複素数と方程式|実数解からの係数決定について

数学2係数,実数解,複素数と方程式

今回は、実数解からの係数決定について学習しましょう。解から係数を決定することは、以前にも学習しています。

これまでは2次方程式が中心でしたが、ここでは、主に実数解を用いて、3次方程式や4次方程式などの高次方程式の係数を決定します。

方程式とその解との関係

方程式とその解との関係は、以下のように表されます。

方程式とその解との関係①
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad f(\alpha)=0
\end{align*}

当たり前ですが、解を方程式に代入すると、等式が成り立ちます。右辺が0なので、解を代入したとき、左辺も0となります。等式が成り立つのは、解を方程式に代入したときだけです。

また、このような言い方もできます。

方程式とその解との関係②
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad f(\alpha)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。}
\end{align*}

これは剰余の定理や因数定理を考えると理解できるでしょう。左辺に解を代入したとき、式の値が0となります。剰余の定理から、左辺を1次式 $x-\alpha$ で割った余りが0となるということです。そして、因数定理から、左辺は1次式 $x-\alpha$ を因数にもつことが分かります。

方程式とその解との関係まとめ
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解} \\[ 5pt ]
\Longleftrightarrow \quad &f(\alpha)=0 \\[ 7pt ]
\Longleftrightarrow \quad &\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。}
\end{align*}

方程式の解が分かれば、左辺の因数を知ることができます。たとえば、3次方程式の解が3つのうち2つ分かっていれば、2つの因数を知ることができます。この2つの因数を用いれば、残りの解や因数を求めることができます。

解から係数を決定してみよう

解から係数を決定してみましょう。ここでは、主に実数解を用います。

例題
\begin{align*}
&\text{3次方程式 $x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}-21x+b=0$ の解は $1 \ , \ 3 \ , \ c$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を求めよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

3次方程式の係数を解を用いて決定します。3つの解のうち2つが既知です。この2つの解を上手に使います。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{$x=1 \ , \ 3$ が3次方程式の解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 1^{\scriptsize{3}}+a \cdot 1^{\scriptsize{2}}-21 \cdot 1+b=0 \\[ 7pt ]
&\quad 3^{\scriptsize{3}}+a \cdot 3^{\scriptsize{2}}-21 \cdot 3+b=0 \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad a+b=20 \\[ 7pt ]
&\quad 9a+b=36
\end{align*}

方程式とその解との関係を利用します。定数 a,b関係式が2つ得られます。

未知のものが2個なら、関係式も2個必要。

これらを連立して解きます。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad a+b=20 \\[ 7pt ]
&\quad 9a+b=36 \\[ 7pt ]
&\text{これらを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=2 \ , \ b=18 \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=0
\end{align*}

定数の値から方程式の係数が決定できました。これで、残りの解を求めることができます。既知の解から左辺の因数に注目します。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=0 \\[ 7pt ]
&\text{この方程式の左辺は $(x-1)(x-3)$ で割り切れるので、} \\[ 5pt ]
&\text{左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x-1 \bigr)\bigl(x-3 \bigr)\bigl(x+6 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=1 \ , \ 3 \ , \ -6 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad c=-6
\end{align*}

左辺の因数分解では、2つの因数の積である2次式で割り算します(筆算は省略)。すると、商が1次式で、余りは0となります。この結果を用いて、左辺を因数分解します。

方程式の係数が決定した後、左辺の因数分解では、いくつかのやり方があります。

左辺の因数分解のやり方

  • 因数の積(例題では2次式)で左辺を割る。
  • 因数(1次式)ごとに組立除法を行う。
  • 恒等式による係数比較。

恒等式による係数比較の上手な使い方

恒等式による係数比較では、方程式の係数が決定した後でなら、定数項だけに注目すれば簡単です。解答例③は、以下のようになります。

係数比較で定数項だけに注目
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=0 \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=\bigl(x-1 \bigr)\bigl(x-3 \bigr)\bigl(x+k \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{とおく。両辺の定数項を比較すると} \\[ 5pt ]
&\quad 18=3k \\[ 7pt ]
&\text{これより} \\[ 5pt ]
&\quad k=6 \\[ 7pt ]
&\text{左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(x-1 \bigr)\bigl(x-3 \bigr)\bigl(x+6 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=1 \ , \ 3 \ , \ -6 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad c=-6
\end{align*}

係数比較では、必要な項の係数だけに注目すれば、意外と負担は少なくなります。

例題の別解例

最初から恒等式による係数比較によって解くことができます。

例題の別解例
\begin{align*}
&\text{$1 \ , \ 3 \ , \ c$ が方程式の解であり、$x^{\scriptsize{3}}$ の係数が $1$ であるので} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}-21x+b=\bigl(x-1 \bigr)\bigl(x-3 \bigr)\bigl(x-c \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\text{右辺を展開して整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}-21x+b=x^{\scriptsize{3}}-\bigl(c+4 \bigr)x^{\scriptsize{2}}+\bigl(4c+3 \bigr)x-3c \\[ 7pt ]
&\text{係数を比較すると} \\[ 5pt ]
&\quad a=-\bigl(c+4 \bigr) \\[ 7pt ]
&\quad -21=4c+3 \\[ 7pt ]
&\quad b=-3c \\[ 7pt ]
&\text{これらを解いて} \\[ 5pt ]
&\quad a=2 \ , \ b=18 \ , \ c=-6
\end{align*}

右辺を展開して整理するときにミスしやすいです。丁寧に変形しましょう。

次は、実数解からの係数決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。