複素数と方程式｜剰余の定理について

05/24/2021数学２

今回は、剰余の定理について学習しましょう。剰余の定理を扱った問題は、入試ではマーク形式と記述形式のどちらでも頻出です。しっかりマスターしましょう。

剰余の定理

剰余の定理は、整式の割り算、もう少し詳しく説明すると、整式を割り算したときの余りについての定理です。

剰余の定理を紹介する前に、整式の定義を確認しておきましょう。

整式の表し方

$\begin{align*} &\text{$x$ の整式を $P(x) \ , \ Q(x)$ などと書く。} \\[ 5pt ] &\text{また、$x$ に数 $k$ を代入したときの} \\[ 5pt ] &\text{$P(x)$ の値を $P(k)$ と書く。} \end{align*}$

整式の表し方は予め定義されていることが多いので、それを参考に記述しましょう。

整式を1次式で割ったときの余り

ある整式を１次式で割ったときの余りを考えます。この余りについて成り立つ定理が剰余の定理です。

剰余の定理では、以下の２つの事柄が成り立ちます。

剰余の定理

$\begin{align*} &\text{1⃣ 整式 $P(x)$ を $1$ 次式 $x-k$ で割ったときの余りは} \\[ 5pt ] &\quad P(k) \quad \text{（剰余の定理）} \\[ 10pt ] &\text{2⃣ 整式 $P(x)$ を $1$ 次式 $ax+b$ で割ったときの余りは} \\[ 5pt ] &\quad P \left(-\frac{b}{a} \right) \end{align*}$

２つ目の事柄は、剰余の定理を一般化したものです。１次式であれば、同じように成り立ちます。

なぜこのような事柄が成り立つのかを考えてみましょう。

剰余の定理を導く

剰余の定理を導いてみましょう。その前に商や余りを定義しておきます。

剰余の定理を導く 1⃣

$\begin{align*} &\text{整式 $P(k)$ を $x-k$ で割ったときの商を} \\[ 5pt ] &\text{$Q(x)$ とおく。また、このときの余りは} \\[ 5pt ] &\text{$0$ 次式以下、つまり数 $R$ とおける。} \end{align*}$

１次式で割ったときの余りは、１次式よりも次数の低い式でなければなりません。このことは「整式の割り算」という単元ですでに学習しています。ですから、１次式で割ったときの余りは定数になります。

式と証明｜整式の割り算について

整式を商や余りを用いて表すと、等式を導くことができます。

剰余の定理を導く 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{整式 $P(x)$ を商や余りを用いて} \\[ 5pt ] &\text{表すと、等式} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=(x-k)Q(x)+R \\[ 7pt ] &\text{が得られる。} \end{align*}$

得られた等式のｘに数ｋを代入します。

剰余の定理を導く 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P(x)=(x-k)Q(x)+R \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{この等式の両辺に $x=k$ を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad P(k)=0 \cdot Q(k)+R \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad P(k)=R \\[ 7pt ] &\text{これより、整式 $P(x)$ を $x-k$ で割った} \\[ 5pt ] &\text{ときの余りは $P(k)$ となる。} \end{align*}$

右辺のＱ(ｘ)は商です。商を含む項はｘ＝ｋのとき０になってしまうので、右辺には定数の余りだけが残ります。

剰余の定理の利点は、整式を１次式で割った余りが、式の値を求めることで分かるところです。ただし、代入するｘの値は、１次式の値が０となる値です。

整式の割り算では筆算が基本ですが、計算ミスをしやすいのが難点です。余りを求めるだけの問題であれば、筆算よりも剰余の定理を優先しましょう。

一般化された定理でも同じように導けます。

剰余の定理を導く 4⃣

$\begin{align*} &\text{整式 $P(x)$ を $ax+b \ (a \neq 0)$ で割ったときの} \\[ 5pt ] &\text{商を $Q(x)$、余りを $R$ とすると、等式} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=(ax+b)Q(x)+R \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ。この等式の両辺に} \\[ 5pt ] &\quad x= -\frac{b}{a} \\[ 7pt ] &\text{を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad P \left(-\frac{b}{a} \right)= \left\{a\left(-\frac{b}{a} \right)+b \right\} \ Q\left( -\frac{b}{a} \right) +R \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad P \left(-\frac{b}{a} \right)=0 \cdot Q\left( -\frac{b}{a} \right) +R \\[ 7pt ] &\quad \therefore P \left(-\frac{b}{a} \right)=R \\[ 7pt ] &\text{これより、整式 $P(x)$ を $ax+b$ で割った} \\[ 5pt ] &\text{ときの余りは} \\[ 5pt ] &\quad P\left( -\frac{b}{a} \right) \\[ 7pt ] &\text{となる。} \end{align*}$

