数学２
今回は、虚数解からの係数決定について学習しましょう。前回、実数解からの係数決定を学習しましたが、それとの違いを意識しながら学習しましょう。
これまでは２次方程式が中心でしたが、ここでは、主に虚数解を用いて、３次方程式や４次方程式などの高次方程式の係数を決定します。
方程式とその解との関係
方程式とその解との関係は、実数解と同じように、虚数解であっても成り立ちます。
方程式とその解との関係 1⃣
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad f(\alpha)=0
\end{align*}
当たり前ですが、解を方程式に代入すると等式が成り立ちます。右辺が０なので、解を代入すると左辺も０となります。等式が成り立つのは、解を方程式に代入したときだけです。
実数解であれば、以下の事柄も成り立ちます。
方程式とその解との関係 2⃣
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad f(\alpha)=0 \\[ 7pt ]
&\text{したがって、$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。}
\end{align*}
これは剰余の定理や因数定理を考えると理解できるでしょう。
左辺に解を代入すると、式の値が０となります。剰余の定理から、左辺を１次式ｘ－αで割った余りが０となるということです。
１次式ｘ－αで割った余りが０となるので、因数定理が成り立ちます。ですから、左辺は１次式ｘ－αを因数にもつことが分かります。
方程式とその解との関係まとめ
\begin{align*}
&\text{$x=\alpha$ が $f(x)=0$ の解} \\[ 5pt ]
\Longleftrightarrow \quad &f(\alpha)=0 \\[ 7pt ]
\Longleftrightarrow \quad &\text{$f(x)$ は $x-\alpha$ を因数にもつ。}
\end{align*}
方程式の解のうち実数解が分かれば、方程式とその解との関係（まとめ）を用いて、方程式の係数を決定することができます。ただし、虚数解が分かっている場合、以下の事柄も利用します。
複素数の相等
\begin{align*}
&\text{$A \ , \ B$ が 実数のとき} \\[ 5pt ]
&\quad A+Bi=0 \quad \Longleftrightarrow \quad A=0 \ \text{かつ} \ B=0
\end{align*}
方程式に虚数解を代入すると、等式が成り立ちます。方程式の右辺は０なので、左辺を実部と虚部に整理すれば、複素数の相等を利用できます。
複素数の相等によって、それぞれ係数についての方程式を２つ導くことができます。２つの方程式を連立して解けば、係数を決定することができます。
解から係数を決定してみよう
解から係数を決定してみましょう。ここでは、主に虚数解を用います。
例題
\begin{align*}
&\text{$3$ 次方程式} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{の $1$ つの解が $x=2+i$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、定数 $a \ , \ b$ の値と他の解を求めよ。}
\end{align*}
例題の解答・解説
３次方程式の係数を解を用いて決定します。ここでは虚数解が与えられています。
方程式の左辺に虚数解を代入して、左辺を実部と虚部に整理します。
例題の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{$x=2+i$ が方程式の解であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \left(2+i \right)^{\scriptsize{3}}+a\left(2+i \right)^{\scriptsize{2}}+b\left(2+i \right)+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad \left(2+i \right)^{\scriptsize{3}}=2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}i+3 \cdot 2i^{\scriptsize{2}}+i^{\scriptsize{3}} =2+11i \\[ 7pt ]
&\quad \left(2+i \right)^{\scriptsize{2}}=2^{\scriptsize{2}}+2 \cdot 2i+i^{\scriptsize{2}}=3+4i \\[ 7pt ]
&\text{となるので} \\[ 5pt ]
&\quad 2+11i+a\left(3+4i \right)+b\left(2+i \right)+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを $i$ について整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 3a+2b+12+\left(4a+b+11 \right)i=0
\end{align*}
左辺は複素数ですが、実部と虚部はそれぞれ実数です。ですから、複素数の相等を利用することができます。因数の話にならないので注意しましょう。
複素数の相等から方程式を２つ導きます。そして、これらを連立して解きます。
例題の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 3a+2b+12+\left(4a+b+11 \right)i=0 \\[ 7pt ]
&\text{$3a+2b+12 \ , \ 4a+b+11$ は実数であるので} \\[ 5pt ]
&\quad 3a+2b+12=0 \\[ 7pt ]
&\quad 4a+b+11=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=-2 \ , \ b=-3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-3x+10=0
\end{align*}
複素数の相等を利用する場合、実部と虚部が実数であることの断りを必ず記述しましょう。
複素数の相等は、実部と虚部が実数であるときに成り立つ。
係数が決定したので、方程式から残りの解を求めます。剰余の定理を利用すると、１次式で割った余りを式の値から求めることができます。このことを利用して、左辺の値が０となるｘの値を調べましょう。
この結果から余りが０となるときの１次式、つまり因数が分かるので、因数定理を利用することができます。
例題の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-3x+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{方程式より} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=x^{\scriptsize{3}}-2x^{\scriptsize{2}}-3x+10 \\[ 7pt ]
&\text{とすると} \\[ 5pt ]
&\quad f(-2)=\left(-2 \right)^{\scriptsize{3}}-2 \cdot \left(-2 \right)^{\scriptsize{2}}-3 \cdot \left(-2 \right)+10=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$f(x)$ は $x+2$ を因数にもつので} \\[ 5pt ]
&\quad f(x)=\left(x+2 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \right)
\end{align*}
