複素数と方程式｜因数の見つけ方について

$$\begin{align*} &\quad P(x)=ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d \\[ 7pt ] &\text{に対して} \\[ 5pt ] &\quad P\left(\frac{q}{p} \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{とすると、$P(x)$ は $px-q$ で割り切れる。} \\[ 5pt ] &\text{商を} \\[ 5pt ] &\quad lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \\[ 7pt ] &\text{とすると、次の等式が成り立つ。} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=\left(px-q \right) \left(lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \right) \\[ 7pt ] &\text{ただし、係数はすべて整数とする。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=\left(px-q \right) \left(lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{$x^{\scriptsize{3}}$ の項の係数と定数項を比較とすると} \\[ 5pt ] &\quad a=pl \ , \ d=-qn \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \text{$p$ は $P(x)$ の最高次の項の係数 $a$ の約数} \\[ 5pt ] &\quad \text{$q$ は $P(x)$ の定数項 $d$ の約数} \\[ 5pt ] &\text{である。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ax^{\scriptsize{3}}+bx^{\scriptsize{2}}+cx+d=\left(px-q \right) \left(lx^{\scriptsize{2}}+mx^{\scriptsize{2}}+n \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \text{$p$ は $P(x)$ の最高次の項の係数 $a$ の約数} \\[ 5pt ] &\quad \text{$q$ は $P(x)$ の定数項 $d$ の約数} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{ここで、$x=k$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad pk-q=0 \\[ 7pt ] &\text{となるのは} \\[ 5pt ] &\quad k=\frac{q}{p} \\[ 7pt ] &\text{である。} \\[ 5pt ] &\text{すなわち、$P(k)=0$ となる $k$ の候補は} \\[ 5pt ] &\quad \pm \frac{ \text{定数項の約数} }{ \text{最高次の係数の約数} } \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{次の整式の因数を求めよ。} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\text{$P(k)=0$ となる $k$ の候補は} \\[ 5pt ] &\quad \pm \frac{ \text{定数項の約数} }{ \text{最高次の係数の約数} } \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ] &\text{とおく。} \\[ 5pt ] &\text{最高次の係数は $2$ であるので、その約数は $1 \ , \ 2$} \\[ 5pt ] &\text{定数項は $6$ であるので、その約数は $1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 6$} \\[ 5pt ] &\text{よって、$P(k)=0$ となる $k$ の候補は} \\[ 5pt ] &\quad \pm \frac{1}{1} \ , \ \pm \frac{2}{1} \ , \ \pm \frac{3}{1} \ , \ \pm \frac{6}{1} \ , \ \pm \frac{1}{2} \ , \ \pm \frac{2}{2} \ , \ \pm \frac{3}{2} \ , \ \pm \frac{6}{2} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \pm \frac{1}{2} \ , \ \pm 1 \ , \ \pm \frac{3}{2} \ , \ \pm 2 \ , \ \pm 3 \ , \ \pm 6 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \pm \frac{1}{2} \ , \ \pm 1 \ , \ \pm \frac{3}{2} \ , \ \pm 2 \ , \ \pm 3 \ , \ \pm 6 \\[ 7pt ] &\text{$x=-\frac{1}{2}$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P\left(-\frac{1}{2} \right)=2 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(-\frac{1}{2} \right)-6=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+\frac{1}{2}$ すなわち $2x+1$ を因数にもつ。} \\[ 10pt ] &\text{$x=\frac{1}{2}$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P\left(\frac{1}{2} \right)=2 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(\frac{1}{2} \right)-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-\frac{1}{2}$ すなわち $2x-1$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=-1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(-1)=2 \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(-1 \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(-1 \right)-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+1$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(1)=2 \cdot 1^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 1^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 1-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=-\frac{3}{2}$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P\left(-\frac{3}{2} \right)=2 \cdot \left(-\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(-\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(-\frac{3}{2} \right)-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+\frac{3}{2}$ すなわち $2x+3$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=\frac{3}{2}$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P\left(\frac{3}{2} \right)=2 \cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(\frac{3}{2} \right)-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-\frac{3}{2}$ すなわち $2x-3$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=-2$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(-2)=2 \cdot \left(-2 \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(-2 \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(-2 \right)-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+2$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=2$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(2)=2 \cdot 2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 2-6 = 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \\[ 10pt ] &\text{$x=-3$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(-3)=2 \cdot \left(-3 \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(-3 \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(-3 \right)-6 = 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+3$ を因数にもつ。} \\[ 10pt ] &\text{$x=3$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(3)=2 \cdot 3^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 3^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 3-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-3$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=-6$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(-6)=2 \cdot \left(-6 \right)^{\scriptsize{3}}+3 \cdot \left(-6 \right)^{\scriptsize{2}}-11 \cdot \left(-6 \right)-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x+6$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{$x=6$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad P(6)=2 \cdot 6^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 6^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 6-6 \neq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、$P(x)$ は $x-6$ を因数にもたない。} \\[ 10pt ] &\text{したがって、$P(k)=0$ となる $k$ は} \\[ 5pt ] &\quad k=-\frac{1}{2} \ , \ 2 \ , \ -3 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad P(x)=2x^{\scriptsize{3}}+3x^{\scriptsize{2}}-11x-6 \\[ 7pt ] &\text{とおく。} \\[ 5pt ] &\quad P(2)=2 \cdot 2^{\scriptsize{3}}+3 \cdot 2^{\scriptsize{2}}-11 \cdot 2-6 =0 \\[ 7pt ] &\text{であるので、$P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-2 \right) \left(2x^{\scriptsize{2}}+7x+3 \right) \\[ 7pt ] &\text{さらに因数分解すると} \\[ 5pt ] &\quad P(x)=\left(x-2 \right) \left(x+3 \right) \left(2x+1 \right) \\[ 7pt ] &\text{したがって、$P(x)$ は $x-2$ のほかに} \\[ 5pt ] &\quad x+3 \ , \ 2x+1 \\[ 7pt ] &\text{をもつので、因数定理より} \\[ 5pt ] &\quad P(-3)=0 \\[ 7pt ] &\quad P \left(-\frac{1}{2} \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{が成り立つ。} \end{align*}$$