数学の公式・定理集｜平面上のベクトル
目次
平面上のベクトル：１．ベクトルの演算
ベクトルの演算の基本
□と▲には、A, B 以外で、同じアルファベットが入る。
\begin{align*}
\overrightarrow { A\text{□} } + \overrightarrow { \text{□}B } &= \overrightarrow { AB } \\[ 10pt ]
\overrightarrow { \text{□}A } -\overrightarrow { \text{□}B } &= \overrightarrow { BA }
\end{align*}
\begin{align*}
\overrightarrow { \text{□▲} } &= -\overrightarrow { \text{▲□} } \\[ 10pt ]
\overrightarrow { \text{□□} } &= \vec { 0 }
\end{align*}
ベクトルの平行、分解
ベクトルの平行条件
\begin{align*}
&\vec{a} \neq \vec { 0 } \ , \ \vec{b} \neq \vec { 0 } \ \text{のとき} \\[ 10pt ]
&\quad \vec{a} \ /\,/ \ \vec{b} \ \iff \ \vec{b} = k \vec{a} \\[ 10pt ]
&\text{となる実数 $k$ がある。}
\end{align*}
ベクトルの分解
$\vec{a} \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} \neq \vec{0} \ , \ \vec{a} \nparallel \vec{b}$（平行でない）のとき、任意のベクトル $\vec{p}$ は、実数 $s \ , \ t$ を用いてただ１通りに $\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$ の形に表される。
平面上のベクトル：２．ベクトルの成分
ベクトルの相等、大きさ
ベクトルの相等
\begin{align*}
&( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ ) \\[ 10pt ]
&\iff \ a_{\tiny{1}} = b_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} = b_{\tiny{2}}
\end{align*}
ベクトルの大きさ
$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ )$ のとき
\begin{equation*}
\quad \left| \ \vec{a} \ \right| = \sqrt{ {a_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}} }
\end{equation*}
点の座標とベクトルの成分
$\overrightarrow { AB }$ の成分と大きさ
$A ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \ , \ B ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ )$ のとき
\begin{align*}
\quad \overrightarrow { AB } &= \left( b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \right) \\[ 10pt ]
\quad \left| \ \overrightarrow { AB } \ \right| &= \sqrt{ {\left( b_{\scriptsize{1}} \ – a_{\scriptsize{1}} \right)}^{\scriptsize{2}} + {\left( b_{\scriptsize{2}} \ – a_{\scriptsize{2}} \right)}^{\scriptsize{2}} }
\end{align*}
平面上のベクトル：３．ベクトルの内積
内積の定義、内積と成分
$\vec{a} \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} \neq \vec{0}$、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta \ (0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ})$ とする。
内積の定義
\begin{equation*}
\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \ \vec{a} \ \right| \left| \ \vec{b} \ \right| \cos \theta
\end{equation*}
内積と成分
$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ )$ のとき
\begin{align*}
\quad \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} \\[ 10pt ]
\quad \cos \theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \ \vec{a} \ \right| \left| \ \vec{b} \ \right|} \\[ 10pt ]
&= \frac{a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}}}{\sqrt{ {a_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}} } \ \sqrt{ {b_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {b_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}}} }
\end{align*}
内積と平行・垂直条件
$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ ) \neq \vec{0}$ とする。
平行条件
\begin{align*}
&\quad \vec{a} \ /\,/ \ \vec{b} \\[ 10pt ]
&\iff a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} = 0
\end{align*}
垂直条件
\begin{align*}
&\quad \vec{a} \perp \vec{b} \\[ 10pt ]
&\iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\[ 10pt ]
&\iff a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} = 0
\end{align*}
平面上のベクトル：４．ベクトルと平面図形
位置ベクトルと共点条件
分点の位置ベクトル
２点 $A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b})$ に対し、線分 AB を $m : n$ に分ける点の位置ベクトル
内分点の位置ベクトル
\begin{equation*}
\quad \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}
\end{equation*}
外分点の位置ベクトル
\begin{equation*}
\quad \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m -n}
\end{equation*}
共点条件
異なる３本以上の直線が１点で交わるための条件を共点条件と言う。
例）３点 P, Q, R の共点条件：位置ベクトルの一致を示す
\begin{equation*}
\quad \overrightarrow { OP } = \overrightarrow { OQ } = \overrightarrow { OR }
\end{equation*}
ベクトル方程式
直線のベクトル方程式
s, t を実数とする。
点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{d} \ ( \neq \vec{0} )$ に平行な直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { p } = \vec { a } + t\vec { d }
\end{equation*}
異なる２点 $A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { p } = (1 -t) \vec { a } + t\vec { b }
\end{equation*}
または
\begin{equation*}
\quad \vec { p } = s\vec { a } + t\vec { b } \ , \ s + t = 1
\end{equation*}
内積を使った直線のベクトル方程式
点 $A(\vec{a})$ を通り、$\vec{n} \ ( \neq \vec{0} )$ に垂直な直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { n } \cdot ( \vec{p} – \vec{a} ) = 0
\end{equation*}
平面上の点の存在範囲
△OAB に対して
\begin{equation*}
\quad \overrightarrow { OP } = s\overrightarrow { OA } + t\overrightarrow { OB }
\end{equation*}
のとき、点 P の存在範囲は①～③の３通り。
① 直線 AB
\begin{equation*}
\iff \ s+t=1
\end{equation*}
特に、線分 AB
\begin{equation*}
\iff \ s+t=1 \ , \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0
\end{equation*}
② △OAB の周および内部
\begin{equation*}
\iff \ s+t \leqq 1 \ , \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0
\end{equation*}
③ 平行四辺形 OACB の周および内部
\begin{equation*}
\iff \ 0 \leqq s \leqq 1 \ , \ 0 \leqq t \leqq 1
\end{equation*}
円のベクトル方程式
中心 $C ( \ \vec{c} \ )$、半径 $r$ の円のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \left| \ \vec { p } \ – \vec{c} \ \right| = r
\end{equation*}
ベクトルの応用
共線条件
異なる３個以上の点が同じ直線上にあるための条件を共線条件と言う。
点 C が直線 AB 上にある
\begin{equation*}
\iff \ \overrightarrow { AC } = k\overrightarrow { AB }
\end{equation*}
となる実数 $k$ がある
点 P が直線 AB 上にある
\begin{equation*}
\iff \ \overrightarrow { OP } = s\overrightarrow { OA } + t\overrightarrow { OB } \ , \ s+t=1
\end{equation*}
となる実数 $s \ , \ t$ がある
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