整数の性質｜１次不定方程式について

08/15/2023数学Ａ

１次不定方程式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$(1)$ 方程式 $2x-3y=1$ の整数解をすべて求めよ。

$(2)$ 方程式 $2x-3y=4$ の整数解をすべて求めよ。

問(1)の解答・解説

問(1)

方程式 $2x-3y=1$ の整数解をすべて求めよ。

右辺が１である１次不定方程式はよく見かけるので、問(1)は基本的な問題と言えます。手順通りに進めていきましょう。

まず、１組の整数解を見つけましょう。

文字ｘ，ｙに値を代入して、両辺が等しくなるかどうかを確かめます。両辺が等しくなる、ここでは左辺の値が１となれば、そのときのｘ，ｙの値が整数解の１つです。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad 2x-3y=1 \quad \cdots \text{①} \end{align*}

において、$x=2 \ , \ y=1$ のとき

\begin{align*} \quad (\text{左辺}) = 2 \cdot 2 -3 \cdot 1 = 1 \end{align*}

より、等式が成り立つ。

よって

\begin{align*} \quad x=2 \ , \ y=1 \end{align*}

は整数解の $1$ 組。

整数解を見つけたら、この整数解を①式に代入します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad 2x-3y=1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x=2 \ , \ y=1 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \end{align*}

この整数解を①に代入すると

\begin{align*} \quad 2 \cdot 2 -3 \cdot 1 = 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

②式の左辺は整数解を代入しただけにしておきましょう。

次に、①式を②式（整数解の１組を①に代入した式）で減算します。右辺が０となることを確認しましょう。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad 2x-3y=1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2 \cdot 2 -3 \cdot 1 = 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①－②より

\begin{align*} &2x& &-3y& &=1 \\ -) \quad &2 \cdot 2& &-3 \cdot 1& &= 1 \\ \hline \\ &2(x-2)& &-3(y-1)& &= 0 \end{align*}

減算した後の式を変形しておきます。

問(1)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2\left(x-2 \right)-3\left(y-1 \right) = 0 \end{align*}

これを変形すると

\begin{align*} \quad 2\left(x-2 \right) = 3\left(y-1 \right) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

③式を導出したら、左辺と右辺の関係を調べます。

左辺は２の倍数で、右辺は３の倍数です。２と３が互いに素であることから、右辺のｘ－２は３の倍数となることが分かります。

問(1)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2\left(x-2 \right) = 3\left(y-1 \right) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

③において、$2$ と $3$ は互いに素である。

よって、$x-2$ は $3$ の倍数である。

これより、$k$ を整数とすると

\begin{align*} \quad x-2 = 3k \quad \cdots \text{④} \end{align*}

と表せるので

\begin{align*} \quad x = 3k+2 \end{align*}

ｘの値を求めることができました。③，④式からｙの値を求めます。

問(1)の解答例 6⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2\left(x-2 \right) = 3\left(y-1 \right) \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x-2 = 3k \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = 3k+2 \end{align*}

④を③に代入すると

\begin{align*} \quad 2 \cdot 3k = 3(y-1) \end{align*}

これを $y$ について変形すると

\begin{align*} \quad y = 2k+1 \end{align*}

したがって、求める整数解は

\begin{align*} \quad x = 3k+2 \ , \ y = 2k+1 \ \text{（ $k$ は整数）} \end{align*}

問(1)の記述例は以下のようになります。過程を省略している箇所があります。

問(1)の記述例

\begin{align*} \quad 2x-3y=1 \quad \cdots \text{①} \end{align*}

$x=2 \ , \ y=1$ は①の整数解の $1$ 組であるので

\begin{align*} \quad 2 \cdot 2 -3 \cdot 1 = 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①－②より

\begin{align*} \quad 2\left(x-2 \right) -3\left(y-1 \right) = 0 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2\left(x-2 \right) = 3\left(y-1 \right) \quad \cdots \text{③} \end{align*}

③において、$2$ と $3$ は互いに素であるので

\begin{align*} \quad x-2 = 3k \ \text{（ $k$ は整数）} \quad \cdots \text{④} \end{align*}

また、④を③に代入すると

\begin{align*} \quad y-1 = 2k \quad \cdots \text{⑤} \end{align*}

④，⑤より、求める整数解は

\begin{align*} \quad x = 3k+2 \ , \ y = 2k+1 \ \text{（ $k$ は整数）} \end{align*}

１組の整数解を見つけたら、決まった手順で進めていきます。繰り返し演習をこなせば、このくらいの答案を作成することは難しくありません。

一般解の式はいくつもある？

問(1)では、１組の整数解がｘ＝２，ｙ＝１であるとして一般解を求めました。しかし、見つけた整数解がｘ＝－１，ｙ＝－１やｘ＝５，ｙ＝３などである場合もあります。

実は、見つけた整数解によって一般解の式が変わります。ですから、模範解答と異なっていても間違いではない場合があります。

見つけた整数解によって一般解が決まるので、その表し方はいくつもあります。それでも、全く問題ありません。他の整数解も含めて表せるのが一般解だからです。

解答例で得られた一般解で確認してみましょう。整数ｋに色々な値を代入してみると、他の整数解が分かります。

一般解の確認

\begin{align*} \quad 2x-3y =1 \end{align*}

の整数解を

\begin{align*} \quad x = 3k+2 \ , \ y = 2k+1 \ \text{（ $k$ は整数）} \end{align*}

とする。

$k=-1$ のとき

\begin{align*} \quad x=-1 \ , \ y=-1 \end{align*}

また、$k=1$ のとき

\begin{align*} \quad x=5 \ , \ y=3 \end{align*}

自分の求めた一般解でも他の整数解をきちんと求めることができています。整数解を１次不定方程式に代入すると、等式が成り立つことを確認できます。

どうしても不安であれば、ｋに整数を代入して、他の整数解が得られるかを確認すると良いでしょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

