式と証明｜絶対値を含む不等式の証明について
絶対値を含む不等式の証明を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
絶対値を含む不等式の証明問題です。すでに証明された不等式が与えられています。この結果を利用して、例題(2)の別解と同じ要領で各問を解いていきます。
問(1)の解答・解説
問(1)
与えられた不等式と、証明したい不等式とをよく見比べましょう。どの文字をどのように置き換えれば良いか気付くはずです。
問(1)の解答例
文字１つだけの単純な置き換えです。特に難しくありません。絶対値の性質③を利用しています。
絶対値の性質③
問(2)の解答・解説
問(2)
問(1)と同じように、２つの不等式をよく見比べます。特に、それぞれの右辺をよく見比べましょう。
問(2)の解答例
問(2)では、２つの文字ａ，ｂをそれぞれ置き換える必要がありました。少し工夫が必要なので難しいかもしれませんが、良問だと思います。
問(3)の解答・解説
問(3)
問(1)，(2)と同じように、２つの不等式をよく見比べます。右辺を見比べると、項が２つから３つに増えています。かなりの工夫が必要です。
問(3)の解答例 1⃣
これまでと同じ要領で絶対値の中の項を置き換えました。左辺は同じになりましたが、右辺が同じになりませんでした。
①式の右辺を見ると、与えられた不等式の左辺があります。与えられた結果をもう一度利用します。
問(3)の解答例 2⃣
与えられた不等式の両辺に、０以上の数を加えても大小関係は変わりません。このことを利用して、②式が導かれました。
①式の右辺と、②式の左辺は共通です。このことを利用すれば、①式の左辺と②式の右辺との大小関係を導くことができます。
問(3)の解答例 3⃣
問(3)も差のつきやすい良問でした。問(3)では、一回の置き換えでは与式を導けないので、右辺だけ、左辺だけと片方ずつ同じになるように段階を踏んでいます。一回で上手く置き換えできなくても、慌てずに段階を踏んでみましょう。
絶対値を含む不等式の証明問題では、例題や演習問題から分かるように、大まかに２種類あります。
絶対値を含む不等式の証明問題のパターン
- 平方の差をつくって証明する問題
- 予め与えられた結果を利用して、不等式を証明する問題
特に、与えられた結果を利用する問題は、難易度の高い問題が多く、入試にも頻出なので注意しましょう。
Recommended books
計算力は重要な要素となります。試験では考える時間を多く取るために、いかに計算を手早く行うかが重要です。
計算力の有無は、数学２・Ｂや数学３では顕著になります。計算に時間がかかりすぎては解けるものも解けません。後悔しないためにも日頃からしっかり鍛えておきましょう。
これから紹介する教材で気になるものがあれば、ぜひ一読してみて下さい。気に入ったら最後まで徹底的にこなしましょう。
オススメその１『合格る計算数学１・A・２・Ｂ』
オススメその２『鉄緑会 基礎力完成 数学Ⅰ・Ａ＋Ⅱ・Ｂ』
さいごにもう一度まとめ
- 根号や絶対値を含む不等式の証明では、左辺の平方と右辺の平方の差をつくろう。
- 平方の差を整理するとき、平方完成を意識しよう。
- 絶対値の性質を利用しよう。
- 絶対値の性質は、多項式の場合、分かりにくいので注意しよう。
- 絶対値を含む不等式の証明問題では、文字の置き換えて証明することもある。