数学の公式・定理集｜データの分析

07/11/2021公式・定理,数学１

データの分析

データの代表値

平均値 $\bar{ x }$

$\begin{align*} \bar{x} = & \frac{1}{n} \bigl( x_{\tiny{1}} + x_{\tiny{2}} + \cdots \cdots +x_{\tiny{n}} \bigr) \\[ 10pt ] = & \frac{1}{n} \sum_{ i = 1 }^{ n } x_{\tiny{i}} \end{align*}$

中央値(メジアン)

データを値の大きさの順に並べたとき、中央の位置にくる値。

データの大きさが偶数のときは、中央に並ぶ２つの値の平均値。

最頻値(モード)

データにおける最も個数の多い値。

度数分布表に整理したときは、度数が最も大きい階級の階級値。

箱ひげ図

データのうち５つの数値を箱と線(ひげ)で表した図。

箱ひげ図に必要な５つの数値

最小値
第１四分位数 Q₁
中央値（＝第２四分位数 Q₂ ）
第３四分位数 Q₃
最大値

データの分析｜データの散らばりについてその１

分散と標準偏差

偏差

変量

$x$ の各値と平均値

$\bar{ x }$ との差

変量が

$x = x_{\tiny{1}} \ , \ x_{\tiny{2}} \ , \cdots \cdots , \ x_{\tiny{n}}$ であるとき、

偏差は

$x_{\tiny{1}} \ – \bar{x} \ , \ x_{\tiny{2}} \ – \bar{x} \ , \cdots \cdots , \ x_{\tiny{n}} \ – \bar{x}$

分散

偏差の２乗の平均値

$\begin{align*} s^{\scriptsize{2}} = & \frac{1}{n} \Bigl\{ {\bigl( x_{\tiny{1}} \ – \bar{x} \bigr)}^{\scriptsize{2}} + {\bigl( x_{\tiny{2}} \ – \bar{x} \bigr)}^{\scriptsize{2}} + \\[ 10pt ] & \quad \cdots \cdots + {\bigl( x_{\tiny{n}} \ – \bar{x} \bigr)}^{\scriptsize{2}} \Bigr\} \\[ 10pt ] = & \frac{1}{n} \sum_{ i = 1 }^{ n } {\bigl( x_{\tiny{i}} \ – \bar{x} \bigr)}^{\scriptsize{2}} \end{align*}$

標準偏差

分散の正の平方根

$\begin{equation*} s = \sqrt{\text{分散}} \end{equation*}$

分散と平均値の関係式

$\begin{equation*} s^{2} = \overline{x^{\scriptsize{2}}} – {\left( \bar{x} \right)}^{\scriptsize{2}} \end{equation*}$

分散の式を変形すると得られる。

(分散) = (２乗の平均) – (平均の２乗)

データの分析｜データの散らばりについてその２

相関係数

２つの変量

$x \ , \ y$ の共分散

$s_{\tiny{xy}}$ は

$\begin{align*} s_{\tiny{xy}} = & \frac{1}{n} \Big\{ {\left( x_{\tiny{1}} \ – \bar{x} \right)}{\left( y_{\tiny{1}} \ – \bar{y} \right)} + {\left( x_{\tiny{2}} \ – \bar{x} \right)}{\left( y_{\tiny{2}} \ – \bar{y} \right)} + \\[ 10pt ] & \quad \cdots \cdots + {\left( x_{\tiny{n}} \ – \bar{x} \right)}{\left( y_{\tiny{n}} \ – \bar{y} \right)} \Bigr\} \\[ 10pt ] = & \frac{1}{n} \sum_{ i = 1 }^{ n } {\left( x_{\tiny{i}} \ – \bar{x} \right)}{\left( y_{\tiny{i}} \ – \bar{y} \right)} \end{align*}$

変数

$x \ , \ y$ の標準偏差をそれぞれ

$s_{\tiny{x}} \ , \ s_{\tiny{y}}$ とし、

$x$ と

$y$ の共分散を

$s_{\tiny{xy}}$ とすると、相関係数

$r$ は

$\begin{equation*} r = \frac{s_{\tiny{xy}}}{s_{\tiny{x}} \ s_{\tiny{y}}} \quad \left( -1 \leqq r \leqq 1 \right) \end{equation*}$

２つの変量

$x \ , \ y$ について、それぞれの平均値を

$\bar{x} \ , \ \bar{y}$ とし、

$\left( x- \bar{x} \right) \left( y- \bar{y} \right)$ の総和を

$a$ 、

${\left( x- \bar{x} \right)}^{2}$ の総和を

$b$ 、

${\left( y- \bar{y} \right)}^{2}$ の総和を

$c$ とするとき、相関係数

$r$ は

$\begin{align*} r = & \frac{s_{\tiny{xy}}}{s_{\tiny{x}} \ s_{\tiny{y}}} \\[ 10pt ] = & \frac{\frac{1}{n} \sum {\left( x_{\tiny{i}} \ – \bar{x} \right)}{\left( y_{\tiny{i}} \ – \bar{y} \right)}}{\sqrt{{\frac{1}{n} \sum {\left( x_{\tiny{i}} \ – \bar{x} \right)}^{2}} \cdot {\frac{1}{n} \sum {\left( y_{\tiny{i}} \ – \bar{y} \right)}^{2}}}} \\[ 10pt ] = & \frac{\frac{1}{n} \sum {\left( x_{\tiny{i}} \ – \bar{x} \right)}{\left( y_{\tiny{i}} \ – \bar{y} \right)}}{\frac{1}{n} \sqrt{{ \sum {\left( x_{\tiny{i}} \ – \bar{x} \right)}^{2}} \cdot { \sum {\left( y_{\tiny{i}} \ – \bar{y} \right)}^{2}}}} \\[ 10pt ] = & \frac{a}{\sqrt{bc}} \quad \left( -1 \leqq r \leqq 1 \right) \end{align*}$

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データの分析を扱った問題は、測定値や観測値が多いと手際よく表やグラフを使って整理していく必要があります。また、表やグラフの目の付け所も知っておかなければなりません。こればかりは頭で分かっていても、実際に整理したり、表やグラフを扱ったりしたことがないと手際よくできません。

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教科書だけでは足りない大学入試攻略7日間完成データの分析

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小学校の算数における資料の調べ方から始めて、高等学校の数学１における「データの分析」までを扱った「統計分野」の参考書。中学校までの復習を扱った「ホームルーム」、数学１データの分析で学習する内容をていねいに説明した「授業」、あらゆる問題形式（センター形式や記述式）を演習する「講習」の３部構成。好評だった初版のよいところを活かしつつ、2015年から実施された現行課程下の入試でのセンター試験の問題を追加したほか、私大・国公立入試で出題された問題のうち、とくに重要かつ今後の出題が見込まれるものを収録。