物理の要点｜力と運動その３

01/03/2022公式・定理,物理

1. 円運動
2. 単振動
3. 万有引力
4. 物理・物理基礎のオススメ本

円運動

等速円運動

速度

半径

$r \ \mathrm{[m]}$ の円軌道上を角速度

$\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ で等速円運動している物体の速度

$\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ は、次のように表される。また、速度の向きは円の接線向きである。

$\begin{equation*} \quad \upsilon=r \omega \end{equation*}$

周期

半径

$r \ \mathrm{[m]}$ の円軌道上を角速度

$\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ で等速円運動している物体の速度

$\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ があるときの周期

$T \ \mathrm{[s]}$ は、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad T=\frac{2 \pi r}{\upsilon}=\frac{2 \pi}{\omega} \end{equation*}$

加速度

上述のような等速円運動をしている物体に生じる加速度は、円の中心向きで、その大きさ

$a \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ は、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad a=\frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=r{\omega}^{\scriptsize{2}} \end{equation*}$

円運動の運動方程式

運動方程式

直線運動の場合の運動方程式の加速度

$a$ の代わりに、等速円運動の加速度を用いたものが、円運動の運動方程式である。

円運動の運動方程式

$\begin{align*} &\text{直線運動における運動方程式} \\[ 5pt ] &\quad ma=F \\[ 7pt ] &\text{の $a$ に} \\[ 5pt ] &\quad a=\frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=r{\omega}^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] &\text{を代入すると} \\[ 5pt ] &\quad m \frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=F \\[ 7pt ] &\text{または} \\[ 5pt ] &\quad mr{\omega}^{\scriptsize{2}}=F \\[ 7pt ] &\text{これが円運動の運動方程式である。} \end{align*}$

向心力

円運動の運動方程式における

$F$ は、物体に働く力の合力で、円軌道の中心を向く力となるので、向心力と呼ばれる。

遠心力（非慣性系）

等速円運動をしている物体を、それと同じ角速度で回転している座標系から見ると、円の中心とは反対向きに慣性力が働いているように見える。この見かけ上の力を遠心力という。遠心力の大きさ

$F \ \mathrm{[N]}$ は、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad F=m \frac{{\upsilon}^{\scriptsize{2}}}{r}=mr{\omega}^{\scriptsize{2}} \end{equation*}$

この場合、物体に働く力はつり合っていると考えればよい。

単振動

半径

$A \ \mathrm{[m]}$ の円周上を角速度

$\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ で等速円運動している物体の正射影の運動は、振幅

$A \ \mathrm{[m]}$ 、角振動数

$\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ の単振動に相当する。この単振動の変位

$x \ \mathrm{[m]}$ 、速度

$\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ 、加速度

$a \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ は、それぞれ次の式で表される。

変位

$\begin{equation*} \quad x=A \sin {\omega t} \end{equation*}$

速度

$\begin{equation*} \quad \upsilon=A \omega \cos {\omega t} \end{equation*}$

加速度

$\begin{equation*} \quad a=-A{\omega}^{\scriptsize{2}} \sin {\omega t}=-{\omega}^{\scriptsize{2}} x \end{equation*}$

加速度の式のマイナスは、加速度の向きが変位の向きと反対であることを示す。

単振動の復元力

単振動をする質量

$m \ \mathrm{[kg]}$ の物体に働く力

$F \ \mathrm{[N]}$ は、運動方程式から次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad F=ma=-m {\omega}^{\scriptsize{2}} x \quad \cdots \text{①} \end{equation*}$

この力は、物体の変位と反対向きで、物体を元の位置に戻すように働くので、復元力と呼ばれる。①式の

$m {\omega}^{\scriptsize{2}}$ を

$K$ とおくと、次の②式のようになる。

$\begin{equation*} \quad F=-Kx \quad \cdots \text{②} \end{equation*}$

②式から、復元力は変位

$x$ に比例し、変位と反対向きに働く力であることが分かる。逆に、物体に②式で示される力

$F$ が働くときは、物体は単振動をする。この単振動の運動方程式は、①，②式から次のように表せる。

$\begin{equation*} \quad m \cdot \left(-{\omega}^{\scriptsize{2}} x \right)=-Kx \quad \cdots \text{③} \end{equation*}$

③式から角振動数

$\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ は、次の式で表される。

③より

$\begin{equation*} \quad {\omega}^{\scriptsize{2}}=\frac{K}{m} \end{equation*}$

$\omega \gt 0$ より

$\begin{equation*} \quad \omega=\sqrt{\frac{K}{m}} \quad \cdots \text{④} \end{equation*}$

④式を周期の式に代入すると、単振動の周期

$T \ \mathrm{[s]}$ は、次の式で表される。

④より

$\begin{equation*} \quad T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}} \end{equation*}$

単振り子

長さ

$l \ \mathrm{[m]}$ の単振り子は、振幅が小さいとき、近似的に単振動をする。その周期

$T \ \mathrm{[s]}$ は、重力加速度の大きさを

$g \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ とすると、次のように表される。

$\begin{equation*} \quad T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \end{equation*}$

