式と証明｜恒等式の係数決定（係数比較法）について

06/06/2021数学２

今回は恒等式の係数決定について学習しましょう。

恒等式は扱い自体はそれほど難しい式ではありません。ただ、方程式に似ているので、恒等式が方程式の一種だと勘違いしている人がいます。

しかし、恒等式は、方程式とは全く意味が異なる式です。恒等式と方程式との違いを知り、使い分けできるようにしましょう。

恒等式とは

恒等式とは、式に含まれている各文字にどのような値を代入しても、その両辺の式の値が存在する限り、つねに成り立つ等式のことです。等式がつねに成り立つとき、その等式をそれらの文字についての恒等式と言います。

文字にどのような値を代入しても等式が成り立つのは、両辺の式がともに同じときです。また、一方の式の係数が不明であっても、恒等式になるのであれば、係数が他方の式のものと同じでなければなりません。

恒等式の定義を踏まえて、以下の等式が恒等式かどうかを調べてみましょう。

例題１

$\begin{align*} &\text{次の等式が恒等式であるかどうかを調べよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad (x-1)^{\scriptsize{2}} = x^{\scriptsize{2}}+1 \\[ 7pt ] &(2) \quad (a+b)^{\scriptsize{2}}+(a-b)^{\scriptsize{2}} = 2(a^{\scriptsize{2}} + b^{\scriptsize{2}}) \end{align*}$

例題１(1)の与式について、左辺を展開して、右辺と比べてみましょう。

例題１(1)の解答例

$\begin{align*} &\text{与式の左辺を展開すると、} \\[ 5pt ] &\quad \text{(左辺)} = x^{\scriptsize{2}} -2x+1 \\[ 5pt ] &\text{よって、右辺と一致しないので恒等式ではない。} \end{align*}$

例題１(1)の等式では、左辺と右辺が一致しないので、特定の値でしか等式は成り立ちません。

ちなみに、ｘ＝０のとき、等式は成り立ちます。これは方程式の解になります。特定の値のときだけ等式が成り立つものが方程式です。

恒等式と方程式とは全く別物なので、混同しないように気を付けましょう。

文字にどんな値を代入しても等式が成り立つのが恒等式、文字に特定の値を代入すると等式が成り立つのが方程式。

例題１(2)の与式について、左辺を展開して、右辺と比べてみましょう。

例題１(2)の解答例

与式の左辺を展開すると

$\begin{align*} \quad \text{(左辺)} &= a^{\scriptsize{2}}+2ab+b^{\scriptsize{2}}+a^{\scriptsize{2}}-2ab+b^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &= 2(a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}) \end{align*}$

よって、右辺と一致するので恒等式である。

例題１(2)の等式では、左辺と右辺が一致しました。ですから、ａやｂにどんな値を代入しても等式が成り立ちます。

恒等式では、等式を満たす文字の値を考えるのではありません。恒等式となるために、左辺や右辺の係数がどのようになれば良いかを考えます。

恒等式の性質

恒等式にはいくつか性質があります。その性質を利用して問題を解いていきます。２つの整式がｘについての式であるときを考えます。

恒等式の性質その１

$P \ , \ Q$ が $x$ についての整式であるとき

① $P=0$ が恒等式 ⇔ $P$ の各項の係数はすべて $0$ である。

② $P=Q$ が恒等式 ⇔ $P$ と $Q$ の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。

性質その１の①では、右辺が０であるので、ｘにどんな値を代入しても等式が成り立つためには、係数がすべて０でなければなりません。

性質その１の②では、両辺がｘについての整式であるので、たとえば、左辺が３次式であれば、右辺も３次式でなければなりません。また、次数だけでなく、同じ次数の項の係数はともに等しくなければなりません。

他にも性質があります。

恒等式の性質その２

$P \ , \ Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき、等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つならば、等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式である。

