数学の公式・定理集｜三角関数

05/01/2021公式・定理,数学２

1. 三角関数：１．三角関数
2. 三角関数：２．加法定理
3. おすすめの数学辞典

三角関数：１．三角関数

弧度法と三角関数

弧度法

$\begin{align*} \bullet \ &1^\circ = \frac{\pi}{180} \ \text{ラジアン} \\[ 10pt ] \bullet \ &1 \ \text{ラジアン} \ = {\left( \frac{180}{\pi} \right)}^\circ \end{align*}$

半径 r、中心角 θ ラジアンの扇形について

弧の長さℓ

$\begin{equation*} \quad l = r \theta \end{equation*}$

面積 S

$\begin{equation*} \quad S = \frac{1}{2} lr = \frac{1}{2} r^{\scriptsize{2}} \theta \end{equation*}$

三角関数の性質

n は整数、符号は複合同順とする。

$\begin{align*} &\sin ( \theta + 2n\pi ) = \sin \theta \\[ 10pt ] &\cos ( \theta + 2n\pi ) = \cos \theta \\[ 10pt ] &\tan ( \theta + 2n\pi ) = \tan ( \theta + n\pi ) = \tan \theta \end{align*}$

$\begin{align*} &\sin ( -\theta ) = -\sin \theta \\[ 10pt ] &\cos ( -\theta ) = \cos \theta \\[ 10pt ] &\tan ( -\theta ) = -\tan \theta \end{align*}$

$\begin{align*} &\sin ( \pi \pm \theta ) = \mp \sin \theta \\[ 10pt ] &\cos ( \pi \pm \theta ) = -\cos \theta \\[ 10pt ] &\tan ( \pi \pm \theta ) = \pm \tan \theta \end{align*}$

$\begin{align*} &\sin \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \cos \theta \\[ 10pt ] &\cos \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \mp \sin \theta \\[ 10pt ] &\tan \left( \frac{\pi}{2} \pm \theta \right) = \mp \frac{1}{\tan \theta} \end{align*}$

周期

三角関数の周期

k は正の定数とする。

$\begin{align*} \begin{array}{c|c|c|c} \text{関数} & y= \sin k\theta & y = \cos k\theta & y = \tan k\theta \\ \hline \text{周期} & \frac{2\pi}{k} & \frac{2\pi}{k} & \frac{\pi}{k} \\ \end{array} \end{align*}$

三角関数：２．加法定理

加法定理

符号は複合同順とする。

$\begin{align*} &\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\[ 10pt ] &\cos ( \alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\[ 10pt ] &\tan ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{align*}$

２倍角、半角、３倍角の公式

２倍角の公式

$\begin{align*} \bullet \ \sin 2\alpha = \ &2\sin \alpha \cos \alpha \\[ 10pt ] \bullet \ \cos 2\alpha = \ &\cos^{\scriptsize{2}} \alpha – \sin^{\scriptsize{2}} \alpha \\[ 7pt ] = \ &1 – 2\sin^{\scriptsize{2}} \alpha \\[ 7pt ] = \ &2\cos^{\scriptsize{2}} \alpha – 1 \\[ 10pt ] \bullet \ \tan 2\alpha = \ &\frac{2\tan \alpha}{1 – \tan^{\scriptsize{2}} \alpha} \end{align*}$

半角の公式

$\begin{align*} \bullet \ \sin^{\scriptsize{2}} {\frac{\alpha}{2}} = \ &\frac{1 – \cos \alpha}{2} \\[ 10pt ] \bullet \ \cos^{\scriptsize{2}} {\frac{\alpha}{2}} = \ &\frac{1 + \cos \alpha}{2} \\[ 10pt ] \bullet \ \tan^{\scriptsize{2}} {\frac{\alpha}{2}} = \ &\frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \end{align*}$

３倍角の公式

$\begin{align*} \bullet \ \sin 3\alpha = \ &3\sin \alpha – 4\sin^{\scriptsize{3}} \alpha \\[ 10pt ] \bullet \ \cos 3\alpha = \ &-3\cos \alpha + 4\cos^{\scriptsize{3}} \alpha \end{align*}$

積 ⇄ 和の公式、合成

積 ⇄ 和の公式

積 → 和

$\begin{align*} &\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} \\[ 10pt ] &\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) \ – \ \sin (\alpha – \beta) \right\} \\[ 10pt ] &\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} \\[ 10pt ] &\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) \ – \ \cos (\alpha – \beta) \right\} \end{align*}$

和 → 積

$\begin{align*} &\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \ \cos \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ] &\sin A \ – \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2} \ \sin \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ] &\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2} \ \cos \frac{A-B}{2} \\[ 10pt ] &\cos A \ – \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2} \ \sin \frac{A-B}{2} \end{align*}$

三角関数の合成

$a \neq 0$ または

$b \neq 0$ とする。

$\begin{align*} &\quad a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}} \sin (\theta + \alpha) \\[ 10pt ] &\text{ただし、$\alpha$ は以下を満たす。} \\[ 10pt ] &\quad \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}}} \\[ 10pt ] &\quad \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}}} \end{align*}$