物理の要点｜力と運動その２

01/03/2022公式・定理,物理

1. 仕事と力学的エネルギー
2. 運動量と力積
3. 慣性力
- 3.1. 慣性力
4. 物理・物理基礎のオススメ本

仕事と力学的エネルギー

仕事

物体の移動する方向が力の向きと角

$\theta$ をなしているとき、力Fのした仕事

$W \ \mathrm{[J]}$ は、次のように表される。

$\begin{equation*} \quad W=F s \cos \theta \end{equation*}$

仕事率

力が単位時間あたりにする仕事を仕事率という。単位はワット

$\mathrm{[W]}$ である。時間

$t \ \mathrm{[s]}$ の間に

$W \ \mathrm{[J]}$ の仕事をするときの仕事率

$P \ \mathrm{[W]}$ は、次のように表される。

$\begin{equation*} \quad P=\frac{W}{t} \end{equation*}$

エネルギー

エネルギーをもっている

物体が他の物体に対して仕事をすることができる状態にあるとき、その物体はエネルギーをもっているという。エネルギーの単位は仕事の単位と同じジュール

$\mathrm{[J]}$ である。

運動エネルギー

質量

$m \ \mathrm{[kg]}$ の物体が速さ

$\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ で運動しているとき、その物体のもつ運動エネルギー

$E_{k} \ \mathrm{[J]}$ は、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad E_{k}=\frac{1}{2} m{\upsilon}^{\scriptsize{2}} \end{equation*}$

重力による位置エネルギー

質量

$m \ \mathrm{[kg]}$ の物体が基準点から

$h \ \mathrm{[m]}$ の高さにあるとき、物体のもつ重力による位置エネルギー

$E_{p} \ \mathrm{[J]}$ は、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad E_{p}=mgh \end{equation*}$

弾性力による位置エネルギー（弾性エネルギー）

ばね定数

$k \ \mathrm{[N/m]}$ のばねが

$x \ \mathrm{[m]}$ だけ伸びて（縮んで）いるとき、ばねのもつ弾性エネルギー

$E_{p} \ \mathrm{[J]}$ は、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad E_{p}=\frac{1}{2} kx^{\scriptsize{2}} \end{equation*}$

力学的エネルギーの保存

力学的エネルギー

運動エネルギー

$E_{k}$ と位置エネルギー

$E_{p}$ の和を力学的エネルギーという。

力学的エネルギー保存の法則

物体に保存力（重力や弾性力など）以外の力が仕事をしなければ、物体のもつ力学的エネルギーの総和は変わらない。このことを力学的エネルギー保存の法則という。単に、力学的エネルギー保存則ともいう。

運動量と力積

力積

物体に働いた力

$\overrightarrow{F} \ \mathrm{[N]}$ と、その力の働いた時間

$\varDelta t \ \mathrm{[s]}$ との積

$\overrightarrow{ F } \cdot \varDelta t \ \mathrm{[N \cdot s]}$ を力積という。力積はベクトルである。

運動量

質量

$m \ \mathrm{[kg]}$ の物体が速度

$\overrightarrow{ \upsilon } \ \mathrm{[m/s]}$ で運動しているとき、物体のもつ運動量

$\overrightarrow{p} \ \mathrm{[kg \cdot m/s]}$ は、次の式で表される。運動量もベクトルである。

$\begin{equation*} \quad \overrightarrow{p}=m \overrightarrow{\upsilon} \end{equation*}$

運動量と力積の関係

速度

$\overrightarrow{ \upsilon_{\scriptsize{1}} } \ \mathrm{[m/s]}$ で運動している質量

$m \ \mathrm{[kg]}$ の物体に力

$\overrightarrow{F} \ \mathrm{[N]}$ を時間

$\varDelta t \ \mathrm{[s]}$ だけ加えたとき、物体の速度が

$\overrightarrow{ \upsilon_{\scriptsize{2}} } \ \mathrm{[m/s]}$ になったとすると、次の関係が成り立つ。

$\begin{equation*} \quad m \overrightarrow{\upsilon_{\scriptsize{2}}}-m \overrightarrow{\upsilon_{\scriptsize{1}}}=F \cdot \varDelta t \end{equation*}$

この式は「物体は加えられた力積だけ運動量が増加する」ことを表している。

【注意】運動量と力積の単位は同じものである。

運動量保存の法則

２個以上の物体が互いに力を及ぼし合って運動が変化したとき、運動の変化の前後で、運動量の総和は変わらない。これを運動量保存の法則という。単に運動量保存則ともいう。

速度

$\overrightarrow{ \upsilon_{\scriptsize{A}} } \ , \ \overrightarrow{ \upsilon_{\scriptsize{B}} }$ で運動している物体Ａ（質量

$m_{\scriptsize{A}}$ ）と、物体Ｂ（質量

$m_{\scriptsize{B}}$ ）が衝突して、衝突後の速度が

$\overrightarrow{ {\upsilon_{\scriptsize{A}}}’ } \ , \ \overrightarrow{ {\upsilon_{\scriptsize{B}}}’ }$ になったとすると、次の関係が成り立つ。

$\begin{equation*} \quad m_{\scriptsize{A}} \ \overrightarrow{\upsilon_{\scriptsize{A}}}+m_{\scriptsize{B}} \ \overrightarrow{\upsilon_{\scriptsize{B}}}=m_{\scriptsize{A}} \ \overrightarrow{{\upsilon_{\scriptsize{A}}}’}+m_{\scriptsize{B}} \ \overrightarrow{{\upsilon_{\scriptsize{B}}}’} \end{equation*}$

反発係数（はね返り係数）

速度

$v_{\scriptsize{A}} \ , \ v_{\scriptsize{B}}$ で一直線上を運動している、物体Ａ（質量

$m_{\scriptsize{A}}$ ）と、物体Ｂ（質量

$m_{\scriptsize{B}}$ ）が衝突して、衝突後の速度が

${\upsilon_{\scriptsize{A}}}’ \ , {\upsilon_{\scriptsize{B}}}’$ になったとすると、このときの物体Ａ，Ｂの反発係数（はね返り係数）eは、速度の符号を含めて、次のように表される。

$\begin{equation*} \quad e=-\frac{{\upsilon_{\scriptsize{B}}}’-{\upsilon_{\scriptsize{A}}}’}{\upsilon_{\scriptsize{B}}-\upsilon_{\scriptsize{A}}} \end{equation*}$

また、

$e$ の値は

$0 \leqq e \leqq 1$ の範囲にあり、値によって次のようにいう。