複素数と方程式|3次方程式の解と係数の関係について

数学2複素数と方程式,解と係数の関係,3次方程式

3次方程式の解と係数の関係を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \bigl( \alpha+\beta \bigr) \bigl( \beta+\gamma \bigr) \bigl( \gamma+\alpha \bigr) \\[ 7pt ]
&(2) \quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \\[ 7pt ]
&(3) \quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}
\end{align*}

問(1)の解答・解説

解と係数の関係は、どの問にも利用するので、先に求めておきましょう。

問の解答例
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{1}=0 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{-3}{1}=-3 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{5}{1}=-5
\end{align*}
問(1)
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \bigl( \alpha+\beta \bigr) \bigl( \beta+\gamma \bigr) \bigl( \gamma+\alpha \bigr)
\end{align*}

与式を展開したいところですが、解と係数の関係を考慮に入れると、かなり楽に変形できます。

問(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{1}=0 \\[ 7pt ]
&\text{であるので、} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta=-\gamma \\[ 7pt ]
&\quad \beta+\gamma=-\alpha \\[ 7pt ]
&\quad \gamma+\alpha=-\beta
\end{align*}

解と係数の関係の式を変形して、与式に代入します。代入後、式を整理すると、与式の値を求めることができます。

問(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \gamma+\alpha=-\beta \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha+\beta \bigr) \bigl( \beta+\gamma \bigr) \bigl( \gamma+\alpha \bigr)=\bigl( -\gamma \bigr) \cdot \bigl( -\alpha \bigr) \cdot \bigl( -\beta \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha+\beta \bigr) \bigl( \beta+\gamma \bigr) \bigl( \gamma+\alpha \bigr)=-\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( \alpha+\beta \bigr) \bigl( \beta+\gamma \bigr) \bigl( \gamma+\alpha \bigr)=-\bigl( -5 \bigr)=5 \\[ 7pt ]
\end{align*}

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(2) \quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}}
\end{align*}

例題(2)で扱った式です。覚えた式通りに変形します。変形できたら、値を代入して整理します。

問(2)の解答例
\begin{align*}
&\text{与式より} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(\alpha+\beta+\gamma \bigr) \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}-\alpha \beta-\beta \gamma-\gamma \alpha \bigr)+3\alpha \beta \gamma \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =0+3 \cdot \bigl( -5 \bigr)=-15
\end{align*}

変形した後の式では一部の式の値が不明ですが、それでも構いません。解と係数の関係から、3つの解の和(α+β+γ)が0であることが分かっているからです。上手いこと項が消えてしまいます。

解答例の式変形を難しく感じる人は、次の別解例のように、次数を下げましょう。

問(2)の別解例
\begin{align*}
&\text{$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ は3次方程式の解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}-3{\alpha}+5=0 \\[ 7pt ]
&\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}-3{\beta}+5=0 \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}-3{\gamma}+5=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}=3{\alpha}-5 \\[ 7pt ]
&\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}=3{\beta}-5 \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=3{\gamma}-5 \\[ 7pt ]
&\text{これらを与式に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =\bigl(3{\alpha}-5 \bigr)+\bigl( 3{\beta}-5 \bigr)+\bigl( 3{\gamma}-5 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =3\bigl({\alpha}+{\beta}+{\gamma} \bigr)-15 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} =3 \cdot 0-15=-15
\end{align*}

問(3)の解答・解説

問(3)
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}-3x+5=0$ の3つの解を $\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{次の式の値を求めよ。} \\[ 5pt ]
&(3) \quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}
\end{align*}

与式は5次式です。5次式の変形はめったにやりませんし、公式も学習していません。このような場合には、次数を下げることが有効です。

そのために、解を方程式に代入すると等式が成り立つことを利用します。そして、得られた式を代入しやすい形に変形します。

問(3)の解答例①
\begin{align*}
&\text{$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ は3次方程式の解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}-3{\alpha}+5=0 \\[ 7pt ]
&\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}-3{\beta}+5=0 \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}-3{\gamma}+5=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{3}}=3{\alpha}-5 \\[ 7pt ]
&\quad {\beta}^{\scriptsize{3}}=3{\beta}-5 \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=3{\gamma}-5
\end{align*}

与式に代入して、次数を下げます。式を整理して、値を代入しやすくします。

問(3)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad {\gamma}^{\scriptsize{3}}=3{\gamma}-5 \\[ 7pt ]
&\text{これらを与式に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}={\alpha}^{\scriptsize{2}} \bigl( 3{\alpha}-5 \bigr)+{\beta}^{\scriptsize{2}} \bigl( 3{\beta}-5 \bigr)+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \bigl( 3{\gamma}-5 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}}=3 \bigl({\alpha}^{\scriptsize{3}}+{\beta}^{\scriptsize{3}}+{\gamma}^{\scriptsize{3}} \bigr)-5 \bigl({\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}} \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}=\bigl({\alpha}+{\beta}+{\gamma} \bigr)^{\scriptsize{2}}-2 \bigl( \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{より} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}}+{\gamma}^{\scriptsize{2}}=0^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \bigl( -3 \bigr)=6 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{5}}+{\beta}^{\scriptsize{5}}+{\gamma}^{\scriptsize{5}} =3 \cdot \bigl( -15 \bigr)-5 \cdot 6=-75 \\[ 7pt ]
\end{align*}

最後では問(2)の結果も利用しています。次数を下げる解法は、問(2)を見ると分かるように、3次式から利用できます。しかし、証明や因数分解の問題などで出題されることもあるので、3次式の式変形まではできるようにしておいた方が無難です。

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さいごにもう一度まとめ

  • 3次方程式の解と係数の関係をきちんと覚えよう。
  • 対称式は基本対称式を用いて表すことができる。
  • 2次式や3次式の式変形に慣れておこう。
  • 4次以上の式変形では、次数を下げることから取り組もう。
  • 2次式や3次式の式変形は、展開や因数分解でも利用されるので注意しよう。