因数の１次式が分れば、左辺を因数分解します。このとき、解答例では省略していますが、組立除法を利用しましょう。筆算するよりも簡単です。
まだ２次式が残っていますが、方程式は虚数解をもつことがすでに分かっています。ですから、これ以上、因数分解できません。
これ以降は、実数解のときと変わりません。方程式に戻した後、新たに方程式を導いて解を求めます。これが与式の解になります。
例題の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad f(x)=\left(x+2 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \right) \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+2 \right)\left(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{これより} \\[ 5pt ]
&\quad x+2=0 \quad \text{または} \quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x=-2 \quad \text{または} \quad x=2 \pm i \\[ 7pt ]
&\text{したがって、他の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=-2 \ , \ 2-i
\end{align*}
２次方程式が複素数を解にもつとき、共役な複素数も解にもつことを知っておきましょう。計算せずに他の解を求めることができます。
また、１次の項の係数が偶数であることに注目すると、応用版の解の公式を利用できます。慣れると暗算で解を求めることができるので、マスターしておくと便利です。
共役な複素数を利用する
実数を係数とする方程式が虚数解をもつとき、共役な複素数も解となります。このことを利用すると、上述とは異なる解法で例題を解くことができます。
例題の別解その１
例題の別解例その１
\begin{align*}
&\text{虚数解を $\alpha$ とし、共役な複素数を $\overline{\alpha}$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{$\alpha$ と $\overline{\alpha}$ が解であるので、方程式の左辺は} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x-\alpha \right)\left(x-\overline{\alpha} \right) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-\left(\alpha+\overline{\alpha} \right)x+\alpha \overline{\alpha} \\[ 7pt ]
&\text{で割り切れることを利用する。}
\end{align*}
これをもとに解いてみましょう。与えられた虚数解から共役な複素数と、それを因数にもつ２次式を導きます。
例題の別解例その１ 1⃣
\begin{align*}
&\text{実数を係数とする $3$ 次方程式が虚数解 $2+i$ をもつので、} \\[ 5pt ]
&\text{共役な複素数 $2-i$ もこの方程式の解である。} \\[ 5pt ]
&\text{よって、方程式の左辺 $x^{\scriptsize{3}}+ax^{\scriptsize{2}}+bx+10$ は} \\[ 5pt ]
&\quad \left\{ x-\left(2+i \right) \right\}\left\{ x-\left(2-i \right) \right\} \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \\[ 7pt ]
&\text{で割り切れる。}
\end{align*}
この２次式で方程式の左辺を割り算します。１次式での割り算ではないので、組立除法ではなく、筆算します。
３次式を２次式で割る 係数に文字が含まれると、計算ミスが多くなります。項の間に余白を取ると計算ミスを減らせます。
例題の別解例その１ 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{これで割り算した商は $x+(a+4)$ で、余りは} \\[ 5pt ]
&\quad \left(4a+b+11 \right)x-5a-10 \\[ 7pt ]
&\text{となり、これが $0$ に等しいので} \\[ 5pt ]
&\quad 4a+b+11=0 \quad \text{かつ} \quad -5a-10=0
\end{align*}
割り算のとき注意したいのは、係数が不明なので、割り切れずに余りが出てくることです。
あくまでも形式的に出てくるだけで、実際には割り切れるはずです。このことから新たに方程式を導くことができます。これを解くと、方程式の係数を決定できます。
割り算の余りが０であることから、係数・定数項についての方程式を導こう。
係数が決定できると、割り算した商も分かります。割る２次式と商は、ともに方程式の左辺の因数です。このことを利用して、左辺の３次式を因数分解します。因数分解は割り算の結果を上手に利用しましょう。
例題の別解例その１ 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 4a+b+11=0 \quad \text{かつ} \quad -5a-10=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=-2 \ , \ b=-3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x^{\scriptsize{2}}-4x+5 \right)\left(x+2 \right)=0 \\[ 7pt ]
&\text{これより} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}}-4x+5=0 \quad \text{または} \quad x+2=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x=2 \pm i \quad \text{または} \quad x=-2 \\[ 7pt ]
&\text{したがって、他の解は} \\[ 5pt ]
&\quad x=-2 \ , \ 2-i
\end{align*}
すでに気付いている人もいるかもしれませんが、一般に、実数を係数とする３次方程式は、少なくとも１つの実数解をもつことが知られています。
例題の別解その２
別解の２つ目です。
例題の別解例その２
\begin{align*}
&\text{$3$ つ目の解を $k$ として、$3$ 次方程式の解と係数の} \\[ 5pt ]
&\text{関係を利用する。共役な複素数を $\overline{\alpha}$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{また、$3$ 次方程式 $ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=0$ の解を} \\[ 5pt ]
&\text{$\alpha \ , \ \beta \ , \ \gamma$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{c}{a} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \beta \gamma=-\frac{d}{a} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。}
\end{align*}
２つ目の解法では、３次方程式の解と係数の関係を用います。この関係はもう少し後で学習するので、ここでは解説しません。
次は、虚数解からの係数決定を扱った問題を実際に解いてみましょう。
