複素数と方程式|2次式の因数分解について

09/01/2019数学2因数分解,複素数と方程式,2次方程式,解と係数の関係

今回は、2次式の因数分解について学習しましょう。2次方程式の解と係数の関係に関わってくるので、しっかりとマスターしましょう。

2次式の因数分解

一般に、2次方程式の左辺は2次式となっています。この2次式を因数分解することによって、2次方程式の解を求めることができます。

もし、因数分解できない2次式であれば、解の公式を利用すると、解を求めることができます。

たとえば、2次方程式の2つの解が分かっているとします。このとき、以下のように左辺の2次式を因数分解できるはずです。

2次式の因数分解 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{の $2$ つの解を} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、$2$ 次方程式の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c = a \left(x-\alpha \right) \left(x-\beta \right) \\[ 7pt ] &\text{と因数分解できる。} \end{align*}

上述のことが成り立つのは、これまで2次方程式を解いてきた経験から理解できるでしょう。このように因数分解できることから、さらに以下のことも分かります。

2次式の因数分解 2⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}}+bx+c=0 \\[ 7pt ] &\text{が $2$ つの解} \\[ 5pt ] &\quad \alpha \ , \ \beta \\[ 7pt ] &\text{をもつとき、$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\text{の左辺は} \\[ 5pt ] &\quad x-\alpha \ , \ x-\beta \\[ 7pt ] &\text{を因数にもつ。} \end{align*}

このことは、あとで学習する剰余の定理因数定理と関わってくるので覚えておくと良いでしょう。

また、係数が実数である2次式であれば、複素数の範囲で常に1次式の積に因数分解できることも覚えておきましょう。「複素数の範囲で」という文言に注意しましょう。

2次式を複素数の範囲で因数分解する

係数が実数である2次式を、複素数の範囲で因数分解してみましょう。

例題

\begin{align*} &\text{次の $2$ 次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad x^{\scriptsize{2}}-3 \\[ 7pt ] &(2) \quad x^{\scriptsize{2}}+4 \end{align*}

どちらの2次式も係数が実数であることを確認しましょう。このような2次式であれば、複素数の範囲で常に1次式の積に因数分解できます。

例題(1)の解答・解説

例題(1)

\begin{align*} &\text{次の $2$ 次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-3 \end{align*}

これまでであれば、与式は因数分解できない2次式として扱われていました。しかし、平方根や複素数の知識を利用すれば因数分解することができます。

まず、2次方程式にして解を求めます。

例題(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-3 = 0 \\[ 7pt ] &\text{を解くと} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}} = 3 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm \sqrt{3} \end{align*}

解を利用して、与式を因数分解した形で表します。

例題(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = \pm \sqrt{3} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-3 = \left(x+\sqrt{3} \right)\left(x-\sqrt{3} \right) \end{align*}

平方根を用いて因数分解することができました。

例題(2)の解答・解説

例題(2)

\begin{align*} &\text{次の $2$ 次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+4 \end{align*}

例題(1)と同じ要領で解きます。2次方程式にして解を求めます。

例題(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+4 = 0 \\[ 7pt ] &\text{を解くと} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}} = -4 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm \sqrt{-4} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm 2i \end{align*}

解を利用して、与式を因数分解した形で表します。

例題(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = \pm 2i \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+4 = \left(x+2i \right)\left(x-2i \right) \end{align*}

複素数を用いて因数分解することができました。

例題から分かるように、2次式の因数分解では、2次方程式の解を利用します。

2次式の因数分解の手順

  1. 「与式=0」の形にして、2次方程式にする。
  2. 2次方程式の解を求める。
  3. 解を利用して、因数分解する。
  4. 解がα,βなら、x-α,x-βが2次式の因数

例題では、基本通りの手順で因数分解していますが、平方根や複素数の計算をしっかりとマスターしておけば、2次方程式を作ることなく因数分解できるようになります。

次は、2次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。