一般化された定理でも、商を含む項が０となるので、残るのは定数の余りだけです。

剰余の定理を使ってみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題

次の整式を、 $[ \ ]$ 内の $1$ 次式で割ったときの余りを求めよ。

$\begin{align*} &(1) \quad x^{\scriptsize{3}}+2x-1 \quad [ x-3 ] \\[ 7pt ] &(2) \quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}+3x+1 \quad [ x+1 ] \\[ 7pt ] &(3) \quad 2x^{\scriptsize{4}}+3x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}-2x+3 \quad [ x-1 ] \\[ 7pt ] &(4) \quad x^{\scriptsize{3}}-5x^{\scriptsize{2}}+4 \quad [ 2x-1 ] \end{align*}$

例題(1)の解答・解説

例題(1)

次の整式を、 $[ \ ]$ 内の $1$ 次式で割ったときの余りを求めよ。

$\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{3}}+2x-1 \quad [ x-3 ] \end{equation*}$

整式を１次式で割ったときの余りを求めるので、剰余の定理を利用することができます。

１次式ｘ－３で割るので、与式にｘ＝３を代入します。このときの式の値が求める余りです。

例題(1)の解答例

$\begin{align*} &\quad P(x)=x^{\scriptsize{3}}+2x-1 \\[ 7pt ] &\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ] &\quad P(3)=3^{\scriptsize{3}}+2 \cdot 3-1 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad P(3)=32 \\[ 7pt ] &\text{よって、求める余りは $32$} \end{align*}$

整式に代入する値さえ間違えなければ、単なる式の値を求める計算です。

例題(2)の解答・解説

例題(2)

次の整式を、 $[ \ ]$ 内の $1$ 次式で割ったときの余りを求めよ。

$\begin{equation*} \quad 2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}+3x+1 \quad [ x+1 ] \end{equation*}$

１次式ｘ＋１で割るので、与式にｘ＝－１を代入します。このときの式の値が求める余りです。

例題(2)の解答例

$\begin{align*} &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}-x^{\scriptsize{2}}+3x+1 \\[ 7pt ] &\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ] &\quad P(-1)=2 \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{3}}-\left(-1 \right)^{\scriptsize{2}}+3 \cdot \left(-1 \right)+1 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad P(-1)=-5 \\[ 7pt ] &\text{よって、求める余りは $-5$} \end{align*}$

代入する値が負の数なので注意しましょう。

例題(3)の解答・解説

例題(3)

次の整式を、 $[ \ ]$ 内の $1$ 次式で割ったときの余りを求めよ。

$\begin{equation*} \quad 2x^{\scriptsize{4}}+3x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}-2x+3 \quad [ x-1 ] \end{equation*}$

１次式ｘ－１で割るので、与式にｘ＝１を代入します。このときの式の値が求める余りです。

例題(3)の解答例

$\begin{align*} &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{4}}+3x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}-2x+3 \\[ 7pt ] &\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=2 \cdot 1^{\scriptsize{4}}+3 \cdot 1^{\scriptsize{3}}-3 \cdot 1^{\scriptsize{2}}-2 \cdot 1+3 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=3 \\[ 7pt ] &\text{よって、求める余りは $3$} \end{align*}$

例題(4)の解答・解説

例題(4)

次の整式を、 $[ \ ]$ 内の $1$ 次式で割ったときの余りを求めよ。

$\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{3}}-5x^{\scriptsize{2}}+4 \quad [ 2x-1 ] \end{equation*}$

１次式２ｘ－１で割るので、与式にｘ＝１/２を代入します。このときの式の値が求める余りです。

例題(4)の解答例

$\begin{align*} &\quad P(x)=x^{\scriptsize{3}}-5x^{\scriptsize{2}}+4 \\[ 7pt ] &\text{とすると、剰余の定理より} \\[ 5pt ] &\quad P \left(\frac{1}{2} \right)=\left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{3}}-5 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+4 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad P \left(\frac{1}{2} \right)=\frac{23}{8} \\[ 7pt ] &\text{よって、求める余りは $\frac{23}{8}$} \end{align*}$

代入する値が分数なので注意しましょう。

次は、剰余の定理を扱った問題を実際に解いてみましょう。