複素数と方程式|実数解からの係数決定について

数学2

今回は、実数解からの係数決定について学習しましょう。解から係数を決定することは、以前にも学習しています。

これまでは2次方程式が中心でしたが、ここでは、主に実数解を用いて、3次方程式や4次方程式などの高次方程式の係数を決定します。

方程式とその解との関係

方程式とその解との関係は、以下のように表されます。

方程式とその解との関係 1⃣

\begin{align*} &\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ] &\quad f(\alpha)=0 \end{align*}

当たり前ですが、解を方程式に代入すると等式が成り立ちます。右辺が0なので、解を代入したとき、左辺も0となります。等式が成り立つのは、解を方程式に代入したときだけです。

また、このような言い方もできます。

方程式とその解との関係 2⃣

\begin{align*} &\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ] &\quad f(\alpha)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。} \end{align*}

これは剰余の定理因数定理を考えると理解できるでしょう。

左辺に解x=αを代入したとき、式の値が0となります。剰余の定理から、左辺を1次式x-αで割った余りが0となるということです。

1次式x-αで割った余りが0となるので、因数定理が成り立ちます。ですから、左辺は1次式x-αを因数にもつことが分かります。

方程式とその解との関係まとめ

\begin{align*} &\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解} \\[ 5pt ] \Longleftrightarrow \quad &f(\alpha)=0 \\[ 7pt ] \Longleftrightarrow \quad &\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。} \end{align*}

以上のことから、方程式の解が分かれば、左辺の因数を知ることができます。

たとえば、3次方程式の解が3つのうち2つ分かっていれば、2つの因数を知ることができます。この2つの因数を用いれば、残りの解や因数を求めることができます。

解から係数を決定してみよう

解から係数を決定してみましょう。ここでは、主に実数解を用います。

例題

\begin{align*} &\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}-21x+b=0 \\[ 7pt ] &\text{の解は $1 \ , \ 3 \ , \ c$ である。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を求めよ。} \end{align*}

例題の解答・解説

例題は、3次方程式の係数や定数項を求め、さらに残りの解を求める問題です。残りの解を求めるには、方程式の係数が決まる必要があります。方程式を決定することを優先しましょう。

3つの解のうち2つが与えられています。この2つの解を上手に使います。

例題の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$x=1 \ , \ 3$ が $3$ 次方程式の解であるので} \\[ 5pt ] &\quad 1^{\scriptsize{3}}+a \cdot 1^{\scriptsize{2}}-21 \cdot 1+b=0 \\[ 7pt ] &\quad 3^{\scriptsize{3}}+a \cdot 3^{\scriptsize{2}}-21 \cdot 3+b=0 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad a+b=20 \\[ 7pt ] &\quad 9a+b=36 \end{align*}

方程式とその解との関係を利用すると、定数a,bについての方程式が2つ得られます。

未知のものが2個なら、関係式も2個必要。

これらを連立して解きます。

例題の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a+b=20 \\[ 7pt ] &\quad 9a+b=36 \\[ 7pt ] &\text{これらを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=2 \ , \ b=18 \\[ 7pt ] &\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=0 \end{align*}

定数a,bの値から方程式の係数が決まりました。これで、残りの解を求めることができます。与えられた解から左辺の因数に注目します。

例題の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=0 \\[ 7pt ] &\text{この方程式は $x=1 \ , \ 3$ を解にもつので、} \\[ 5pt ] &\text{左辺は $(x-1)(x-3)$ で割り切れる。} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)=x^{\scriptsize{2}}-4x+3 \\[ 7pt ] &\text{より、左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)\left(x+6 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、解は} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ , \ 3 \ , \ -6 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad c=-6 \end{align*}

因数を利用した因数分解では、左辺を因数で割るのが基本的な解法です。

左辺が2つの因数をもつので、その積である2次式で左辺を割り算します(筆算は省略)。残りの因数(商)は1次式となり、余りはもちろん0となります。この結果を用いて左辺を因数分解します。

他の解法として、2つの因数がそれぞれ1次式なので、組立除法を2回行っても良いでしょう。組立除法の方がお勧めです。

左辺を因数分解する方法

  • 因数の積(例題では2次式)で左辺を割る。
  • 因数(1次式)ごとに組立除法を行う。
  • 恒等式による係数比較。

組立除法のやり方についてはすでに学習済みです。以下の記事が参考になるでしょう。

恒等式による係数比較の上手な使い方

恒等式による係数比較では、方程式の係数が決まった後でなら、定数項だけに注目すれば良いので簡単です。

解答例3⃣を差し替えるのであれば、以下のようになります。

例題の解答例 3⃣ の代わり

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=0 \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+2x^{\scriptsize{2}}-21x+18=\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)\left(x+k \right) \\[ 7pt ] &\text{とおく。両辺の定数項を比較すると} \\[ 5pt ] &\quad 18=3k \\[ 7pt ] &\text{これより} \\[ 5pt ] &\quad k=6 \\[ 7pt ] &\text{左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)\left(x-3 \right)\left(x+6 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、解は} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ , \ 3 \ , \ -6 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad c=-6 \end{align*}

係数比較では、必要な項の係数だけに注目します。すべて展開する必要がないので、それほど大きな負担になりません。

例題の別解例

最初から恒等式による係数比較によって解くこともできます。

例題の別解例

\begin{align*} &\text{$1 \ , \ 3 \ , \ c$ が方程式の解であり、} \\[ 5pt ] &\text{$x^{\scriptsize{3}}$ の係数が $1$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}-21x+b=\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)\left(x-c \right) \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ。} \\[ 5pt ] &\text{右辺を展開して整理すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}-21x+b=x^{\scriptsize{3}}-\left(c+4 \right)x^{\scriptsize{2}}+\left(4c+3 \right)x-3c \\[ 7pt ] &\text{係数を比較すると} \\[ 5pt ] &\quad a=-\left(c+4 \right) \\[ 7pt ] &\quad -21=4c+3 \\[ 7pt ] &\quad b=-3c \\[ 7pt ] &\text{これらを解いて} \\[ 5pt ] &\quad a=2 \ , \ b=18 \ , \ c=-6 \end{align*}

右辺を展開して整理するときにミスしやすいです。丁寧に変形しましょう。

次は、実数解からの係数決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。