数学の公式・定理集｜数列
目次
数列：１．等差数列
等差数列の一般項と和
初項を $a$、公差を $d$、第 $n$ 項（末項）を $l$ とする。
等差数列の一般項
等差数列の一般項を $a_{n}$ とすると
\begin{equation*}
\quad a_{n} = a+(n-1)d
\end{equation*}
等差中項
数列 $a \ , \ b \ , \ c$ が等差数列
\begin{equation*}
\iff \ 2b = a + c
\end{equation*}
等差数列の和
初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$
\begin{align*}
\quad S_{n} &= \frac{1}{2} n \left( a + l \right) \\[ 10pt ]
&= \frac{1}{2} n \left\{ 2a + \left( n – 1 \right) d \right\}
\end{align*}
数列：２．等比数列
等比数列の一般項と和
初項を $a$、公比を $r$ とする。
等比数列の一般項
等比数列の一般項を $a_{n}$ とすると
\begin{equation*}
\quad a_{n} = ar^{n-1}
\end{equation*}
等比中項
数列 $a \ , \ b \ , \ c$ が等比数列
\begin{equation*}
\iff \ b^{2} = ac
\end{equation*}
等比数列の和
初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$
① $r \neq 1$ のとき
\begin{equation*}
\quad S_{n} = \frac{ a( 1 – r^{n} ) }{ 1 – r } = \frac{ a( r^{n} – 1 ) }{ r – 1 }
\end{equation*}
② $r = 1$ のとき
\begin{equation*}
\quad S_{n} = na
\end{equation*}
数列：３．種々の数列
和の記号Σ、Σの性質
数列の和の公式
$c \ , \ r$ は $k$ に無関係な定数とする。
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } c = nc
\end{equation*}
特に
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } 1 = n
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k = \frac{1}{2} n ( n + 1 )
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^{\tiny{2}} = \frac{1}{6} n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } k^{\tiny{3}} = { \left\{ \frac{1}{2} n ( n + 1 ) \right\} }^{\tiny{2}}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } r^{k-1} = \frac{ 1 – r^{n} }{ 1 – r } \quad ( r \neq 1 )
\end{equation*}
Σの性質
$p \ , \ q$ は $k$ に無関係な定数とする。
\begin{equation*}
\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ( pa_{k} + qb_{k} ) = p \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } a_{k} + q \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } b_{k}
\end{equation*}
いろいろな数列
階差数列
数列 $\{a_{n}\}$ の階差数列を $\{b_{n}\}$ とする。
\begin{align*}
\bullet \ &b_{n} = a_{n+1} – a_{n} \\[ 10pt ]
\bullet \ &n \geqq 2 \ \text{のとき} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n} = a_{\tiny{1}} + \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n-1 } b_{k}
\end{align*}
和 $S_{n}$ と一般項
\begin{equation*}
\quad S_{n} = a_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} + \cdots + a_{n}
\end{equation*}
のとき
\begin{align*}
&\quad a_{\tiny{1}} = S_{\tiny{1}} \\[ 10pt ]
&\quad a_{n} = S_{n} – S_{n-1} \quad ( n \geqq 2 )
\end{align*}
数列：４．漸化式、数学的帰納法
漸化式の変形、数学的帰納法
漸化式の変形
隣接２項間
\begin{equation*}
\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \quad ( p \neq 1 )
\end{equation*}
$\alpha = p \alpha + q$ を満たす $\alpha$ に対して
\begin{equation*}
\quad a_{n+1} \ – \alpha = p ( a_{n} \ – \alpha )
\end{equation*}
と変形できる。
隣接３項間
\begin{equation*}
\quad pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_{n} = 0
\end{equation*}
$px^{2} + qx + r = 0$ の解を $\alpha \ , \ \beta$ とすると
\begin{align*}
&\quad a_{n+2} \ – \alpha a_{n+1} = \beta ( a_{n+1} \ – \alpha a_{n} ) \\[ 10pt ]
&\quad a_{n+2} \ – \beta a_{n+1} = \alpha ( a_{n+1} \ – \beta a_{n} ) \\[ 10pt ]
\end{align*}
と変形できる。
確率と漸化式
$n$ 回目と $n+1$ 回目に注目して、確率 $p_{n}$ と $p_{n+1}$ の漸化式（隣接２項間）をつくる。
つくった漸化式を変形し、一般項を求める。
確率と漸化式
自然数 $n$ に関する事柄 $P$ が、すべての自然数 $n$ について成り立つことを示すのに、数学的帰納法が利用される。数学的帰納法を利用した証明の手順は以下のようになる。
- $n=1$ のとき事柄 $P$ が成り立つことを示す。
- $n=k$ のとき事柄 $P$ が成り立つと仮定して、$n=k+1$ のとき事柄 $P$ が成り立つことを示す。
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