方程式 $2x-3y=4$ の整数解をすべて求めよ。

問(2)の与式は、問(1)と少し関係があります。右辺の値が４に変わっています。

基本的には自分で１組の整数解を探しますが、それが難しいときもあります。ここでは、問(1)の結果を利用する解法を紹介しておきます。

方程式２ｘ－３ｙ＝１において、整数解の１組がｘ＝２，ｙ＝１でした。これを方程式２ｘ－３ｙ＝１に代入します。

問(2)の解答例 1⃣

$(1)$ より

\begin{align*} \quad 2x-3y=1 \end{align*}

の整数解の $1$ 組は

\begin{align*} \quad x=2 \ , \ y=1 \end{align*}

であるので

\begin{align*} \quad 2 \cdot 2 -3 \cdot 1 = 1 \end{align*}

右辺が１なので、このままだと問(2)の方程式ではありません。両辺にそれぞれ４を掛けて、問(1)の右辺に揃えます。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2 \cdot 2 -3 \cdot 1 = 1 \end{align*}

両辺に $4$ をそれぞれ掛けると

\begin{align*} \quad 4\left(2 \cdot 2 -3 \cdot 1 \right) = 1 \cdot 4 \end{align*}

両辺に４を掛けた後、両辺を整理します。このとき、左辺に注意しましょう。整理の仕方にコツがあります。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4\left(2 \cdot 2 -3 \cdot 1 \right) = 1 \cdot 4 \end{align*}

両辺をそれぞれ整理すると

\begin{align*} \quad 2 \cdot \left(2 \cdot 4 \right) -3 \cdot \left(1 \cdot 4 \right) = 4 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2 \cdot 8 -3 \cdot 4 = 4 \end{align*}

これは整数解の１組を代入したときの式である。

したがって、与式の整数解の $1$ 組は

\begin{align*} \quad x=8 \ , \ y=4 \end{align*}

左辺の整理では、交換法則と結合法則を利用しています。以上のことから、方程式２ｘ－３ｙ＝４の整数解の１組はｘ＝８，ｙ＝４であることが分かります。

問(1)，(2)の関係のように次の条件を満たすとき、この解法を利用できます。

問(1)の結果を上手に利用しよう

１次不定方程式の整数解の１組がすでに見つかっている。
２つの１次不定方程式の左辺が同じで、右辺の数だけが異なる。

このような条件を満たすとき、与式を整数倍するだけで１組の整数解を求めることができます。１組の整数解が見つかれば、同じ手順通りに一般解を求めます。

問(2)の記述例は以下のようになります。過程を省略している箇所があります。

問(2)の記述例

\begin{align*} \quad 2x -3y = 4 \quad \cdots \text{⑥} \end{align*}

$(1)$ の②より、両辺を $4$ 倍すると

\begin{align*} \quad 4\left(2 \cdot 2 -3 \cdot 1 \right) = 1 \cdot 4 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2 \cdot 8 -3 \cdot 4 = 4 \quad \cdots \text{⑦} \end{align*}

これより、$x=8 \ , \ y=4$ は⑥の整数解の $1$ 組である。

⑥－⑦より

\begin{align*} \quad 2\left(x-8 \right) -3\left(y-4 \right) = 0 \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad 2\left(x-8 \right) = 3\left(y-4 \right) \quad \cdots \text{⑧} \end{align*}

⑧において、$2$ と $3$ は互いに素であるので

\begin{align*} \quad x-8 = 3k \ \text{（ $k$ は整数）} \quad \cdots \text{⑨} \end{align*}

また、⑨を⑧に代入すると

\begin{align*} \quad y-4 = 2k \quad \cdots \text{⑩} \end{align*}

⑨，⑩より、求める整数解は

\begin{align*} \quad x = 3k+8 \ , \ y = 2k+4 \ \text{（ $k$ は整数）} \end{align*}

入試レベルであっても、１組の整数解を見つけるのはそれほど難しくありません。問題なのは、問(2)のような右辺が１ではない場合です。そんなときのために覚えておいて損はないでしょう。

どうしても見つからないとき、以下の手順で整数解を探しましょう。

右辺が１でないときの整数解の見つけ方

右辺が１のときの１次不定方程式を考えて、１組の整数解を見つける。
整数解が見つかったら、その方程式に代入する。
右辺が与式に揃うように、両辺を整数倍する。
左辺を整理すれば、見つけたかった整数解が分かる。

問(1)，(2)の解法にはこのような使い方もあります。めったにないでしょうが、入試で慌てずに済みます。

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