与式を、基本対称式である解と係数の関係を用いた式に変形します。

例題(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{3}{1}=-3 \\[ 7pt ]
&\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)^{\scriptsize{2}}-2\bigl(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr)
\end{align*}

与式は、2次式の展開や因数分解で扱ったことのある式を変形したものです。少し難しく感じるかもしれませんが、まずは公式を素早くアウトプットできるようにしておきましょう。そうすれば、似た形だと気付けるはずです。

与式を変形できたら、解と係数の関係から得た値を代入して整理します。

例題(1)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)^{\scriptsize{2}}-2\bigl(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}=\bigl(-1 \bigr)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot 1=-1
\end{align*}

例題(1)の式変形は、2次式の展開公式を変形することで得られますが、覚えておいた方が良いでしょう。

例題(1)の式変形
\begin{align*}
&\quad \bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)^{\scriptsize{2}}={\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}+2\alpha \beta+2\beta \gamma+2\gamma \alpha \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)^{\scriptsize{2}}-2\alpha \beta-2\beta \gamma-2\gamma \alpha \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)^{\scriptsize{2}}-2\bigl(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr)
\end{align*}

例題(2)の解答・解説

例題(2)
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}+x^{\scriptsize{2}}+x+3=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}}
\end{align*}

与式を観察すると、対称式であることが分かります。基本対称式である解と係数の関係を用いた式に変形できるはずです。解と係数の関係から、基本対称式の値を求めておきます。

例題(2)の解答例①
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{1}{1}=-1 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{1}{1}=1 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{3}{1}=-3
\end{align*}

対称式である与式を、基本対称式である解と係数の関係を用いた式に変形します。

例題(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{3}{1}=-3 \\[ 7pt ]
&\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \ =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \bigr)+3\alpha \beta \gamma
\end{align*}

与式は、3次式の展開や因数分解で扱ったことのある式を変形したものです。例題(1)と比べると、かなり難しく感じる式変形ですが、入試では意外と出題されます。

与式を変形できたら、解と係数の関係から得た値を代入して整理します。

例題(2)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \bigr)+3\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(-1 \bigr) \bigl(-1-1 \bigr)+3 \cdot \bigl(-3 \bigr)=-7
\end{align*}

例題(2)の式変形は、3次式の因数分解で得られた等式を変形することで得られますが、公式として覚えておくと良いでしょう。

例題(2)の式変形
\begin{align*}
&{\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}}-3\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
= &\bigl(\alpha+\beta \bigr)^{\scriptsize{3}}-3\alpha \beta \bigl(\alpha+\beta \bigr)+{\gamma}^{\scriptsize{3}}-3\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
= &\bigl(\alpha+\beta \bigr)^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}}-3\alpha \beta \bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \\[ 7pt ]
= &\Bigl\{ \bigl(\alpha+\beta \bigr)+{\gamma} \Bigr\} \Bigl\{ \bigl(\alpha+\beta \bigr)^{\scriptsize{2}}-\gamma \bigl(\alpha+\beta \bigr)+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \Bigr\}-3\alpha \beta \bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \\[ 7pt ]
= &\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \Bigl\{ \bigl(\alpha+\beta \bigr)^{\scriptsize{2}}-\gamma \bigl(\alpha+\beta \bigr)+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \Bigr\}-3\alpha \beta \bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \\[ 7pt ]
= &\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \Bigl\{ \bigl(\alpha+\beta \bigr)^{\scriptsize{2}}-\gamma \bigl(\alpha+\beta \bigr)+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-3\alpha \beta \Bigr\} \\[ 7pt ]
= &\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+2\alpha \beta+{\beta}^{\scriptsize{2}}-\gamma \alpha-\beta \gamma+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-3\alpha \beta \bigr) \\[ 7pt ]
= &\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&{\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \bigr)+3\alpha \beta \gamma
\end{align*}

式の値を求める問題では、例題で扱った式変形はよく利用されます。公式として覚えておきましょう。

よく利用される式変形
\begin{align*}
&{\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr)^{\scriptsize{2}}-2\bigl(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr) \\[ 7pt ]
&{\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \bigr)+3\alpha \beta \gamma
\end{align*}

例題(2)の別解例

例題(1)の式変形は何とかなっても、例題(2)は覚えていなければ意外と難しいです。そんなときは、次数を下げることで上手くいく場合があります。

例題(2)の別解例①
\begin{align*}
&\text{$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ は3次方程式の解であるので、} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\alpha}+3=0 \\[ 7pt ]
&\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\beta}+3=0 \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}+3=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}=-{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-3 \\[ 7pt ]
&\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}=-{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}-3 \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=-{\gamma}^{\scriptsize{2}}-{\gamma}-3 \\[ 7pt ]
&\text{これらを与式に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(-{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-3 \bigr)+\bigl(-{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}-3 \bigr)+\bigl(-{\gamma}^{\scriptsize{2}}-{\gamma}-3 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =-\bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \bigr)-\bigl({\alpha}+{\beta}+{\gamma} \bigr)-9 \\[ 7pt ]
&\text{よって、(1)の結果と解と係数の関係から} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =-\bigl(-1 \bigr)-\bigl(-1 \bigr)-9=-7
\end{align*}

次数を下げることで、例題(1)の結果を利用することができます。別解の方が式変形の負担が少ないので、取り組みやすいかもしれません。

解を方程式に代入すると等式が成り立つ。

次は、3次方程式の解と係数の関係を扱った問題を実際に解いてみましょう。