複素数と方程式|2つの数を解とする2次方程式の作成について

数学2複素数と方程式,2次方程式

2つの数を解とする2次方程式の作成を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{2次方程式 $2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{2数 ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ を解とする2次方程式を1つ作れ。}
\end{align*}

問題文を注意深く読み、与えられた式や数の関係を理解しましょう。

問の解答・解説

αとβは、予め与えられた2次方程式の解です。このαとβは、これから作る2次方程式の解ではありません。これから作る2次方程式の解は、${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ です。きちんと区別しましょう。

情報を整理しよう
$\alpha \ , \ \beta$ は、2次方程式 $2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0$ の解
${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ は、これから作る2次方程式の解

とりあえず、混乱を避けるために、求めたい2次方程式を作ってしまいます。

問の解答例①
\begin{align*}
&\text{${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ を解とする2次方程式の1つは} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-\bigl( {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} \bigr)x+{\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}}=0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

①式から、1次の項の係数と定数項を求めれば良いことが分かります。これらを求めるには、αとβの値が必要ですが、αやβの値をそれぞれ求める必要はありません。

和や積を見て気付くのは、解と係数の関係です。αやβの値を直接求めず、与えられた2次方程式を利用して、αとβの和と積を求めます。

問の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{ここで、2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ]
&\text{において、解と係数の関係より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha + \beta= -\frac{-1}{2} =\frac{1}{2} \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta= \frac{3}{2} \quad \text{…③}
\end{align*}

解と係数の関係から、αとβの和と積を求めることができました。これらを利用して、①式の係数や定数項を求めます。

問の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{①において} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \bigl( \alpha+\beta \bigr)^{\scriptsize{2}}-2\alpha \beta \\[ 7pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \bigl( \alpha \beta \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&\text{となるので、②,③より} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+{\beta}^{\scriptsize{2}} = \biggl( \frac{1}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}}-2 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{11}{4} \\[ 7pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} {\beta}^{\scriptsize{2}} = \biggl( \frac{3}{2} \biggr)^{\scriptsize{2}} =\frac{9}{4}
\end{align*}

これで①式の係数と定数項を求めることができました。これらを①式に代入します。

問の解答例④
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&\text{これらを①に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-\biggl( -\frac{11}{4} \biggr)x+\frac{9}{4}=0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}+\frac{11}{4} x+\frac{9}{4}=0 \\[ 7pt ]
&\text{両辺に $4$ を掛けると} \\[ 5pt ]
&\quad 4x^{\scriptsize{2}}+11x+9 = 0
\end{align*}

問のように、作った2次方程式の係数や定数項が分数になることがあります。このような場合には、適当な数を両辺に掛けて、できるだけ簡単な整数にします。

「2数がどのような等式を満たすか」から2次方程式を作成する


\begin{align*}
&\text{2次方程式 $2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0$ の2つの解を $\alpha \ , \ \beta$ とするとき、} \\[ 5pt ]
&\text{2数 ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ を解とする2次方程式を1つ作れ。}
\end{align*}

問について別な視点から考えてみましょう。問において、αとβは、与えられた2次方程式の解です。ですから、以下の等式が成り立ちます。

2次方程式の解は等式が成り立つ数のこと
\begin{align*}
&\text{$\alpha \ , \ \beta$ は2次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad 2x^{\scriptsize{2}}-x+3=0 \\[ 7pt ]
&\text{の解であるので、等式} \\[ 5pt ]
&\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}+3=0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\quad 2{\beta}^{\scriptsize{2}}-{\beta}+3=0 \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。}
\end{align*}

①式と②式を一般化したものが、与えられた2次方程式です。①式と②式を一般化すると、同じ2次方程式となります。ですから、αとβは、与えられた2次方程式の2つの解となるわけです。

この考え方を利用して、${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ がどのような等式が成り立つのかを考えれば、求めたい2次方程式を得ることができます。

どのような等式が成り立つかを考える
\begin{align*}
&\text{$\gamma={\alpha}^{\scriptsize{2}}$ とおく。} \\[ 5pt ]
&\text{①を変形して} \\[ 5pt ]
&\quad 2{\alpha}^{\scriptsize{2}}+3={\alpha} \\[ 7pt ]
&\text{両辺を2乗して整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 4{\alpha}^{\scriptsize{4}}+11{\alpha}^{\scriptsize{2}}+9=0 \\[ 7pt ]
&\text{これに ${\alpha}^{\scriptsize{2}}=\gamma$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad 4{\gamma}^{\scriptsize{2}}+11{\gamma}^{\scriptsize{2}}+9=0 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{${\beta}^{\scriptsize{2}}=\delta$ についても同様に、②より} \\[ 5pt ]
&\quad 4{\delta}^{\scriptsize{2}}+11{\delta}^{\scriptsize{2}}+9=0 \quad \text{…④} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ} \\[ 5pt ]
&\text{③と④より、$\gamma \ , \ \delta$ を解とする2次方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad 4x^{\scriptsize{4}}+11x^{\scriptsize{2}}+9=0
\end{align*}

③式と④式から分かるように、γとδの部分は異なりますが、係数や定数項は同じ等式です。つまり、③式と④式をそれぞれ一般化すると、同じ2次方程式となります。つまり、γとδは共通の2次方程式の解となります。したがって、この方程式が、2つの解 ${\alpha}^{\scriptsize{2}} \ , \ {\beta}^{\scriptsize{2}}$ をもつ2次方程式です。

方程式の解と成り立つ等式の関係を理解することが大切です。たとえば、グラフの式と座標もこの関係に相当します。少し難しい考え方かもしれませんが、記述形式の問題で出題されることがあるので、覚えておきたい事項です。

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さいごにもう一度まとめ

  • 2数を解とする2次方程式の作成では、2数の和と積を求めよう。
  • 和と積が与えられた2数は、2次方程式の解に等しいことを利用しよう。
  • 2数がどの2次方程式の解であるのかをしっかりと把握しよう。
  • どのような等式が成り立つのかを考えることで、2数を解とする2次方程式を作ることができる。