図形と方程式｜２直線の共有点と連立１次方程式の解について
２直線の共有点と連立１次方程式の解を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
次の連立方程式
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}の解が、次のようになるための条件を求めよ。
$\quad (1) \quad$ ただ $1$ 組の解をもつ
$\quad (2) \quad$ 解をもたない
$\quad (3) \quad$ 無数の解をもつ
問(1)の解答・解説
問(1)
次の連立方程式
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}の解が、次のようになるための条件を求めよ。
$\quad$ ただ $1$ 組の解をもつ
例題と同じように、直線という文言が出てきていません。与えられた方程式を直線の方程式と捉えることが大切です。
与えられた方程式を変形して、傾きと切片が分かるようにします。
問(1)の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}与えられた方程式を変形すると
\begin{align*} &\quad y=\frac{3}{2}x+2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{a}{3}x-\frac{c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}連立方程式①，②がただ１組の解をもてば、直線①，②は１点で交わります。２直線が１点で交わるのは、２直線の傾きが一致していないときです。
２直線の傾きが一致しないということは、言い換えると２直線が平行でないということです。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=\frac{3}{2}x+2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{a}{3}x-\frac{c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}連立方程式①，②がただ $1$ 組の解をもつための条件は、直線①，②が $1$ 点で交わる、すなわち、平行でないことである。
よって
\begin{align*} \quad -\frac{a}{3} \neq \frac{3}{2} \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad a \neq -\frac{9}{2} \end{align*}一般形での２直線の平行条件を利用した方がすっきり解けます。
問(1)の別解例
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}連立方程式がただ $1$ 組の解をもつための条件は、$2$ 直線の平行条件を満たさないことである。
よって
\begin{align*} \quad 3 \cdot 3-a \cdot \left(-2 \right) \neq 0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad a \neq -\frac{9}{2} \end{align*}直線の方程式を一般形のままで扱えるようになっておくと、答案作成も楽になります。
２直線が１点で交わる＝２直線が平行でない
問(2)の解答・解説
問(2)
次の連立方程式
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}の解が、次のようになるための条件を求めよ。
$\quad$ 解をもたない
例題(2)と同じ要領で解きます。直線の方程式については、問(1)の結果を利用します。
問(2)の解答例 1⃣
$(1)$ より
\begin{align*} &\quad y=\frac{3}{2}x+2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{a}{3}x-\frac{c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}連立方程式①，②が解をもたなければ、直線①，②は平行で一致しません。２直線が平行であるための条件は傾きが一致することです。
ただし、２直線が平行だからと言って、一致してはいけません。２直線が一致しないために切片の条件も考えます。これを踏まえて解答例の続きを記述します。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=\frac{3}{2}x+2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{a}{3}x-\frac{c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}連立方程式①，②が解をもたないための条件は、直線①，②が平行で一致しないことである。
よって
\begin{align*} \quad -\frac{a}{3} = \frac{3}{2} \quad \text{かつ} \quad -\frac{c}{3} \neq 2 \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad a = -\frac{9}{2} \quad \text{かつ} \quad c \neq -6 \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad a = -\frac{9}{2} \ , \ c \neq -6 \end{align*}２直線が平行で一致しない＝傾きは一致、切片は一致しない
問(3)の解答・解説
問(3)
次の連立方程式
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}の解が、次のようになるための条件を求めよ。
$\quad$ 無数の解をもつ
例題(3)と同じ要領で解きます。直線の方程式については、問(1)の結果を利用します。
問(3)の解答例 1⃣
$(1)$ より
\begin{align*} &\quad y=\frac{3}{2}x+2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{a}{3}x-\frac{c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}連立方程式①，②が無数の解をもてば、直線①，②が一致します。２直線が一致するための条件は、傾きと切片が一致することです。これを踏まえて解答例の続きを記述します。
問(3)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y=\frac{3}{2}x+2 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad y=-\frac{a}{3}x-\frac{c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}連立方程式①，②が無数の解をもつための条件は、直線①，②が一致することである。
よって
\begin{align*} \quad -\frac{a}{3} = \frac{3}{2} \quad \text{かつ} \quad -\frac{c}{3} = 2 \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad a = -\frac{9}{2} \quad \text{かつ} \quad c = -6 \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad a = -\frac{9}{2} \ , \ c = -6 \end{align*}２直線が一致 ＝ 傾きも切片も一致
なお、一般形のままで２直線が一致するための条件を利用することもできます。
問(3)の別解例
\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y+4=0 \\ ax+3y+c=0 \end{array} \right. \end{align*}連立方程式が無数の解をもつための条件は、$2$ 直線が一致することである。
よって
\begin{align*} \quad \frac{a}{3} = \frac{3}{-2} \quad \text{かつ} \quad \frac{3}{-2}=\frac{c}{4} \end{align*}すなわち
\begin{align*} \quad a = -\frac{9}{2} \quad \text{かつ} \quad c = -6 \end{align*}したがって
\begin{align*} \quad a = -\frac{9}{2} \ , \ c = -6 \end{align*}条件を利用するとき、分母に文字が含まれないように分数を作るのがコツです。
問では方程式①の係数がすべて分かっているので、それらが分母になるようにしています。
２直線が一致するための条件
$2$ 直線の方程式を
\begin{align*} &\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 \\[ 7pt ] &\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \end{align*}とするとき、$2$ 直線が一致するための条件は
\begin{align*} \quad \frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}} \end{align*}ただし、$a_{2} \neq 0 \ , \ b_{2} \neq 0 \ , \ c_{2} \neq 0$
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さいごにもう一度まとめ
- ２直線の共有点の個数と連立１次方程式の解の個数は一致する。
- ２直線が１点で交われば、２直線は平行でない（傾きは一致しない）。
- ２直線が平行であれば、傾きが一致する。
- ２直線が平行で一致しなければ、傾きは一致するが切片は一致しない。
- ２直線が一致すれば、傾きも切片も一致する。