式と証明｜恒等式の係数決定（数値代入法）について

06/06/2021数学２

今回は、恒等式の係数を決定する方法の１つである、数値代入法について学習しましょう。

恒等式の係数を決定する方法は、未定係数法と言われ、２通りの方法があります。未定係数法のうち、係数比較法については前回の記事で紹介しましたが、今回は数値代入法について紹介します。

数値代入法による恒等式の係数決定でも、係数を求めることは難しくありません。ただし、係数比較法と異なり、係数を求めた後に必ずやらなければならないことがあります。答えが分かったから良いではなく、なぜ必要なのかを理解しましょう。

未定係数法

恒等式の未知の係数のことを未定係数と言います。この未定係数を求めるには、恒等式の性質を利用します。

恒等式の性質は以下の通りです。

恒等式の性質その１

$P \ , \ Q$ が $x$ についての整式であるとき

① $P=0$ が恒等式 ⇔ $P$ の各項の係数はすべて $0$ である。

② $P=Q$ が恒等式 ⇔ $P$ と $Q$ の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。

恒等式の性質その２

$P \ , \ Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき、等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つならば、等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式である。

これらの性質を利用して、未定係数を求めますが、その方法は2通りあります。

未定係数法は２通り

係数比較法
数値代入法

係数比較法は、恒等式の性質その１を利用した方法で、前回の記事で紹介済みです。

式と証明｜恒等式の係数決定（係数比較法）について

数値代入法は、恒等式の性質その２を利用した方法です。この方法では、両辺に適当な数字をいくつか代入して、連立方程式などを解きます。

ここでは数値代入法を取り上げます。

数値代入法

係数比較法では、係数を求めるための連立方程式を解く必要があります。この連立方程式の計算が少し複雑で面倒なときがあります。そのようなときに、数値代入法であれば簡単に係数を求めることができます。

数値代入法では、直接、文字に数値を代入して、係数の関係式を導出します。与式に合わせて数値を代入するので、係数比較法のときよりも簡単な形の式ができます。ここが数値代入法のメリットです。

数値代入法を利用して解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

例題

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。

$\begin{equation*} \quad a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1) = 6 \end{equation*}$

例題の解答・解説

等式を見ると、右辺は定数（０次式）ですが、左辺は定数ａ，ｂ，ｃが０でない値だとすれば、２次式です。

与式のように同じ次数の項が存在しない場合、係数比較法だと面倒な計算になります。

係数比較法で解く場合

数値代入法との比較のために、係数比較法で解いてみます。左辺を展開して整理します。

係数比較法による解答例 1⃣

等式の左辺を $x$ について整理すると

$\begin{align*} &\quad \text{(左辺)} \ = (a+b+c)x^{\scriptsize{2}} +(-3a-5b-4c)x +2a+6b+3c \\[ 7pt ] &\text{であるので、} \\[ 5pt ] &\quad (a+b+c)x^{\scriptsize{2}} +(-3a-5b-4c)x +2a+6b+3c = 6 \end{align*}$

両辺にある同じ次数の項について、係数を比較します。

係数比較法による解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad (a+b+c)x^{\scriptsize{2}} +(-3a-5b-4c)x +2a+6b+3c = 6 \end{align*}$

両辺の同じ次数の項の係数を比較すると

$\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=0 &\quad \cdots \text{①} \\ -3a-5b-4c&=0 &\quad \cdots \text{②} \\ 2a+6b+3c&=6 &\quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \end{align*}$

連立方程式を見ると、明らかに計算が面倒そうな式です。もちろん、このくらいの連立方程式であれば、解けて当たり前の計算ですが、それでも面倒なのは確かです。

①～③式について、加減法を用いて解きます。

係数比較法による解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a+b+c&=0 &\quad \cdots \text{①} \\ -3a-5b-4c&=0 &\quad \cdots \text{②} \\ 2a+6b+3c&=6 &\quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{②＋③より} \\[ 5pt ] &\quad -a+b-c=6 \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\text{①＋④より} \\[ 5pt ] &\quad 2b=6 \quad \text{よって} \ b=3 \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\text{①×$4$＋②より} \\[ 5pt ] &\quad a-b=0 \quad \text{よって} \ a=3 \quad \cdots \text{⑥} \\[ 7pt ] &\text{①，⑤，⑥より} \\[ 5pt ] &\quad 3+3+c=0 \quad \text{よって} \ c=-6 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}$

①～③式のすべてに３つの定数ａ，ｂ，ｃが含まれるので、代入法よりも加減法の方が計算しやすいでしょう。

数値代入法で解く場合

係数比較法であれば面倒な計算になります。しかし、数値代入法であれば、驚くほど簡単に計算することができます。

数値を代入するので、与式をよく観察しましょう。できるだけ扱いやすい式を導出できそうな数値を考えます。

例題

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。

$\begin{equation*} \quad a(x-1)(x-2)+b(x-2)(x-3)+c(x-3)(x-1) = 6 \end{equation*}$

与式の各項が因数分解されていることに注目して、数値を代入します。

数値代入法による解答例 1⃣

与式が $x$ についての恒等式であるならば、 $x$ にどのような値を代入しても等式が成り立つことを利用する。

$\begin{align*} &\text{$x=1$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad 2b=6 \\[ 7pt ] &\text{$x=2$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad -c=6 \\[ 7pt ] &\text{$x=3$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad 2a=6 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}$

とても簡単な形の式を導出できるので暗算できます。ただし、ここで終わってはいけません。

数値代入法では、自分に都合の良い数値を代入したので、あくまでも代入した数値に対して等式が成り立つように定めた（必要条件）だけです。

このままでは、他の数値について等式が成り立つことを何も保証していません。そこで、係数を求めた後、与式が恒等式になることを必ず確認（十分条件）しなければなりません。

求めた係数を左辺に代入して、与式が恒等式となることを実際に確かめます。ちなみに、「逆に」以下については別解があります。

数値代入法による解答例 2⃣

逆に、このとき与式の左辺は

$\begin{align*} \quad &3(x-1)(x-2)+3(x-2)(x-3)-6(x-3)(x-1) \\[ 7pt ] = \ &3(x^{\scriptsize{2}}-3x+2)+3(x^{\scriptsize{2}}-5x+6)-6(x^{\scriptsize{2}}-4x+3) \\[ 7pt ] = \ &6 \end{align*}$

となり、右辺と一致するので、与式は恒等式となる。

$\begin{align*} &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}$

数値代入法による解答例 2⃣（別解）

このとき、等式の両辺は $2$ 次以下の整式であり、異なる $3$ 個の $x$ の値に対して等式が成り立つ。

よって、この等式は恒等式である。

$\begin{align*} &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=3 \ , \ c=-6 \end{align*}$

別解は、恒等式の性質その２から言えることです。

恒等式の性質その２

別解の方が答案としては簡潔になりますが、実際に確認しているわけではないので、計算ミスに気付かないデメリットがあります。ですから、実際に与式が恒等式であることを確認する方が無難でしょう。

次は、恒等式の係数比較法を扱った問題を実際に解いてみましょう。

数学２式と証明,恒等式,数値代入法,未定係数法

Posted by kiri

積分法｜区分求積法を扱った入試問題を解いてみよう

式と証明｜恒等式の係数決定（係数比較法）について