この性質は少し分かりづらいですが、恒等式と方程式の違いを理解していれば分かる性質です。

証明は省きますが、一般に「ｎ次方程式の異なる解はｎ個以下である」ことが知られています。たとえば、２次方程式は、最大で２個の解をもちます。

等式Ｐ＝Ｑ、すなわちＰ－Ｑ＝０は、恒等式か方程式のどちらかだと考えられます（厳密に言えば、定数＝０のときもある）。

ここで、もし、等式Ｐ－Ｑ＝０が方程式であれば、ｎ個の異なるｘの値だけで成立します。

しかし、(ｎ＋１)個の異なるｘの値で等式が成立したとすれば、等式は方程式ではありません。方程式の異なる解の条件を満たさないからです。このような等式が恒等式です。

２次式であれば、３個の値を代入し、３次式であれば、４個の値を代入して、等式が成り立つか調べよう。

未定係数法

恒等式の未知の係数のことを未定係数と言います。この未定係数を求めるには、恒等式の性質を利用します。求め方には２通りの方法があります。

未定係数法は２通り

係数比較法
数値代入法

係数比較法は、恒等式の性質その１を利用した方法です。この方法では、両辺の同じ次数の項の係数がそれぞれ等しいことを利用します。

また、数値代入法は、恒等式の性質その２を利用した方法です。この方法では、両辺に適当な数字をいくつか代入して、連立方程式などを解きます。

こちらの方が直接的で、とっつきやすいですが、注意点があります。結局、係数を求めるために特定の値しか代入していないので、必要条件が成り立つだけで、十分ではありません。ですから、逆の確認が必要になります。

詳しくは別記事で解説します。

式と証明｜恒等式の係数決定（数値代入法）について

ここでは係数比較法を取り上げます。

係数比較法を利用して解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

例題２

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。

$\begin{equation*} \quad 3x^{\scriptsize{2}}-2x-1 = a(x+1)^{\scriptsize{2}}+b(x+1)+c \end{equation*}$

例題の解答・解説

係数比較法を利用するために、等式の右辺を展開して整理します。

例題２の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{等式の右辺を $x$ について整理すると、} \\[ 5pt ] &\quad \text{(右辺)} = ax^{\scriptsize{2}} +(2a+b)x +a+b+c \\[ 7pt ] &\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ] &\quad 3x^{\scriptsize{2}}-2x-1 = ax^{\scriptsize{2}} +(2a+b)x +a+b+c \end{align*}$

左辺はｘについて降べきの順に整理されているので、右辺も同様に整理します。

両辺にある同じ次数の項について、係数を比較します。同じ次数の項では、係数がともに等しくなるので、係数の関係式を導出することができます。

例題２の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 3x^{\scriptsize{2}}-2x-1 = ax^{\scriptsize{2}} +(2a+b)x +a+b+c \\[ 7pt ] &\text{両辺の同じ次数の項の係数を比較すると} \\[ 5pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} 3 =a \\ -2 =2a+b \\ -1 =a+b+c \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{この連立方程式を解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=-8 \ , \ c=4 \end{align*}$

３つの方程式を連立した連立方程式であっても、解き方は２つのときと変わりません。連立方程式の解き方の基本は、代入法や加減法を利用して、文字を１種類ずつ消去していくことです。

解答例2⃣で省略した計算は以下のようになります。

連立方程式の計算

$\begin{align*} &\quad \left\{ \begin{array}{l} 3 =a \quad \cdots \text{①} \\ -2 =2a+b \quad \cdots \text{②} \\ -1 =a+b+c \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{①を②に代入して} \\[ 5pt ] &\quad -2=6+b \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b=-8 \\[ 7pt ] &\text{これと①を③に代入して} \\[ 5pt ] &\quad -1=3-8+c \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad c=4 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=-8 \ , \ c=4 \end{align*}$

係数比較法を利用する場合、連立方程式を解くことが中心になります。未知の係数のぶんだけ式が必要で、それらを上手に使って係数を決定します。たいていは３つの方程式を連立して解きます。

次は、恒等式の係数比較法を扱った問題を実際に解いてみましょう。

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Posted by kiri

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