複素数と方程式｜実数解からの係数決定について

05/24/2021数学２

実数解からの係数決定を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{$x$ の方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+6=0 \\[ 7pt ] &\text{が $x=-1 \ , \ 3$ を解にもつとき、} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a \ , \ b$ の値を求めよ。} \\[ 5pt ] &\text{また、そのときの他の解を求めよ。} \end{align*}

問の解答・解説

４次方程式の４つの解のうち、２つが与えられています。この２つの解を用いて、係数についての方程式を２つ導きます。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+6=0 \\[ 7pt ] &\text{$x=-1 \ , \ 3$ が $3$ 次方程式の解であるので} \\[ 5pt ] &\quad \left(-1 \right)^{\scriptsize{4}}-\left(-1 \right)^{\scriptsize{3}}+a \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{2}}+b \cdot \left(-1 \right)+6=0 \\[ 7pt ] &\quad 3^{\scriptsize{4}}-3^{\scriptsize{3}}+a \cdot 3^{\scriptsize{2}}+b \cdot 3+6=0 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad a-b+8=0 \\[ 7pt ] &\quad 3a+b+20=0 \end{align*}

左辺にｘ＝３を代入した後の計算に注意しましょう。各項が３を共通因数にもつので、累乗の計算をする前に両辺を３で割ります。

できるだけ大きな数を扱わなくて済むようにしましょう。数が小さければ暗算しやすくなります。

小さな数を扱うようにしよう

\begin{align*} &\quad 3^{\scriptsize{4}}-3^{\scriptsize{3}}+a \cdot 3^{\scriptsize{2}}+b \cdot 3+6=0 \\[ 7pt ] &\text{両辺を $3$ で割って} \\[ 5pt ] &\quad 3^{\scriptsize{3}}-3^{\scriptsize{2}}+a \cdot 3+b \cdot 1+2=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 27-9+3a+b+2=0 \\[ 7pt ] &\quad 3a+b+20=0 \end{align*}

数が大きくなる計算よりも、数が小さくなる計算を優先しよう。

解答例1⃣の続きです。定数ａ，ｂについての方程式を連立して解きます。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a-b+8=0 \\[ 7pt ] &\quad 3a+b+20=0 \\[ 7pt ] &\text{これらを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=-7 \ , \ b=1 \\[ 7pt ] &\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}-7x^{\scriptsize{2}}+x+6=0 \end{align*}

与えられた２つの解から、左辺の因数が分かります。この因数を用いて左辺を因数分解します。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{4}}-x^{\scriptsize{3}}-7x^{\scriptsize{2}}+x+6=0 \\[ 7pt ] &\text{この方程式は $x=-1 \ , \ 3$ を解にもつので、} \\[ 5pt ] &\text{左辺は $(x+1)(x-3)$ で割り切れる。} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+1 \right)\left(x-3 \right)=x^{\scriptsize{2}}-2x-3 \\[ 7pt ] &\text{より、左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+1 \right)\left(x-3 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}+x-2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{さらに左辺を因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+1 \right)\left(x-3 \right)\left(x-1 \right)\left(x+2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、解は} \\[ 5pt ] &\quad x=-1 \ , \ 3 \ , \ 1 \ , \ -2 \\[ 7pt ] &\text{したがって、他の解は} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ , \ -2 \end{align*}

左辺の因数分解では、因数の２次式で４次式を割っています（筆算は省略）。また、２つの因数が１次式なので、組立除法を２回行っても構いません。個人的には組立除法の方をお勧めします。

例題で紹介した、恒等式による係数比較を利用しても解けます。ただ、利用するのが最初からであっても、方程式の係数が決まった後であっても、あまりお勧めできません。

なぜなら、与えられた４次方程式の解が２つなので、未知の因数が２次式（１次式２つ）となり、計算量が多くなるからです。恒等式による係数比較を利用するのであれば、残りの因数が１次式になるときにしましょう。

Recommended books

チャート式と言えば有名ですが、学校で配布されるのは、ほとんどが黄色か青色のどちらかです。数学を苦手にしている人にとっては、扱い辛く感じるかもしれません。ページ数も多いので尚更です。

オススメその１

日常学習では辞書的に利用できる参考書があると助かります。有名なのは、チャート式でしょう。

チャート式は、色別にレベル分けされています。学校で配布されるのは、青や黄のチャート式が多いと思います。ただし、青や黄の内容が高度だと感じるのであれば、いっそのこと白のチャート式の方が良いかもしれません。

『チャート式基礎と演習数学１＋Ａ増補改訂版』や『チャート式基礎と演習数学２＋Ｂ増補改訂版』では、より基礎的な内容が扱われています。教科書の内容を補完してくれるので、予習や復習を進めやすくなるでしょう。

基礎固めには白チャート。数学の苦手な生徒でも，安心して学習を進められます。教科書と併用しながらの学習や、基礎固めには最適の参考書。中堅私立大学の受験対策や、大学入学共通テストの準備にも役立つ一冊。本冊巻末に、大学入学共通テストの対策ができる「実践編」を追加。

チャート式基礎と演習数学１＋Ａ増補改訂版

created by Rinker

チャート式基礎と演習数学２＋Ｂ増補改訂版

created by Rinker

チャート式基礎と演習数学３改訂版

created by Rinker

チャート式公式サイト

増補改訂版チャート式基礎と演習数学１＋Ａ

増補改訂版チャート式基礎と演習数学２＋Ｂ

オススメその２

白チャートと同じように基礎的な内容を扱っているのが、スカイチャートと言われる『チャート式絶対に身につけたい数学１＋Ａの基本』や『チャート式絶対に身につけたい数学２＋Ｂの基本』です。速習型の参考書なので、たとえば、受験勉強を何から始めれば良いのか分からない人向けの教材です。

白チャート『チャート式基礎と演習数学１＋Ａ増補改訂版』は、５６０ページ（別冊解答編３６８ページ）あります。青チャートだと６４０ページ（別冊解答編４０４ページ）なので、白チャートも少ない方です。これらに対して、スカイチャート『チャート式絶対に身につけたい数学１＋Ａの基本』は１６０ページ（別冊解答編８８ページ）なので、かなりコンパクトにまとめられています。

使い方としては、予習や復習の際に類題をこなしたり、定期考査前の確認や仕上げに使ったりできます。また、受験勉強の準備にあたって、自分の基礎学力を短期間で確認することができます。

対象 … 教科書の内容を効率的に総復習したい人や、基礎知識を総整理したい人
特長 … 絶対に身につけたい基礎知識が詰まった良問を精選しました。「極意」では，問題を解くとき、効果的にアプローチするための手順や考え方をコンパクトにまとめました。例題と同等のレベルである練習問題を解くことで，例題の解法や基礎知識の理解度を確認できます。