複素数と方程式|2つの数を解とする2次方程式の作成について

09/02/2019数学2複素数と方程式,2次方程式

今回は、2つの数を解とする2次方程式の作成について学習しましょう。2つの数が解として与えられると、2次方程式の1つを作成できます。

また、和と積が与えられると、2次方程式を作成することによって、2つの数を求めることができます。

2つの数を解とする2次方程式の作成

2次式の因数分解で学習したように、2次方程式の解が分かっていれば、左辺の2次式を解を用いて表すことができます。

2次方程式の左辺の因数分解 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$2$ 次方程式の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \left(x-\alpha \right) \left(x-\beta \right) \\[ 7pt ] &\text{と因数分解できる。} \end{align*}

つまり、解が分かれば、左辺の2次式の因数が分かるということです。

2次方程式の左辺の因数分解 2⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{が $2$ つの解} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{をもつとき、$2$ 次方程式の} \\[ 5pt ] &\text{左辺は} \\[ 5pt ] &\quad x-\alpha \ , \ x-\beta \\[ 7pt ] &\text{を因数にもつ。} \end{align*}

上述のことから、2つの数を解とする2次方程式の1つは以下のように表すことができます。

2次方程式の作成 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ つの数} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{を解とする $2$ 次方程式の} \\[ 5pt ] &\text{$1$ つは} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-\alpha \right) \left(x-\beta \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left(\alpha+\beta \right)x+\alpha \beta=0 \\[ 7pt ] &\text{と表せる。} \end{align*}

2つの数を解とする2次方程式の1つ」と言っているように、あくまでも一例です。係数が異なっていても題意を満たすことがあります。

以上のことから、2つの数が解として与えられている場合、2次方程式の1つを作成するには、1次の項の係数定数項を求めてしまえば良いことが分かります。

2つの数を解とする2次方程式の作成

2つの数の和と積を求めれば良い。和が1次の項の係数で、積が定数項となる。

2次方程式を作成してみよう

例題を解いてみましょう。

例題1

\begin{align*} &\text{次の $2$ 数を解とする $2$ 次方程式を $1$ つ作れ。} \\[ 5pt ] &\quad -1 \ , \ 3 \end{align*}

例題1の解答・解説

2つの数が解として与えられています。これらの和と積を求めます。

例題1の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 数の和と積を求めると} \\[ 5pt ] &\quad -1+3=2 \\[ 7pt ] &\quad -1 \cdot 3 =-3 \end{align*}

和が1次の項の係数、積が定数項です。

例題1の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad -1+3=2 \\[ 7pt ] &\quad -1 \cdot 3 =-3 \\[ 7pt ] &\text{よって、求める $2$ 次方程式の $1$ つは} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x+\left(-3 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x-3=0 \end{align*}

代入するとき、符号ミスをしないように気を付けましょう。

和・積が与えられた2つの数の求め方

2つの数の値は不明ですが、それらの和と積が与えられる場合があります。この場合、和と積から、2つの数を求めるのが問題の主題です。

このような問題では、2つの数を2次方程式の解と見立てることで解決します。2次方程式の係数や定数項が、2つの解の和と積に対応することを利用しています。

2つの数の和と積から2次方程式を作って解くと、2つの解を得ることができます。この2つの解が、求めたかった2つの数となります。

2次方程式の作成 2⃣

\begin{align*} &\text{和が $p$ 、積が $q$ となる $2$ つの} \\[ 5pt ] &\text{数は、$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-px+q=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解となる。} \end{align*}

2次方程式を作るとき、係数が分数になることがあります。このような場合、両辺に適当な数を掛けて、最も簡単な整数を係数とする方程式にするのが一般的です。

例題を解いてみましょう。

例題2

\begin{align*} &\text{和と積が次のようになる $2$ 数を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad \text{和が $2$、積が $-2$} \end{align*}

例題2の解答・解説

和と積が与えられています。和と積から2数の組合せを探すのも可能かもしれません。しかし、簡単ではない組合せもあるので、意外と時間が掛かります。

組合せを手当たり次第に探すのではなく、2次方程式を作って解を求めます。

例題2の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{和が $2$、積が $-2$ となる $2$ 数は} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-2x-2 = 0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解に等しい。} \\[ 5pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{-(-1) \pm \sqrt{ (-1)^{\scriptsize{2}}-1 \cdot (-2) }}{1} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = 1 \pm \sqrt{3} \end{align*}

2つの解を得ることができました。念のために題意を満たすか確認しておきます。実際には解答例2⃣を記述せず、暗算で済ませます。

例題2の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = 1 \pm \sqrt{3} \\[ 7pt ] &\text{$2$ つの解の和と積を求めると、} \\[ 5pt ] &\quad \left(1-\sqrt{3} \right)+\left(1+\sqrt{3} \right)=2 \\[ 7pt ] &\quad \left(1-\sqrt{3} \right) \left(1+\sqrt{3} \right)=1-3=-2 \end{align*}

2つの解が題意を満たすことが確認できました。この2つの解が、求めたかった2数です。

解答例1⃣に続けるとすれば、以下のように記述します。

例題2の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{したがって、求める $2$ 数は} \\[ 5pt ] &\quad 1 – \sqrt{3} \ , \ 1 + \sqrt{3} \end{align*}

平方根を含む2数なので、簡単には見つからない組合せです。

例題2では、2次方程式を利用して2つの数を求めています。2次方程式を利用できるのは、2つの解の和と積が係数や定数項に関係するからです。

和と積が与えられた2数の求め方

和と積から2数を求めるには、2次方程式を作って解を求めれば良い。2つの解が求めたい2数。

次は、2つの数を解とする2次方程式の作成を扱った問題を実際に解いてみましょう。