万有引力

質量

$m \ \mathrm{[kg]} \ , \ M \ \mathrm{[kg]}$ の２つの物体が距離

$r \ \mathrm{[m]}$ だけ離れて存在するとき、両者の間に働く万有引力

$F \ \mathrm{[N]}$ は、次のように表される。

$\begin{equation*} \quad F=G \frac{mM}{r^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}$

ただし、

$G$ は万有引力定数で、

$\begin{equation*} \quad G=6.67 \times 10^{\scriptsize{-11}} \quad \mathrm{N \cdot m^{\scriptsize{2}} / {kg}^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}$

天体上の重力加速度

地球などの天体の表面にある物体に働く重力は、天体と物体との間に働く万有引力にほかならない。天体の表面の重力加速度の大きさを

$g \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ 、天体の質量を

$M \ \mathrm{[kg]}$ 、半径を

$R \ \mathrm{[m]}$ 、物体の質量を

$m \ \mathrm{[kg]}$ とすると、重力加速度の大きさ

$g \ \mathrm{[m/s^{\scriptsize{2}}]}$ は、次のように表される。

$\begin{equation*} \quad mg=G \frac{mM}{R^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}$

よって

$\begin{equation*} \quad g= \frac{GM}{R^{\scriptsize{2}}} \end{equation*}$

万有引力の位置エネルギー

質量

$M \ \mathrm{[kg]}$ の物体の中心から距離

$r \ \mathrm{[m]}$ の点にある質量

$m \ \mathrm{[kg]}$ の物体の位置エネルギーは、無限遠の点を基準にすると、次の式で表される。

$\begin{equation*} \quad U=-G \frac{Mm}{r} \end{equation*}$

ケプラーの法則

ケプラーの第１法則

惑星は、太陽を１つの焦点とする楕円軌道上を公転する。

ケプラーの第２法則

惑星と太陽とを結ぶ線分（動径）が一定時間に描く面積は一定である（面積速度一定の法則）。惑星の近日点、遠日点での速さをそれぞれ

$\upsilon_{\scriptsize{1}} \ , \ \upsilon_{\scriptsize{2}}$ とし、近日点、遠日点の太陽からの距離をそれぞれ

$r_{\scriptsize{1}} \ , \ r_{\scriptsize{2}}$ とすると、ケプラーの第２法則から、次の関係が成り立つ。

$\begin{equation*} \quad r_{\scriptsize{1}} \upsilon_{\scriptsize{1}}=r_{\scriptsize{2}} \upsilon_{\scriptsize{2}} \end{equation*}$

ケプラーの第３法則

惑星の公転周期

$T \ \mathrm{[s]}$ の２乗は、惑星の公転軌道の長半径

$a \ \mathrm{[m]}$ の３乗に比例する。

$\begin{equation*} \quad T^{\scriptsize{2}}=ka^{\scriptsize{3}} \end{equation*}$

ただし、

$k$ は比例定数で、全惑星に共通である。

物理・物理基礎のオススメ本

おすすめその１

宇宙一わかりやすい高校物理（力学・波動）
宇宙一わかりやすい高校物理（電磁気・熱・原子）

物理入門者や、物理を苦手にしている人に導入書としておすすめです。教科書が学習の中心であるべきですが、どうしても教科書で理解できない箇所が出てきたら本書で補完すると良いでしょう。イラストが豊富なので独学でも使えます。

宇宙一わかりやすい高校物理（力学・波動）

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分冊になっているので、力学と波動以外の分野はもう１冊の方になります。

宇宙一わかりやすい高校物理（電磁気・熱・原子）

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おすすめその２

秘伝の物理講義［力学・波動］
秘伝の物理講義［電磁気・熱・原子］

YouTubeで完全公開されている講義を再現したのが本冊です。また、別冊の「動画テキスト兼ポイント集」で物理の「わからない」を解決できます。公開模試、学校平均点全国No.1を取らせた実力派教師の講義は一読の価値あり。独学にも向き、標準以上も対応可能です。

秘伝の物理講義［力学・波動］

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分冊になっているので、力学と波動以外の分野はもう１冊の方になります。

秘伝の物理講義［電磁気・熱・原子］

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おすすめその３

物理教室（河合塾series）

所有していますが、これ１冊で基礎から応用まで十分対応できます。理系志望者は一読してほしいのが本書です。

物理の内容が分野ごとに章立てされており、各分野ごとに筋道を通した理解ができます。網羅性が高いのは当然ですが、「物理的な見方や考え方」が自然に身につくように丁寧に解説されています。

また、入試を意識して問題を多く扱っているのも特徴で、問題集代わりにも使えます。基礎を身に着けたい人は参考書として、応用力を養いたい人は問題集として、実力に応じて使いこなせる構成になっています。

物理教室４訂版

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問題集の『物理のエッセンス』は有名ですが、同じ河合塾seriesなので相性も良いです。

物理のエッセンス（力学・波動）４訂版

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物理のエッセンス（熱・電磁気・原子）４訂版

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おすすめその４

Ｎｅｗｔｏｎ大図鑑シリーズ物理大図鑑

高校までに学校で習う物理には、主に５つの分野（力学・熱力学・波動・電磁気・原子）があります。本書では、これら５分野に加えて、相対性理論や超ひも理論の基本的なエッセンスも網羅されています。物理に興味がある人はもちろん、物理を学びなおしたい人にもおすすめです。

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Posted by kiri